为什么实数可以用数列的极限表示？

01-15

最近接触到海涅定理的知识，海涅定理揭示了实数和数列的关系，但我对这个问题理解不够透彻

应该是反过来理解，我们用数列的极限构造了一个叫实数的东西。。

简单解释一下思路吧，这只是我的理解哦，不对请见谅。

我们有一坨东西叫有理数，还有一坨东西是定义在有理数上的函数。

有一点你需要明白的是，函数要比有理数本身多的多的多。

而且令人欣慰的是，函数可以继承其值域上的运算。（比如两个有理数可以相加，两个函数也就可以相加）

当我们运算时，发现有理数不够用了，怎么办，很自然，用函数补充就行了。

但我们又发现，似乎需要不了那么多函数，怎么办？筛掉一些函数，不收敛的不要，定义域也不需要整个有理数了，定义域是自然数就行，这就足够来补充那些奇葩的运算了。

定义域是自然数，值域是有理数的函数，这就是数列了。

加上收敛的条件，我们把这样的数列（函数）称之为实数，用来补足运算。

这就是为什么实数可以用数列表示的原因。

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其实有理数也可以用类似的方法，基于自然数来定义。

另外，如果运算再奇葩一点，说不定不收敛的数列也能发挥其作用。

谢邀

实数的构造粗略的说就是有理数柯西列的极限（再商去相同极限构成的等价类）。详细的话参考下图，出自于莫宗坚的代数学（上），补充一句实数构造方式不止这一种，但是我认为这种方式最直接地回答了这个问题。

我不太清楚你的问题具体是什么，所以只好杂七杂八说一下个人体会，可能有不准确之处仅供参考。

记得以前小学课本是这么讲的，实数可以分为整数，小数。小数又有有限和无限。无限又有循环和不循环。当然，这样的划分并非本质。比如，有限小数和无限循环小数其实都是有理数，可以写为 $frac{m}{n}$ ，分子分母为互素整数，分母非0。一个有理数能否在十进制下写为有限小数，主要看该分母是否仅包含2和5的幂次。所以我们可以看到，所有的有理数结构都是很简单的，一个分子，一个分母而已。

对于无限不循环小数来说，它又叫无理数，其结构更加复杂。事实上，对于大多数无理数，没有办法用有限的文字描述它。像 $pi,e,sqrt{2}$ 这些反而是例外。我们在日常生活中即便完全忽略无理数，不管买菜还是买楼，不会有什么问题。但是这样的一种算术系统多少会显得有些不够完美。比如说，数轴上到处都是空洞。是否能够用我们熟悉的有理数，来构建出整个实数的大厦？

我们可以假设，存在某种算法，能够确定任意一个实数的小数点后的前n位(假定十进制)。那么，通过这个算法，就可以把一个实数对应到一个序列的极限。比如，对于 $pi$ 而言，有 $a_1=3.1,a_2=3.14,a_3=3.141,a_4=3.1415...$ 这个序列里的每一项都是有理数，然而它的极限不是有理数。

这里其实还有一个有趣的问题。我们怎样定义收敛呢？当n足够大， $|a_n-a|$ 可以任意小。然而注意到，这种定义预先假定了 $a$ 这个外在的对象。即使我把整个数列都给你，你又不知道 $a$ 是什么，如何判断？这时就会很自然的引入“柯西列”的概念。所谓柯西列，是基于序列本身的一个定义，不依赖于外在的对象。简单地说，柯西列就是讲，只要n足够大，它后面的任意两项差的绝对值都可以足够小。对于上述 $pi$ 的例子来说，当然这是对的，因为序列中差的绝对值总小于 $10^{-k}$ , $k$ 取某个合适的值。实数的基本性质之一是完备性，指的是柯西列都收敛。一个柯西列收敛到的极限，就是其对应的实数。泛函分析中，度量空间的完备化，也是通过相似的构造方法。

事实上，实数是为数轴所造出的理论模型。

直观上，我们认为数轴是没有破洞的。

所以我们在构造实数的时候，就让它具有某种完备性，来描述我们心目中的数轴。

所以可以说，是因为构造如此，强行让它完备的。

一句话：实数“定义”。

上大学以前，可以说，没人真知道实数是什么；

上大学之后，非数学系的童鞋，同样，没人理解实数是什么；

上大学之后，数学系的童鞋，学得一般的，也没明白实数是什么，但影响不大；

上大学之后，数学系的同学，学得比较优秀的，才仿佛懂得了实数是什么；

上大学之后，数学系的同学，学得相当深入的，终于知道了自己从来都不知道实数是什么。

——原来，我们的近代数学是建立在一个不知道是什么的东西上啊…

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实数系八大定理，每一个都可以作为“定义”。

不过最原始的理解还是比较喜欢“柯西列”：用“一堆”(注意是等价类，所以是一堆而不是一个)收敛的无穷数列定义一个实数——体现了现实问题中的近似过程 (假设“实数”存在于无穷位小数尽头，那么便改口有了“逼近”的说法)

而数学家们广泛满意的戴德金切割，其实也没什么本质上的差别…而且仅仅是像强词夺理一样，说“这里有个坑我把它填上填上的那个东西就叫实数”——你在哪里填上的？用什么填上的？

答：在想象里，用想象填上的。

实数的定义就是有理数集合的闭包啊

戴维金分割。。吧。。