怎樣通俗易懂的理解微積分中的極限?
01-15
下面是圓的內接正多邊形的面積在趨於正無窮時的極限表達式:
,1.趨於正無窮,並且只有時,我們才能通過的表達式求出圓的面積的精確值.困難在於現實中我們無法使,但是這並不妨礙是存在的這個事實,因為半徑定了,圓就有一個大小,面積也有一個確定的值。所以在極限的定義中,我們用去心鄰域,並且說極限是否存在與函數在該點是否有定義無關,這句話就來自上面的例子,圓的面積,也就是的極限必然存在,與是否能否等於無關。
既然的存在與是否能否等於無關,而我們在研究在不斷增大的過程時,發現它不斷靠近一個數,我們就設這個數就是.對於某些情況,比如,儘管無法等於,我們還是規定假如等,那麼,所以有,所以現實中無法實際取的,並不妨礙我們在思想上使其等於並給出一個極限為0的定義。數列的情況是這樣,普通函數也有一套類似的,並且能夠描述現實且自圓其說的理論,那就是「極限-連續性」理論。對於函數,極限表達式最重要的目的是問時,等於多少?對於一般的函數,比如,很顯然是等於10,或,因為無法取,不過這並不妨礙我們定義它,規定它等於0,也就是在思想上規定它等於0,這是複合客觀實際的,因為客觀實際中,不斷沿軸正向或反向移動時,顯然是不斷變小。所以對於普通函數的極限,定義中規定自變數需要在去心鄰域,目的是迴避,等一類不能使分母為零的情況,因為定義是需要歸納概括所有情況的,其中既會包括可以取值的的情況,也會包括等無法取值的情況。去心鄰域的另外一個重要原因,是我們在物理學中出現一些概念,比如瞬時速度,導致求極限的表達式本身不能使得,比如這個是導數,表達式本身的根本目的就是問我們時,該表達式的值是什麼,但是由於分母不能為零,因此要求,舉個例子
設,問解由於不能等於,我們將其約分得注意,的前提,依然是,這依然類似於圓的內接正多邊形求面積的例子,注意比較兩式:,;左邊的無法在現實中取,並不影響圓的面積是客觀存在的。
這就類似於中因為分母不能為零導致不能等於1,但是並不影響右邊是客觀存在的,我們只要求出右邊即可;右邊成立的條件依然是,但是的根本目的,就是問,時,,顯然等於2,再來看這個表達式:左邊是要求時的值,但是實際中不允許;右邊成立的條件依然是,但是它的根本目的是求時的值,這時候它完全可以取1了.函數:一一對應
極限:域域對應(去心臨域)那麼問題來了:為啥去心呢?
答:互補啊,函數和極限是一對矛盾,具有同一性和對立性。
類似盲人摸象,不同角度看問題,
但都是研究同一對象的不同角度下特徵。我把函數和極限看成兩種同類的看問題的角度以及對應的表示法。
極限彌補了函數的相對性。極限更改了域,保持了函數的對應關係,既有相對性表述,又繼承了對應法則,高下立判。不過應該是函數概念的子集。推薦閱讀:
※都說知乎人才多,有誰能幫我解釋一下微積分里極限的一些知識啊?
※設A為正整數,當A趨向無窮大的時候,數A中的0到9各個數出現的幾率是不是都趨上於1?
※極限運算的時候碰到ln時 有時候對分子用等價替換或者直接洛必達會出錯?
※關於函數求極限的一道題,WolframAlpha上的過程是不是錯了??