怎樣通俗易懂的理解微積分中的極限？

01-15

下面是圓的內接正多邊形的面積 $S_n$ 在 $n$ 趨於正無窮時的極限表達式：

$lim_{n ightarrow +infty }{S_n} =S$ ，

1. $n$ 趨於正無窮，並且只有 $n=+infty$ 時，我們才能通過 $S_n$ 的表達式求出圓的面積的精確值 $S$ .

困難在於現實中我們無法使 $n=+infty$ ，但是這並不妨礙 $S$ 是存在的這個事實，因為半徑定了，圓就有一個大小，面積也有一個確定的值。

所以在極限的定義中，我們用去心鄰域，並且說極限是否存在與函數在該點是否有定義無關，這句話就來自上面的例子，圓的面積，也就是 $S_n$ 的極限 $S$ 必然存在，與 $n$ 是否能否等於 $+infty$ 無關。

既然 $S$ 的存在與 $n$ 是否能否等於 $+infty$ 無關，而我們在研究 $S_n$ 在 $n$ 不斷增大的過程時，發現它不斷靠近一個數，我們就設這個數 $pi R^2$ 就是 $S$ .

對於某些情況，比如 $lim_{n ightarrow +infty }{} frac{1}{n}$ ，儘管 $n$ 無法等於 $+infty$ ，我們還是規定假如等 $+infty$ ，那麼 $frac{1}{+infty } =0$ ，所以有 $lim_{n ightarrow +infty }{} frac{1}{n} =0$ ，

所以現實中無法實際取 $+infty$ 的，並不妨礙我們在思想上使其等於 $+infty$ 並給出一個極限為0的定義。

數列的情況是這樣，普通函數也有一套類似的，並且能夠描述現實且自圓其說的理論，那就是「極限-連續性」理論。

對於函數 $f(x)$ ，極限表達式 $lim_{x ightarrow x_0}{f(x)} =?$ 最重要的目的是問 $x=x_0$ 時， $f(x)$ 等於多少？

對於一般的函數，比如 $lim_{x ightarrow 2}{5x}$ ,很顯然是等於10，或 $lim_{x ightarrow infty }{frac{1}{x} }$ ,因為 $x$ 無法取 $infty$ ，不過這並不妨礙我們定義它，規定它等於0，也就是在思想上規定它等於0，這是複合客觀實際的，因為客觀實際中， $x$ 不斷沿 $x$ 軸正向或反向移動時， $frac{1}{x}$ 顯然是不斷變小。

所以對於普通函數的極限，定義中規定自變數需要在去心鄰域，目的是迴避 $frac{1}{x}$ ， $frac{1}{x^2-1}$ 等一類不能使分母為零的情況，因為定義是需要歸納概括所有情況的，其中既會包括可以取值的 $lim_{x ightarrow 2}{5x}$ 的情況，也會包括 $lim_{x ightarrow infty }{frac{1}{x} }$ 等無法取值的情況。

去心鄰域的另外一個重要原因，是我們在物理學中出現一些概念，比如瞬時速度，導致求極限的表達式本身不能使得 $x=x_0$ ，比如

$lim_{x ightarrow x_0}{frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} } =?$

這個是導數，表達式本身的根本目的就是問我們 $x=x_0$ 時，該表達式 ${frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }$ 的值是什麼，但是由於分母不能為零，因此要求 $x e x_0$ ，舉個例子

設 $f(x)=x^2-1$ ,問 $lim_{x ightarrow 1}{frac{f(x)-f(1)}{x-1} } =?$

解

$lim_{x ightarrow 1}{frac{f(x)-f(1)}{x-1} } =lim_{x ightarrow 1}{frac{x^2-1}{x-1} } =lim_{x ightarrow 1}{frac{(x+1)(x-1)}{x-1} }$

由於 $x$ 不能等於 $x_0$ ，我們將其約分得

$lim_{x ightarrow 1}{frac{f(x)-f(1)}{x-1} } =lim_{x ightarrow 1}{frac{x^2-1}{x-1} } =lim_{x ightarrow 1}{frac{(x+1)(x-1)}{x-1} } =lim_{x ightarrow 1}{(x+1) }$

注意， $frac{f(x)-f(1)}{x-1} =(x+1)$ 的前提，依然是 $x e x_0$ ，

這依然類似於圓的內接正多邊形求面積的例子，注意比較兩式：

$lim_{n ightarrow +infty }{S_n} =S$ ，

$lim_{x ightarrow 1}{frac{f(x)-f(1)}{x-1} } =lim_{x ightarrow 1}{(x+1) }$ ；

左邊的 $n$ 無法在現實中取 $+infty$ ，並不影響圓的面積 $S$ 是客觀存在的。

這就類似於 $lim_{x ightarrow 1}{frac{f(x)-f(1)}{x-1} }$ 中因為分母不能為零導致 $x$ 不能等於1，但是並不影響右邊是客觀存在的，我們只要求出右邊即可；右邊成立的條件依然是 $x e 1$ ，但是 $lim_{x ightarrow 1}{(x+1) }$ 的根本目的，就是問， $x=1$ 時， $x+1=?$ ，顯然等於2，

再來看這個表達式：

$lim_{x ightarrow 1}{frac{f(x)-f(1)}{x-1} } =lim_{x ightarrow 1}{(x+1) }$

左邊是要求 $x=1$ 時 $frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 的值，但是實際中不允許 $x=1$ ;

右邊成立的條件依然是 $x e 1$ ，但是它的根本目的是求 $x=1$ 時的值，這時候它完全可以取1了.

函數：一一對應

極限：域域對應（去心臨域）

那麼問題來了：為啥去心呢？

答：互補啊，函數和極限是一對矛盾，

具有同一性和對立性。

類似盲人摸象，不同角度看問題，

但都是研究同一對象的不同角度下特徵。

我把函數和極限看成兩種同類的看問題的角度以及對應的表示法。

極限彌補了函數的相對性。

極限更改了域，保持了函數的對應關係，既有相對性表述，又繼承了對應法則，高下立判。

不過應該是函數概念的子集。