譜定理在量子力學裡有哪些基本的應用？

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泛函分析的重要內容之一就是證明了各種運算元的譜分解定理，而自伴運算元的譜分解定理在量子力學中是怎樣應用的呢？如果是很基本的內容的話，為什麼現在的量子力學書中看不到運用譜定理的內容呢？

譜定理其實就是完備性條件，完備性條件怎麼用都知道吧。量子力學的書中沒有證明譜定理，也證不了譜定理，因為「畫風」不對，真按照數學觀點看，QM書上根本就沒有幾個能算證明的東西。

泛函分析在量子力學中的應用有很多：

一些構建了基礎，比如說把Heisenberg-Weyl對易關係當做非交換C*代數，用GNS構造得到Hilbert空間和波函數，而p-&>d/dx 之類就是Heisenberg對易關係對應的C*代數的一個不可約表示。自伴運算元的譜理論可以得到Dirac符號的基礎，對勢能加一定約束條件可以得到漸進完備性，也就是波運算元（摩勒運算元）的存在性，得到散射理論的數學基礎。

還有一些是技巧性的，比如Weyl譜定理，存在Hilbert空間中的序列 $psi _n$ ，使得 $||psi _n||=1$ $||(A-lambda)psi_n|| ightarrow 0$ 且 $psi_n$ 弱趨於0，iff 對這個運算元A， $lambda$ 在其連續譜中。

這個定理完全決定了連續譜，可以用來得到一個H的連續譜，比如說可以證明V在無窮遠處為0時連續譜為 $[0,+infty)$ ，而無窮遠處發散的則沒有連續譜，同樣地還有HVZ定理，它說一個（Born-Oppenheimer近似下）多體系統的連續譜是 $[Sigma ,+infty)$ 的形式，從這能得到多體系統的穩定性。固體物理中的Anderson局域化也可以用泛函分析去嚴格證明，同樣也是去估計運算元的譜結構。

還有微擾論，在數學上這是考慮一族連續變化的H運算元，物理學家過於簡單地考慮了微擾論，實際上微擾，尤其是較大參數下的微擾可能會導致一些奇怪的東西，比如說quantum resonances，大的Stark效應就會導致這個問題，這需要spectral deformation theory來研究……大多物理學教材因為技術工具不夠根本就沒法去講這些運算元譜結構的問題。