什麼是相空間？

01-15

相空間是六維的，有沒有一個二維類比？泡利不相容在相空間中是不是表述為兩點之間不可重合？註：最好不要用高等數學

在牛頓力學，我們學習到牛頓第二定律 $vec F = m vec a=mfrac{d^2vec x}{dt^2}$ 這樣一個重要的公式。其中， $vec F$ 是是在物體上的力(我們先討論單個質點)，而 $vec a$ 是物體的加速度, $m$ 是力和加速度的比例係數，叫做質量。

注意，這個公式告訴我們，經典力學系統的力學方程是有關位置的二階導數(i.e 我們沒必要知道位移的三階導數，當然，某些廣義相對論的一些運動方程是依賴高階導數的.)，結合微分方程理論，我們必須知道物理的初始位移和初始速度才能對體系進行預測。

但是，解二階微分方程是非常討厭的，因此物理學家通過以下定義，將一個二階微分方程化作兩個一階微分方程:

$[egin{gathered} vec F = frac{d}{{dt}}vec p hfill \ vec p = mfrac{d}{{dt}}vec x hfill \ end{gathered} ]$

這樣，我們解決這個微分方程組需要的初始條件就是初始位移和初始速度，方程被有效的簡化了。

那麼對於我們的一個已知運動的質點，其運動軌跡就應該由六個參數來標定，他們分別是: $[x,y,z,{p_x},{p_y},{p_z}]$ ，這幾個參數張開的空間，就是一種相空間，但是我們生活在一個三維空間中，去表示一個6維的相空間是很困難的，我們常常選取某幾個( $le 3$ )坐標(或者它們的線性組合)來作圖出軌跡，這樣做出來的圖叫做龐加萊截面。

為了討論多質點的問題，在更深一步的理論力學中，我們利用以下方程來預言物理體系:

$[egin{gathered} {{dot q}_i} = { {q_i},H} hfill \ {{dot p}_i} = { {p_i},H} hfill \ end{gathered} ]$ ，其中 $q_i$ 是廣義坐標， $p_i$ 是廣義動量, ${cdot,cdot }$ 是泊松括弧。

注意到這個方程具有非常優美的對稱性，實際上，對於任何力學量都有 $[dot u = left{ {u,H} ight} + frac{{partial u}}{{partial t}} equiv imathcal{L}left[ u ight]]$ ，其中 $[mathcal{L}]$ 是劉維爾算符。

而注意到大多數我們關心的力學量往往都是廣義坐標和廣義動量的組合，我們就可以定義一個相空間，其中的自變數分別是廣義坐標和廣義動量，其截面(也就是取幾個坐標或者其線性組合)叫做龐加萊截面。

因此，相空間在理論力學中是一個很基本的物理事實，我下面舉出兩個非常簡單的例子來說明為什麼相空間能給物理學家一個清晰的物理圖像。

e.g 1:劉維爾定理

劉維爾定理說的是，在初始時刻任意選取一塊相體積(例如一個球)，在某個力學系統的演化方程的作用下，這個相體積的形狀會變(例如拉扯為橢圓、矩形等)，但是體積是守恆的。

如圖:

來自維基百科:https://en.wikipedia.org/wiki/File:Hamiltonian_flow_classical.gif#file，作圖的python代碼其上已經提供。上圖是一個一維粒子的運動，其相空間是二維的。

e.g 2:混沌性質

下面是一個蔡氏電路的龐加萊截面圖.

雖然相空間是高維的，但是我們可以取其二維的龐加萊截面

具體什麼是蔡氏電路和他的哈密頓描述，有興趣的同學可以自行Wiki或者推導.下面給出(a)圖的作圖方法。

tspan=[0,100]; options=odeset("RelTol",1e-4,"AbsTol",[1e-4 1e-4 1e-4]); %y0=[0.025;-0.022;0.8]; y0=[0.025;-0.02;0.08]; [tt,yy]=ode45(@DyDt,tspan,y0); plot3(yy(:,1),yy(:,2),yy(:,3))


  view(-15.5,26);

  xlabel("fontsize{16}x")

  ylabel("fontsize{16}y")

  zlabel("fontsize{16}z")

function ydot = DyDt(t,y) ydot=[9*(y(2)-y(1)+0.68*y(1)-0.5*(-1.27+0.68)*(abs(y(1)+1)-abs(y(1)-1)));... y(1)-y(2)+y(3);... -14.87*y(2)]; end

量子力學中的相空間是一種准概率理論，對於作圖和代碼有興趣的可以看我的文章:

蔡家麒：用Qutip學量子光學-第二節：准概率分布zhuanlan.zhihu.com

下面我簡單的介紹一下量子力學裡的相空間方法是怎麼發展出來的。

首先，量子力學中類似哈密頓方程的是 $frac{d}{dt}A={i over hbar}[H,,A]+partial_tA$ ,我們列出其坐標和動量的方程，但是，量子力學中坐標和動量都是算符(矩陣)，不能作為坐標軸，那怎麼辦呢？我們可以退一步，利用最接近量子態的相干態對應的數量，即相干數來構造橫軸和縱軸，其上繪出所謂的准經典概率分布。但是這樣的描述一般用於玻色子，描述玻色子的相干數都是複數，因此可以把相干數的橫軸和縱軸取為相干數的實部和虛部，這構成了准概率分布的重要方法，Wigner Function.

某個量子演化中的激發數(下子圖)和相應時間的Wigner Function(上子圖)

而描述費米子的相干數是Grassman代數，它的相空間描述要稍微麻煩一點，不是分布函數而是分布泛函：

https://arxiv.org/pdf/1604.03375.pdfarxiv.org

https://arxiv.org/pdf/1609.06360.pdfarxiv.org

從這裡我們看到，對於費米子的只有不同的自旋才能取到同樣的相空間的值點(泡利不相容原理)(除了真空模式)。

丁同仁，李承志，《常微分方程》第八章，以及書中推薦閱讀材料。此書有高數和線代（但願和我學的線代isometric）的基礎就可閱讀，而且第八章相對獨立，容易懂。

這麼重要的物理／數學概念當然有歷史故事／八卦可看：Physics Today 63, 4, 33 (2010)?

題圖是一個典型的包含Pointcare截面的相空間。

數學家Liouville早在1837年提出了Liouville定理，但那時候的定理完全沒有物理啥事，就是研究常微方程得到的，說的是一階常微方程組，初條件已知，解的Jacobian＝1.

歷史上講，「相空間」最早被引入是一件物理的事：

1873年Boltzmann用了Bewegungsart和Bewegungsphase兩個字來區分「運動的kind和phase」。kind表示平動、轉動、振動等，phase表示坐標和動量數值的改變。這是「相」這個字第一次進入物理學。L. Boltzmann, Wien. Ber. 66, 275 (1872)

這個字是如此之妙以至於1879年Maxwell趕緊拿來用了。J. C. Maxwell, Trans. Cambridge Philos. Soc. 12, 547 (1879)

數學家仍然跟物理沒什麼交集，H. Poincare寫的Les méthodes nouvelles de la

mécanique céleste, Gauthier-Villars, Paris (1892–99) 第三卷引入了大量相空間的分析，但是完全沒提Boltzmann的工作，也就沒用相空間這個詞。

1907年，Felix Klein編寫數學大百科全書，想要總結Boltzmann的工作，但是後者已經自盡身亡，就找來他的學生P. Ehrenfest，寫下了名著

P. Ehrenfest, T. Ehrenfest, in Encyklop?die der mathematischen Wissenschaften, vol. 4, part 32, B. G. Teubner, Liepzig, Germany (1911).

也就是現在花60多塊錢就能買到的

The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics

《The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics》 Paul Ehrenfest, Tatiana Ehrenfest【摘要書評試讀】圖書www.amazon.cn

書里第一次用了Phasenraum，也就是phase space，相空間。這裡Paul還發明了 $Gamma$ -空間等常用名詞。

顯然，「相」指的是現代的概念state，而跟波函數／復變數的相位沒有任何關係。

剛發現T. Tao有一個關於相空間的講稿，真是棒。

http://math.ucla.edu/~tao/preprints/phase_space.pdfmath.ucla.edu

具有正則辛形式的（構型空間中流形的餘切叢），Nice and Accurate.

考慮一個一維繫統，相空間就是二維的了。。

╮(╯_╰)╭

不用高等數學，這個有點難。。

相就是狀態的意思

物理學裡面，確定狀態要用一些量。比方在經典物理里，質點的狀態由當前的位置和速度決定，所以相空間由位置和動量構成。考慮到三維空間，坐標和動量三個分量，一共6個。

當然狀態不一定非要用坐標和動量。總之你用的量能完全確定狀態就可以構成空間。對於泡利不相容原理來說，你說的相空間指的是什麼呢？

題主只是想概念上了解的話，不需要任何數學。

三維實空間對應的相空間是六維的，坐標分別是 $x, y, z, p_x, p_y, p_z$ . 一維實空間對應的就是二維的咯： $x, p.$ 正則坐標分別為位置和動量，一些量子力學涉及自由粒子的問題中我們可用波數 $k$ 代替動量 $p$ ，因為 $p = hbar k$ .

要表達六維空間確實對於我們三次元的生物來說有(fei)點(chang)困難，所以像在處理費米子氣體態密度（凝聚態，統計物理）、 $eta$ -衰變譜（核物理）等這類量子物理問題的時候，我們就直接只看僅有三維的「動量空間」了。因為，在這類問題中，都有一個對相空間6個分量積分的過程 $int mathrm{d}Gamma = int mathrm{d}x^3 int 4pi p^2mathrm{d}p$ ，其中3個位置分量積分就直接等於體積了 $int mathrm{d}x^3 = V$ ，而體積通常都有給出或者很容易算，所以問題就簡化成三維的 $int mathrm{d}Gamma = V int 4pi p^2mathrm{d}p$ .

有朋友糾結動量坐標「能不能是 $k$ 」的問題，我認為這個在此屬於細枝末節，我可以依然管這個坐標叫動量 $p$ , 但是以 $hbar$ 為單位方便圖示，或者乾脆令 $hbar$ 為1。例如上面提到的兩例統計物理問題的三維動量空間就是用k-空間表示出來的，方便罷了，雖然嚴格說來波矢是波矢，動量是動量。別的學校定義有多嚴格我不知道，我們凝聚態教授是直接在k-空間里推導費米子氣體態密度的，而熱統教授則在動量空間，數學結果是一致的（廢話）。網上隨便找的講義截圖：

第二個等號和第三個等號中間那部分，也是直接用 $k$ 表示動量。

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關於【泡利不相容】：如果一個系統中兩個費米子（例如最常見的電子）自旋狀態相同，則它們不可能在相空間中佔據同一個位置（這裡的「位置」不像經典力學相空間那樣是一個理想的點，而是一個體積元 $(2pi hbar)^n$ ， $n$ 為對應實空間的維度。相空間是量子化的，詳見海森堡不確定原理。）；但如果一個Spin up, 一個 Spin down, 則可以！自旋是基本粒子的內稟性質。

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何為【相】？從波動角度看粒子運動，相顧名思義即相位。

平面波的基本形式是 $psi(x,t) = A cos (kx-omega t)$ ，通常為了計算方便用複數表示 $psi(x,t) = A cdot e^{i(kx-omega t)}$ ，波函數括弧里那一坨就是相位。在空域里看問題， $x$ 和 $k$ 建立起「位置-動量相空間」；在時域里看問題， $t$ 和 $omega$ 則建立起「時間-能量相空間」，能量 $E = hbar omega$ 。

經知友指出，「通常為了計算方便用複數表示」說法不嚴謹，特此補充說明一下。量子力學引入複數其中一個很直接的原因是要解決自旋（以及其他雙態系統）的描述:李袋鼠，哦不，李代數 $mathfrak{su}(2)$ ，例如泡利矩陣。我們沒辦法在2d實線性空間里建立起非平凡表示，而引入複數域則能很自然地解決這個問題。Generally, 概率守恆要求量子力學裡的演化是幺正的：辛結構解決動力學問題，正交結構解決概率問題，連接兩者的則是複數結構。所以特指量子力學時，引入複數則不僅是為了計算上的方便（雖然也很方便23333），更是數學結構上的要求。

當然，上面說到的「平面波」（經典波）跟量子力學的概率波有本質上的區別，經典波談不上歸一化，但是經典波提供了一組基，可以用來展開波函數。

感覺有點扯太遠了。

首先，相空間並不是六維的，只是單個粒子的相空間是六維的，多粒子無約束是6N維。

其次，泡利不相容要考慮粒子自旋，只對費米子成立，而相空間是經典的空間，不包含旋量，因此兩個粒子完全可以處於相空間同一點，而不一定會因為泡利不相容而相互排斥。

最後，不用高等數學講明白相空間是完全可能的，但是如果不懂高等數學即使理解了相空間也沒什麼用，因為相空間通常用於經典力學與統計力學中，兩者都需要高等數學基礎。

你既然不想要高數那你幹嘛要理解相空間想要正確理解就必須從微積分入手因為相空間這東西本質上就是在解方程過程中發現的方程幾何性質

相空間的出發點是牛頓第二定律這個二階微常微分方程把方程中速度和位移看成兩個不同的變數從而把原本n個未知數的n個二階常微分方程轉化為2n個未知數的2n個一階常微分方程組去研究

咋一看你肯定會說為什麼要這樣做未知數數量多了方程的數量也多了有什麼意義？

學過常微分方程理論微分幾何李群李代數的話你就知道對於一階常微分方程組數學家早就研究出了一套特別完整的解存在性唯一性演化規律幾何性質穩定性之類的理論於是如果把動力學的問題轉化為相空間中的問題就可以在不具體求解方程的情況下得知這個動力學系統的重要性質比如守恆量穩定性可積性(是否可以不用數值方法求解出結果)之類的而這些性質當系統自由度特別大的時候如果你用最原始的方法去計算你即使能算出結果也很難察覺系統到底啥是不變的(很多時候一個系統的具體規律其實並不是我們最關心的我們最關心的是系統的守恆量是啥因為守恆量往往是能直接用來觀測的能觀測就意味著可以用它來表徵系統狀態)

總結一直以來我們最想得到的是解析解退而求之得到數值解可是當問題十分複雜時你即使得到了上述東西你也很難總結出系統雜亂複雜的運動規律背後隱含的重要性質

相空間給我們提供了在不具體計算的情況下掌握系統規律的有效方法

玩過猜骰子嗎？n維相空間類似於同時投n個骰子，這n個骰子面朝上的所有可能的狀態的集合就是相空間，空間里每一個點都代表著這n個骰子可能的一種狀態。

力學里單個粒子的六維相空間相當於用6個骰子來描述一個粒子在三維空間的狀態。為什麼要6個？因為力學只關心粒子的空間位置和動量。而3維空間里描述1個粒子在空間中的位置需要3個（描述三維坐標系裡的一個點），而描述它的動量又需要另外3個（3個方向的動量）。

我的量子力學忘得差不多了，但泡利不相容應該是不會用力學裡的六維相空間來描述的，應該用量子系統來描述，例如量子態。

說實話，不用高等數學的解釋肯定是不夠準確的。好比你可以不認識26個字母，用漢字給英文單詞注音，記下單詞的形狀再背下它的中文含義，你也可以「學會」一個詞。但是想理解和使用英語能力還是需要理解字母/語法/發音規則。理解線性代數對理解為什麼需要和如何構造空間還是很有幫助的。