極限的定義除卻 ε-δ 語言外是否還有其他合理且簡單精鍊的語言？

01-15

抑或是歷史上曾經存在的語言

我記得好像Rudin的Functional Analysis里有一個關於Hausdorff空間 $X$ 中的序列 ${x_n}_{n=1}^{infty}$ 極限的定義。

如果存在 $x in X$ ，使得 $x$ 的任意鄰域包含除有限個外的所有 $x_n$ ，則稱該序列『收斂於 $x$ 』。基本相當於是說該序列的『極限為 $x$ 』。這裡的鄰域只要求是包含 $x$ 的開集，不必連通，從直覺上講也很顯然。

所以你得先定義開集，然後定義鄰域，然後定義Hausdorff空間，最後才能定義這個序列的極限。看起來不算很『簡單精鍊』呢。

剛找了一下原文：

A sequence ${x_n}$ in a Hausdorff space $X$ converges to a point $x in X$ (or $lim_{n o infty}x_n = x$ ) if every neighborhood of $x$ contains all but finitely many of the points $x_n$ .

不知道你想問的是不是這個？

這個圖

別說非標準分析了…非標準分析對數理邏輯的要求非常高，我覺得比標準分析還難…

我覺得點集拓撲的語言更好…

並木有，這個語言是最簡潔好接受的

baby rudin上在介紹了一點拓撲後引入的，手機碼字抱歉有些符號看著很難受

「Let {pn} be a sequence in a metric space X,{pn} converges to p∈X if and only if every neighbourhood of p contains {pn} for all but finitely many n.」

非標準分析。

你要說簡單精鍊？其實也不算。但是，在某種方面，它（非標準分析）在某種程度上契合了人們對無窮小的簡單認識，從而其理解會相對簡單。（B格醞釀中）

從1920到1950年，數理邏輯之模型論誕生，它探討了服從某一公理體系的數學結構――模型。簡單來說，模型就是實現公理體系的一組數學對象，比如說，歐式幾何以平直空間為模型，等等。

那麼，我們研究的實數的公理體系，也就是一大堆代數定理的模型是什麼？是標準實數系R。在這個系統里，沒有複數。於是人們引入複數。在這個系統里，沒有無窮小和無窮大。於是人們引入非標準分析。

我們設R~是超實數系（這名字就很有B格），它在普通實數系的基礎上，添置了無窮小和無窮大以及其和原實數的組合，並統稱之為超實數。為了說明這一點，我們稱R~中包含於R的元素為標準實數，否則為非標準數。一個超實數，如果它小於某個（只需是一個哦）標準實數，就稱之為有限的超實數；如果它小於任何標準正實數，就稱為無窮小量；不是有限的超實數稱為無窮大量。無窮小量的倒數是無窮大量，反之亦然。

有了這些基礎，我們可以開始建立極限的有關概念了。每一個有限超實數x都由一個標準部分std(x)和一個無窮小量組成，這個標準部分就是在R內x的影子（我也不喜歡，但確實是），比如超實數2的影子是實數2，2~-2為無窮小量等等。每一個標準部分（即一個實數）都被無數接近之的超實數包圍，相應地稱這些超實數為該實數的光暈。那麼，我們在超實數系中討論完後，可以利用其標準部分把結果還原到實數系裡。（累）

那麼，就很好解決啦，非標準分析里，定義序列的極限為其末項的標準部分，函數的極限即為該處函數值光暈的影子（就是標準部分啦，不過注意是光暈的標準部分，因為函數值不可以排除沒有定義的情況）。

有點暈？舉個例子。序列1/n在n趨於無窮的極限？我們知道末項是1/∞（傳統的確不合法，但非標準分析可以），即為無窮小量，影子是0。完了。

複雜一點？函數y=x2的導數？取光暈！y=(x+o)2=x2+2ox+o2，光暈即y的無窮小變化和x的無窮小變化o的比值，即（x2+2ox+o2-x2）/o=2x+o，影子就是2x，在這方面的用處就是這樣，實際就是省去了極限傳統定義的冗雜和麻煩之處。不過許多數學家還是堅守傳統，認為嚴格的推理才是美的真諦（真沒收美的的廣告費），然而，非標準分析的邏輯性和歐幾里得理論一樣，也是自洽且合理的。

不說太多，考試反正不考，看看就算了吧。還有，什麼蛇皮排版，忒累了。

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分割線？做什麼用的。。。。

張景中院士寫的走進教育數學叢書

裡面張景中院士提出了直接用導數展開微積分的方法

值得參考

非標我不會，我最喜歡的是

任意A鄰域U（A），存在x0的去心鄰域U（x0）（去心小圈不會打），f（U（x0））?U（A）

只用到了拓撲結構，沒有度量結構。

似乎什麼都沒說，又什麼都說了

泛函分析，開集

非標準分析，不過這個東西很代數就是了