極限的定義除卻 ε-δ 語言外是否還有其他合理且簡單精鍊的語言?
抑或是歷史上曾經存在的語言
我記得好像Rudin的Functional Analysis里有一個關於Hausdorff空間 中的序列 極限的定義。
如果存在 ,使得 的任意鄰域包含除有限個外的所有 ,則稱該序列『收斂於 』。基本相當於是說該序列的『極限為 』。這裡的鄰域只要求是包含 的開集,不必連通,從直覺上講也很顯然。
所以你得先定義開集,然後定義鄰域,然後定義Hausdorff空間,最後才能定義這個序列的極限。看起來不算很『簡單精鍊』呢。
剛找了一下原文:
A sequence in a Hausdorff space converges to a point (or ) if every neighborhood of contains all but finitely many of the points .
不知道你想問的是不是這個?
這個圖
別說非標準分析了…非標準分析對數理邏輯的要求非常高,我覺得比標準分析還難…我覺得點集拓撲的語言更好…
並木有,這個語言是最簡潔好接受的
baby rudin上在介紹了一點拓撲後引入的,手機碼字抱歉有些符號看著很難受
「Let {pn} be a sequence in a metric space X,{pn} converges to p∈X if and only if every neighbourhood of p contains {pn} for all but finitely many n.」
非標準分析。
你要說簡單精鍊?其實也不算。但是,在某種方面,它(非標準分析)在某種程度上契合了人們對無窮小的簡單認識,從而其理解會相對簡單。(B格醞釀中)
從1920到1950年,數理邏輯之模型論誕生,它探討了服從某一公理體系的數學結構――模型。簡單來說,模型就是實現公理體系的一組數學對象,比如說,歐式幾何以平直空間為模型,等等。
那麼,我們研究的實數的公理體系,也就是一大堆代數定理的模型是什麼?是標準實數系R。在這個系統里,沒有複數。於是人們引入複數。在這個系統里,沒有無窮小和無窮大。於是人們引入非標準分析。
我們設R~是超實數系(這名字就很有B格),它在普通實數系的基礎上,添置了無窮小和無窮大以及其和原實數的組合,並統稱之為超實數。為了說明這一點,我們稱R~中包含於R的元素為標準實數,否則為非標準數。一個超實數,如果它小於某個(只需是一個哦)標準實數,就稱之為有限的超實數;如果它小於任何標準正實數,就稱為無窮小量;不是有限的超實數稱為無窮大量。無窮小量的倒數是無窮大量,反之亦然。
有了這些基礎,我們可以開始建立極限的有關概念了。每一個有限超實數x都由一個標準部分std(x)和一個無窮小量組成,這個標準部分就是在R內x的影子(我也不喜歡,但確實是),比如超實數2的影子是實數2,2~-2為無窮小量等等。每一個標準部分(即一個實數)都被無數接近之的超實數包圍,相應地稱這些超實數為該實數的光暈。那麼,我們在超實數系中討論完後,可以利用其標準部分把結果還原到實數系裡。(累)
那麼,就很好解決啦,非標準分析里,定義序列的極限為其末項的標準部分,函數的極限即為該處函數值光暈的影子(就是標準部分啦,不過注意是光暈的標準部分,因為函數值不可以排除沒有定義的情況)。
有點暈?舉個例子。序列1/n在n趨於無窮的極限?我們知道末項是1/∞(傳統的確不合法,但非標準分析可以),即為無窮小量,影子是0。完了。
複雜一點?函數y=x2的導數?取光暈!y=(x+o)2=x2+2ox+o2,光暈即y的無窮小變化和x的無窮小變化o的比值,即(x2+2ox+o2-x2)/o=2x+o,影子就是2x,在這方面的用處就是這樣,實際就是省去了極限傳統定義的冗雜和麻煩之處。不過許多數學家還是堅守傳統,認為嚴格的推理才是美的真諦(真沒收美的的廣告費),然而,非標準分析的邏輯性和歐幾里得理論一樣,也是自洽且合理的。
不說太多,考試反正不考,看看就算了吧。還有,什麼蛇皮排版,忒累了。
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分割線?做什麼用的。。。。張景中院士寫的走進教育數學叢書裡面張景中院士提出了直接用導數展開微積分的方法值得參考
非標我不會,我最喜歡的是任意A鄰域U(A),存在x0的去心鄰域U(x0)(去心小圈不會打),f(U(x0))?U(A)只用到了拓撲結構,沒有度量結構。似乎什麼都沒說,又什麼都說了
泛函分析,開集
非標準分析,不過這個東西很代數就是了
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