概率論問題：邏輯上說不通？

01-14

一開始有 4個數 3 5 4 60
設事件A為選出是3的倍數
設事件B為選出是4的倍數
那 P(A)=1/2,P(B)=1/2;
P(AB)=1/4==P(A)P(B)

說明 A,B事件相互獨立，即A,B事件的發生對對方無影響
再加一個數變成 3 5 4 60 1
同樣
設事件A為選出是3的倍數
設事件B為選出是4的倍數
那 P(A)=2/5,P(B)=2/5;
P(AB)=1/5=X=P(A)P(B)=4/25
說明 A,B事件不相互獨立，即A,B事件的發生對對方有影響

那麼問題來了，為什麼就是加了個對A,B事件都無影響的一個數 1
A,B事件就從無影響變成有影響了那？

現實中的兩個事件獨立，是因果意義上獨立，兩個事件的機制沒有關係。

概率論中的兩個事件獨立，是兩事件都發生的概率是其發生概率之積。概率論中的事件，也不能脫離開樣本空間及其概率考慮。問題中改變了樣本空間和概率，事件的獨立性也會改變。

概率論中的獨立，其實有點tricky。舉個例子：父親有某種常染色體顯性性狀（不影響生育），和母親有這種性狀，相互獨立。但如果知道孩子是否有該性狀，則父母有沒有這個性狀就不再獨立。比如知道孩子有，母親沒有，則父親必定有。

另一個例子是，兩兩獨立，不一定相互獨立。比如擲兩個獨立硬幣。如果結果相同，則第三個硬幣是正面；如果結果不同，則第三個硬幣是反面。可知這三個硬幣兩兩獨立，但任兩個可以決定第三個。

沒有公理化的概率論就是玄學。

這個例子很好的說明了，事件的獨立性是依賴於概率空間的。

多了一個數字1使得樣本空間不同，導致了概率空間不同。不同概率空間上的事件的性質當然可能不一樣。

所以要明白這個問題，只需要搞懂簡單的概率空間定義即可。任何大多數概率論的第一章都會討論這個東西。

當然如果硬要把這個問題帶入生活中，那它就是玄學。

加了一個1以後，事件A和事件B都和原來不一樣了，而不像題主說的「對事件A，B沒有影響」。

在不添加1的情況下，事件A的完整表述為：從｛3，4，5，60｝中等概率的選擇一個元素屬於｛3，60｝

在添加1之後，事件A（A"）的完整表述為：從｛1，3，4，5，60｝中等概率的選擇一個元素屬於｛3，60｝

可以看到，A和A"是沒有任何關聯的兩個事件，只是恰好有相同的自然語言描述。

至於其他答案里提到的因果性問題，局限在概率論以及獨立性的話題下，根本無從探討因果性。因為因果性是超越聯合概率的存在。

生活中我們對獨立的一般理解是不依靠他人和不受其它因素影響。把這種理解加以推廣，概率論中隨機事件A和B相互獨立是指其中一個事件的發生不會影響另一個事件發生的概率。

按照古典概率論，隨機試驗的基本結果組成樣本空間；每個基本結果為1個樣本點，各個樣本點（基本事件）出現的概率相等；隨機事件是樣本點的集合；概率是隨機事件A所包含的樣本點數目占樣本空間上全部樣本點的比例。

我在對另一個相關話題為什麼P(A|B) = P(A)可以推出事件A和B相互獨立？的回答已經列舉了隨機事件A和B獨立，即隨機事件B的發生不影響隨機事件A發生概率的兩種情況：

（1）隨機事件B的發生不影響隨機事件A所在的樣本空間；或（2）隨機事件B的發生縮小了隨機事件A所在的樣本空間，但在新的樣本空間中隨機事件A包含的樣本點數目等比例縮小。

其中情況（1）比較好理解。而題主的兩個例子中隨機事件B的發生都縮小了隨機事件A所在的樣本空間，這時要驗證隨機事件A發生的概率在縮小後的樣本空間上發生的概率是否改變。

第一個例子中，樣本空間包含3， 4， 5和60共四個基本樣本點，事件A=「是3的倍數」包含3和60這兩個基本樣本點，所以事件A發生的概率是2/4=0.5。已知事件B=「是4的倍數」發生，由於事件B包含4和60這兩個基本樣本點，我們知道3和5這兩個樣本點是不可能的結果，因此縮小後的樣本空間只包含4和60這兩個樣本點。而在這個縮小後的樣本空間中事件A只包含60這一個基本樣本點，事件A發生的概率保持0.5不變。在這種情況下隨機事件A和B是相互獨立的。

增加一個數1 後，新的樣本空間包含1， 3，4，5和60共五個基本樣本點，事件A仍然包含3和60這兩個基本點，因此事件A發生的概率變為2/5=0.4。當事件B發生時，可以排除1，3和5這三個樣本點，所以縮小後的樣本空間只包含4和60這兩個樣本點。由於在這個縮小後的樣本空間中事件A只包含60這一個基本樣本點，事件A發生的概率不再是0.4，而是1/2=0.5，也就是說隨機事件B的發生影響了隨機事件A發生的概率，因此在這種情況下隨機事件A和B就不再是相互獨立的了。

概率獨立≠真的獨立。

滿足獨立公式的情形，就是概率獨立，而這只是數學家的一個定義罷了，並不是指兩個事件真的獨立。數學家僅靠數字是無法知道兩件事情是真的獨立、還是看起來像是獨立的。（然而如果兩件事不是獨立的，則可以準確地知道。概率不獨立＝真的不獨立）

那概率獨立有什麼意義呢？意義就是，如果兩件事件概率獨立，那麼就可以把它當做真的獨立來看，處理起來方便罷了。

題主給的題目，就是兩件事件概率獨立、卻並不真的獨立的例子。正是因為事件並不真的獨立，所以加入1之後才會顯得那麼荒唐。

另:關於兩兩獨立與相互獨立，如果兩兩真的獨立，那麼一定三者相互獨立。

兩兩獨立而相互不獨立的情形，正是由兩兩概率獨立而並不真的獨立這一情況所造成的。

因為第一個例子中的相等是巧合而已。

一開始有兩個數 3 4

設事件A為選出是3的倍數

設事件B為選出是4的倍數

那 P(A)=1/2，P(B)=1/2，

P(AB)=0，P(A)P(B)=1/4

發現了嗎，12的倍數完全可以不存在啊。

「一個數是12的倍數的概率」應該是「一個數是3的倍數的概率」乘上「一個3的倍數是4的倍數的概率」

謝謝大家了，，真沒想到會有這麼多人回復，我已經有點明白了

概率，就是要反映某個事件占所有可能性的比例的啊~

而且根據概率中獨立的定義，正是要說兩個獨立的事件一起發生的概率等於各自發生的概率的乘積，即對於事實A,B，有P(A,B)=P(A)P(B)。

事實上，只要有一個事件的概率不為0（不妨讓A的概率不為0），那麼便根據條件概率的定義便可以得到 $P(B|A)=P(B)$ 。事實上，這也可推出 $P(B^{c}|A)=P(B^{c})$ ， $P(B|A^{c})=P(B)$ ， $P(B^{c}|A^{c})=P(B^{c})$ 。其中，上標的c表示該事件的補集，當然也要要求A的補集概率非0。

所以，獨立的直觀意義就是，無論A是否發生的條件之下，並不改變B發生的概率。

但無論如何，當你給所有的可能性中添加了一個「1」，便改變了「樣本空間」，於是這些事件占所有可能性的比例就會隨之改變。而獨立性隨著概率跟著變化，這不都是很正常的嘛。。

所以，可以總結一句：

獨立性依賴於特定的樣本空間。

所以，在 Mather King的例子中，有「如果知道孩子是否有該性狀」之句。事實上這句話也改變了原本的樣本空間，所以並不能期待原先的獨立性仍然成立了。

不過在其它的領域，「獨立」有明確的定義嗎。。

雖然 Mather King 同學提出一種邏輯上的直覺理解，我覺得很正常——

比如通常一個無隨機性的因果機制，可以畫成一個有向無圈圖。對其中的每個頂點（即某個事件），都向上溯源，可以約定，兩事件的祖先的交為空，即說這兩個事件獨立。。

關注一下，慢慢想想。

直觀上看起來，第一次的獨立是湊巧得到的，而不是一個普遍情況。隨機堆一堆數字在那裡，都得不到這個結果。

但是從定義上來說，pAB = pApB，是充要條件，而不是必要條件。

所以，我覺得，從條件概率定義會不會更準確點？

P(AB)的概念理解錯了唄，事件A＝3，事件B＝4，也叫事件AB啊。