如何解決今年北大自主招生一道面試題？

01-14

本題為其面試中一題第二問，其原題如下:
1.證明:對平面上任意一個有界區域，一定有一條直線將它分成面積相等的兩個部分；
2.證明:對平面上任意兩個沒有公共部分的有界區域，一定有一條直線把它們的面積分別平分；
3.證明:對平面上任意一個有界區域，一定存在兩條互相垂直的直線，把它分成面積相等的四個部分。
對於第一個問題，只需要構造該區域被該直線分成的兩部分關於一個變數的面積差的函數，之後利用零值定理說明平分面積的直線存在。那麼對於第二個問題如何解決？

（應要求修改問題描述，本身內容不變）

火腿三明治原理在n=2的特殊情況。

證明如下:建立坐標平面，對於任何一個給定的0到180度的角，一定有一條傾斜角等於這個角的直線平分第一個圖形的面積，也一定有一條在傾斜角等於這個角的直線平分第二個圖形的面積。

現在讓給定角從0度轉動到180度，兩條直線也隨之轉動。注意到起始位置與終止位置直線是相同的，但各自轉了180度。由於轉動是連續的，必有一個時刻兩條直線重合。

我提供一種直觀且"低級"的操作方法。語言上不嚴謹，意會即可。

在此之前，先糾正一種易犯的錯誤:連接重心。事實上過重心任意一條直線想要平分面積，一般來說都是做不到的，稍後我會引申這個問題。

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方法

先畫一條直線過A和B，分別分割為A1A2和B1B2，只保證A1等於A2，B1和B2的關係則無所謂。這是一定能做到的。只要取A無數平分線中任意一條過B的即可。

此時取直線在A內的割線的中點P，我們容易了解到以下事實:直線繞中點P旋轉一個無限小的角度，則它仍然平分A。(利用無限小角度情況下的圓弧近似，誤差是高階小量。當然，必須是中點才能滿足這種性質)

現在看B1B2哪個大，就往哪邊轉一個無限小的角度，這樣，得到的新的直線仍然平分A，而B的兩部分的面積差縮小了一個無窮小量。

然後取新的直線在A內割線的新中點P"(它比起P已經有了一個無窮小位移)，如此往複，進行無限次旋轉，平分A的特徵永遠保留，B兩部分的面積差不斷縮小直到等分。

當然，以上過程是無窮多步無窮小操作的迭代，所以是連續過程而不是離散過程。具體操作可以用微分方程描述。

補充:

以上結果僅是對嚴格凸的星形區域進行描述的，因為必須事先做這樣的假定:任意直線和此區域只交出一條割線。但是對於包括多連通封閉區域在內的一般情況，割線可以有多條，這時候"中點"就不那麼容易確定了。不過這不是本質問題，定義如下推廣的中點:取直線上任意一點為原點，定義函數f(x)=1(當直線上坐標為x的點落在區域內)或0(落在區域外)，則中點坐標由全直線上的積分x0=∫xf(x)dx確定。

事實上，這是一維的重心問題。可以把這條斷續分布的直線看作一根有的地方勻質有的地方輕質的桿，則其"中點"就是其重心，或者說讓其在均勻力場下平衡的支點。這是因為旋轉微分面積和均勻力場的力矩兩者都是一階矩。

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為什麼直接連接兩區域的重心不行？

事實上，面積是面積元積分(注意:不是剛才的旋轉微分面積)"，是零階矩，而重心是以位矢加權的面積元積分，是一階矩，它們一般沒有必然關係。

特例是當區域關於其重心有xy反演對稱性(通俗說就是180度的旋轉不變)，任意過重心的線可以平分面積，這是因為此時任意過重心的連線都是反對稱軸，上下積分區域全等。我們最容易舉出的圓、橢圓、正方形、矩形、平行四邊形這些例子無一例外都是擁有這種對稱性的。相應的，一般梯形就不符合這種規律。任意三角形也都不符合，即使對稱性最高的正三角形(正三角形旋轉180度會倒過來)。過重心也只有三條垂線能夠平分面積，而其他線不可以，比如平行於一條邊的線就把面積分成4:5兩部分。

可以查閱Munkres的Topology的第57節，Borsuk Ulam Theorem。非常簡潔優美

猜一個：在兩個封閉區域各取兩點，確定一條直線，設f1表示直線分第一個區域兩邊的面積差，f2為第二個區域的。

這樣f1和f2一起，得到了映射F:R4→R2，我們有理由相信F是光滑的，且是淹沒的，然後使用一下淹沒標準型，然後就比較直觀的應該有f1,f2過0點了。因而有直線平分兩個區域。

為啥會出這麼老的一道題目啊。。。其實就是用拉格朗日中值定理再加上第一題的結論就好了。

空想了一個不太嚴謹的證明…歡迎討論

先證明對於一個封閉區域任意角度的直線都可以平分其面積：就可以通過題主所說的方式證明，並且易知平分一個區域面積的直線與角度無關，即任意角度的直線總可以平分一個封閉區域。

在證明題目結論：兩個封閉區域都存在任意角度的直線平分自己面積，此時考察兩條分別平分各自面積的且斜率相等的直線。這兩條直線只有兩種位置關係：1.平行，2.重合。而平面內兩條直線的角度從0遍歷到180之間，總存在一個角度使兩直線重合，此時就是同時平分兩封閉區域。

開始寫了個射影幾何的做法，但是說不清楚intersection number on non-orientable manifold, 刪了。

對@馮白羽在如何解決今年北大自主招生一道面試題？ - 匿名用戶的回答下的評論的實現：

取一水平直線平分區域一，把區域二在直線左邊（在直線上取一單位向量a，a逆時針轉動一下進入的區域為左）的面積與直線右邊的面積的差設為g(x, t)。不妨設開始t=0時 g(x,0)&>0。在保持直線平分區域一的條件下將直線逆時針轉動。直線轉動180°之後a(pi)=-a(0)，g(x,pi)=-g(x,0)&<0。由介值定理知道存在t使得g(x,t)=0。

提供一個思路吧

首先給出一個面積差的嚴格定義（比如沿直線x從負無窮到正無窮運動的時候直線的左側面積減去右側面積）

然後兩個圖形的面積差構成一個二元二值的向量值函數（直線由y=kx+b給出，k和b是自變數，兩個面積差f，g構成向量值函數）

則f，g各自的零點構成k，b平面上的一條曲線（可能是不連續的兩段比如雙曲線），如果f，g各自的零點曲線不相交，則某個函數（比如f）的值為正的區域完全落入另一個函數（g）為正的區域也就是說不存在f為正而g為負的情況

但是可以看出f，g互為正負的四種情況均存在，所以f，g的零點曲線必相交，所以存在一組（k，b）使f，g均為0

易知對任意閉合曲區域，對傾斜角為θ(0≦θ＜π)的直線集，有且只有一條直線平分該區域

固定區域A，作傾斜角為α的直線平分A，平移區域B使其被直線平分，其在直線上作平行於直線的平動，構成關於區域B的位置集合Ui，Ui中任意一元素中B被平分。改變傾斜角，構成無數個集合Ui，Ui的並集一定包含B的原始位置

易知，有且只有一條直線同時分割AB