如何科學地用1：1的方塊紙折出1／3？

昨日大學化學實驗上老師教我們折出1／3，然後折出一個容器，但1／3如何科學地折出？

然後按線折。

本篇文章來介紹N等分線段的Fujimoto逼近演算法。

這個方法只能保證一定可以找到1/N的位置，但過程中能否找到其他點，是不一定的。下面我們就來看看這個演算法。

本文的方法及圖片整理自 PROJECT ORIGAMI, Thomas Hull

首先，任何一個N，我們可以做素數分解，比如15=3*5，我們只要先3等分，再在3等分的基礎上5等分即可，所以下面假設N為奇素數。

做為例子，我們先來看看5等分線段，這裡我們把線段看作矩形長紙條，以此來介紹Fujimoto逼近法。

我們將整張紙條記為1，任意一端記為0.

1. 先猜一下1/5的位置（方便敘述起見，取靠近左端的），在紙的上沿輕輕摺疊一下做個記號。

2. 將記號右邊對摺，注意不要完全折平，像第一步一樣只用在上沿做個記號，此記號位置大約為3/5。

3. 將上一步的記號右邊對摺，要求同上，記號位置大約為4/5。

4. 將上一步的記號左邊對摺，記號位置大約為2/5。

5. 將上一步的記號左邊對摺，記號位置大約為1/5。

6. 最後這個記號就可以作為5等分點了。

整個過程如下圖：

以上就是演算法的基本步驟，就是左邊取大約1/N，右邊不斷對摺直到右邊的剩下的份數是奇數（注意，不一定可以達到1份，比如7等分的情況），然後再將左邊不斷對摺，這時會回到1。

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什麼？這真的是5等分點嗎？

確實不是，但已經很接近了，可以達到實際應用的要求精度了。

下面我們來看看它為什麼可以。

我們先假設初始位置是1/5±E，然後右邊對摺一下，E也被平分，所以得到3/5±E/2，同樣的道理，我們依次得到4/5±E/4,2/5±E/8,1/5±E/16,這1/5±E/16便是我們選擇做為5等分點的位置，由此可看出，已經很接近了，再重複一次5個步驟可以再進行精確。

最後我們來討論一下什麼時候可以用演算法遍歷所有N等分點。

這裡需要一點數論知識。我們知道任何素數p,模p剩餘類（所有整數除以p只取餘數組成的集合）的非零元素可以構成乘法循環群（可以由某1個元素不斷自乘得到所有元素，這個元素叫生成元）。其實這個問題就等價於2(mod N)是不是模N剩餘類非零元素乘法群的生成元！

現在假設我們有火眼金睛，讓E恰為0，我們用表格記錄下我們每一步的結果：

我們可以倒著看這一過程。我們正著做是等分，那麼逆過程是什麼？就是長度乘2。這很關鍵，這就是說， 如果我們可以通過將1份不斷乘2得到所有分點的位置，我們就能再逆回來用原來的演算法生成所有分點！

我們仔細看左邊，上邊的數恰好就是下邊的數乘2再除以5的餘數！演算法中的轉向再對摺就代表乘法的結果超出了5，要取一次餘數繼續乘。因為左邊遍歷了1到4，也就是模5剩餘類的所有非零元，所以2可以生成整個循環群。

作為反例，我們看看7的情況，這次就沒這麼幸運了。

不過，我們既然找到了1/N點，不斷複製就好了。

歡迎大家繼續討論。