為什麼人的很多感覺都是對數的，例如視覺、聽覺？

01-14

人的視覺是對數的，如常見的視力表就是對數視力表；
人的聽覺也是對數的，例如人對音高、音量的感覺都是。
但是，為什麼人要進化成這樣？或者說，這樣在進化中有什麼好處呢？

碰巧最近查過與此相關的問題，我覺得應該能一定程度上解釋題主的疑惑。

要解釋這個問題，我要隆重推出一個心理學領域很重要的定理：韋伯-費希勒定理 (weber-fechner law)：

在同類刺激之下，最小可覺差的大小是隨著標準刺激強弱而成一定比例關係的

最小可覺差（JND, just-noticable-difference）的定義是：辨別兩個刺激之間的差異時，這兩種刺激強度最低的差異量。

（以下內容參考維基的英文頁面）

為了更好的理解上述定理，我來舉個栗子。不對，這次是舉兩個「栗子」！

假如有這麼兩個栗子，一個栗子重100克，另一個栗子比100克重，就憑你的一雙玉手，這另一個栗子要重到什麼程度你能掂量出分別？1千克，你肯定感覺出來了，這栗子特么是鉛做的，嗯。101克呢，估計你感覺不出來了，除非你是菜市場叱吒風雲的秤肉師傅。假設到了105克，誒你剛好感覺出區別了，這就叫最小可覺差為5克，所謂 just-noticable-difference。那麼是不是無論栗子有多重，只要相差5克你就能感覺出來呢？顯然不是，你可以想像一下，我拿一個重1噸的栗子，和另一個1噸零5克的栗子（也是拼了），你肯定感覺不出來了，相對差異太小。這時候，可能重量相差50千克，你才能感覺出來區別。這就是所謂的，最小可覺差（5克到50千克）和刺激強弱（重量刺激，100克到1噸）成正比。

用公式怎麼表達呢？假設所謂的感覺上的強度用 $p$ 來表示，感覺上的變化就是 $dp$ , 而外界刺激的強度用 $S$ 表示，其變化就是 $dS$ ，那麼韋伯-費希勒定理可以用下式表示：

$dp=kfrac{dS}{S}$

$k$ 是個常數，表示感覺的絕對變化和刺激強度的相對變化之間的比值。刺激越大（ $S$ 越大），就需要更多的刺激變化量 $dS$ ，來達到相同的感覺上的變化 $dp$ 。這裡還有個術語，叫韋伯分數（weber-fraction），說的就是 $dS/S$ 的值，在心理學生物學類的文獻中廣泛使用。而最小可覺差，就是在給定 $S$ 下對應於 $dp$ （剛好能夠感覺出區別的值）的那個 $dS$ 。

這個微分方程多典型多熟悉呀，瞬間寫出通解

$p=kln S+C$

其中 $C$ 是積分常數，為了得到 $C$ ，我們令 $p=0$ ，也就是恰好沒有感覺的時候，設這時候的刺激的強度是 $S_0$ （也就是能讓人產生感覺的刺激閾限，也可以理解為和沒有刺激相比的最小可覺差），那麼就得到

$C=-kln S_0$

代入可得，

$p=kln frac{S}{S_0}$

這說明了神馬？這不就恰好說明，感覺上的強度，和刺激強度的對數，成正比么？

所以說，無論聽覺（聲強），視覺（亮度），還是其他感覺，我們都使用對數強度來度量，正是因為採用對數度量，其值的大小剛好和我們的感覺是相符合的。比如從1分貝到2分貝，給我們聽覺上的感受是剛好大了一倍。

相關的參考文獻有很多，感興趣的自己去搜一下。

至於進化上的優勢，我認為對刺激強度的對數來做出成正比的反應是一種非常合理的方式，當刺激很小的時候，我們要變的比較「敏感」一些以察覺非常細小的絕對差異（這時候細小的絕對差異才更有意義），當刺激強度大的時候，就變得相對不那麼敏感，因為這時候細小的絕對差異意義不大了。

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PS: 其實我之前對這個領域完全不了解，所以有什麼更好的專業解釋歡迎指正或補充。

那為什麼我會搜到這個，因為我之前問了一個問題肉眼可分辨的極限速度是多少？然後。。。哎，沒有人鳥我，於是我就自己去搜吧，搜了很多很多生物學的心理學的文獻，了解了很多這類知識，在眾多文獻中，提及次數最多的術語，就是 JND，和 weber fraction。在人類感知的各個方面，都有無數的科學家在通過實驗，確定著 JND 的值，以及它的其他性質。事實上，實驗表明 weber fraction 也會隨著刺激值的絕對大小而變化，變化趨勢大致呈 U 型[1]。這裡面機制就比較複雜了。

噢，對了關於我提的這個問題，其答案，其實就是我上面所說的 $S_0$ 的值，這裡的刺激是運動物體的速度對視覺的刺激。但遺憾的是，我搜到的文獻並沒有具體給出這個值（似乎不是他們所關心的），但根據他們提供的實驗曲線 [1] 估計大約是 0.01°--0.06°/s 的速度範圍吧。（不好意思跑題了

[1] De Bruyn, Bart, and Guy A. Orban. "Human velocity and direction discrimination measured with random dot patterns." Vision research 28.12 (1988): 1323-1335.

視覺沒研究過,對聽覺來說,按音高來說,確實人對低頻的分辨力比高頻強太多,可是,認為人耳聽覺分辨力一定要和對"米"的單位(波長)分辨力一致那才是奇怪呢,如果我換種方法來定義頻率,完全可以得到和人耳一致的,不需要對數表示的單位.

然後,曾經看過一篇研究,生物在進化中顯然越是能夠聽到更廣頻段聲音越佔優勢,但是,自然界的大多數聲音,如果我們將其分為樂音(帶音高的)和噪音(無明顯音高的),在人類出現之前,由於大部分動物發聲器官的構造,絕大部分樂音都來自於動物的叫聲,噪音一部分是生物發出的,一部分是環境自然產生的(海浪,落石,風等).能夠更清楚什麼聲音來自於什麼動物或環境,顯然是生物進化的方向,然後,大多數動物的叫聲,其基頻和諧波以及共振峰都集中於400--4000hz的範圍內,因此進化出能夠詳細分辨400--4000hz範圍內聲音的生物絕對佔據進化優勢,而4000以上的聲音,至少在自然界,包含的信息量相對較小,並且頻率越高信息量越少.因此在這個頻段擁有強大識別能力的生物,並不佔進化優勢.

那麼,久而久之,自然大多數生物的聲音頻率分辨力都會進化為低頻中頻分辨力強,高頻分辨力弱的形態.

我猜想視覺上也會是類似的過程吧.

業餘地過來說兩句自己知道的

用對數衡量只是一種模型，比如人對亮度的感知，不只是有對數模型一種，但對數模型相對來說更加好用一點

如果是非線性關係，那麼對數是良好的擬合曲線，簡單方便誤差又不太大

其實問為什麼自然界到處都是高斯更加有哲理一點

不是人的感覺是對數的，跟進化也扯不上半毛錢關係。用到對數來衡量的量，基本是因為直接測量得到的數字不好。

比如你說的視力表，定義是：視力= 5.0 - lg α，其中α是視角，約等於視力表上的那個E的寬度 / 你跟視力表的距離，是非常非常小的數字，如果不用對數的話，4.8的視力和4.9的視力就要用很多位小數來表示了，而且看起來還沒什麼差別。而人們都有個習慣就是喜歡1~10或者0~1的數字表示。處理圖表時都要求你座標軸單位都得弄成這樣。

再舉個很常見的例，表示酸鹼度的 ph值為 $- lgleft[ H^{+} ight]$ ，比較氫離子濃度是0.00000001mol/l的和0.000000001mol/l的兩種液體的酸鹼度，如果這麼寫我都懶得數自己打了多少個零，但是如果用使用了對數的ph值表示，那就是8和9，一目了然。

伽利略曾經曰過：給我空間、時間及對數,我就可以創造一個宇宙。

對於數字太小或者太大，也有不是用對數的，比如眼鏡的度數，是直接乘以一個大的常數，但是不是所有量都是均勻的。

感覺正是因為如此，對數才顯得重要。

分母大了，分子自然也需要變大才能保持分數不變