一個無限不循環數，如圓周率，假設我取它的足夠多位，那麼它以後無論接著取多少位，它的每個數字出現的頻率？

01-14

它的每個數出現頻率是否會趨近一個定值，如果會這麼求。

怎麼還有人問我無窮個實數怎麼選的問題？我本來就沒指什麼操作性的方法，說的就是一個隨機變數服從均勻分布。別再問這種問題了行么

評論有人不理解我的意思。再解釋一下。

從3到4隨機選擇一個實數（按照均勻分布理解），那麼每一位數是否取到k（k屬於｛0、1、2...9｝）都可以看作獨立的取值為0到1的同分布隨機變數xi，期望為1/10，所以由強大數定律，（x0+....xn）/n的極限等於1/10的概率為1。

以下為原答案

我不知道答案。如果從3到4之間隨機選擇一個實數，根據強大數定律每個數字出現的頻率趨於1/10的概率為1。

也就是說如果pi不是一個足夠特殊的實數那上述結論就對。

但是據我所知沒有理論能做到這點。

無理數雖然是無限小數，但是並不能遍歷所有的組合，所以概率和隨機分布是不同的

這是個好問題。

據我所知，數學上還沒有這樣的證明，來證明無理數各位數出現的頻率收斂與某個值。但是，實際上有人統計過π的前5000位數，發現各數字出現的概率是相同的。據稱在2000年的時候有人證明過π的2進位形式每位數出現的概率相同。

有人證明過，幾乎所有的無理數都是正規數（「幾乎所有」的含義是，例外的數字構成的集合Lebesgue測度為零），也就是說，我們可以隨機取一個無理數，其中各位數字出現頻率不均等的概率趨向於零。

還有，好像絕大多數人認為computable numbers都是正規數。

謝邀。

圓周率沒有研究過，不過對於普通的無理數，樓主說的問題應該是沒有固定結論的。

2個例子：

無理數A=0.10110111011110111110……，每一次出現1，1的個數加1，之後插入一個0，這樣無限下去，永遠沒有循環，但是1個個數的佔比的極限是100%

無理數B=0.100111000000111111111111……，每次出現1或0的變化，新數字的重複個數都是前面所有數字的總個數，這樣在趨於無窮的時候，1的佔比至少存在兩個收斂的點，一個是1/3，一個是2/3.當小數位

$n=3*2^{2k-1}$

1出現的佔比是2/3（k為自然數），當

$n=3*2^{2k}$

1出現的佔比是1/3

這樣，無理數B的數字結構，就是沒有唯一的極限的。

至於圓周率，太過複雜，就不太清楚了。

自然生成的無理數，比如圓周率，根號2，e，各個數字的分布概率是均等的。因為生成無理數的條件，任何10進位的數值表示方式不會有線性相關的關係

但是數學不禁止人工構造數值，比如我就強行定義一個數值 0.122111222211111222222...

這是無理數，是無限不循環小數，當然不同數字出現的概率是不同的，只出現1和2嘛

下面兩個網頁分別給出了pi和e的數字分布，都很接近於10%的平均分布

Pi Digits -- from Wolfram MathWorld

e Digits -- from Wolfram MathWorld

這裡是一篇分析文章，採樣的位數較少時，分布有一些偏差，但是很大採樣時，數字分布趨近於理論值，這個趨勢是明顯的

Is e Normal

這個問題以前見過，據說經過編程發現說每個數字出現的頻率為0.1

真相在這裡：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A7%84%E6%95%B0 ，在@賈明子的答案里提到的。欣慰的是，瞎猜的進位有關和代數數有關的結論早也有人開始研究了:D

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非數學專業瞎答。

很多答案都提到對任意無理數的話，是可以構造出任何比例的數字出現頻率，但是對於一個特定無理數沒看到相應的結論。

我想到的是另外一個相關問題，如果改變進位會不會有什麼影響？例如，假設pi裡面各數字如果是均勻分布的，那二進位的pi里0/1是否也是均勻分布？直覺這個問題對於代數數也許有辦法證明，也許可以被推廣到能用級數表達的pi和e，但對於一般的超越數是肯定沒有解的。

暑假的時候閑著沒事算過，足夠多的位數以後，基本上概率是一樣的，我當時瞎猜以為會是正態分布，算了前100萬位，統計下來每個數字基本上都是百分之十。

劉維爾證明了的第一個超越數－劉維爾數，小數點後只有0，1，而且0出現的概率為1，可見超越數或是無理數小數點後並不一定等概率出現

對於一個自然生成的數（如何定義自然生成？），個人感覺自然生成是否本身就意味著小數點後每個位置各個數出現的概率應當相等？這樣本身就意味著0-9等概率的出現，而這些數中代數數又是可數的，去掉這些數，所以自然生成的超越數或是無理數0-9還應該等概率的出現

但對於一個具體的超越數或是無理數而言，證明它小數點後面是否是等概率出現應該困難的，因為即使知道了它的表達式，我們也只能用逼近的方法去逐次求它的值，而無法直接去求它小數點後面第x位的值（跳過求其前x-1位的值的過程），這樣使得判定是否等概率出現很複雜，也使得一些略微複雜些的表達式，如歐拉常數，我們甚至無法斷定它是否是無理數

以上均是自己胡想，不知對答主是否有所幫助

首先寫一個0.1。此時小數部分1出現的頻率為1，0出現的頻率為0。

然後在後面寫最少的0，使得1出現的頻率降至小於0.1。

然後在後面寫最少的1，使得0出現的頻率降至小於0.1。

然後在後面寫最少的0，使得……

如此循環，顯然每次寫出的0(或1)都比上一次寫出的1(或0)多。所以這是一個無理數。並且位數趨於無窮時，0和1出現的頻率不存在極限。

是不是這個意思..以前我也這樣幻想過.無限不循環小數並不是不循環.只是循環起來比較慢.也許在一億位以後才開始循環..因為在除法的過程中.餘數肯定有一樣的時候吧？！

位數趨於無窮時，頻率分布可以不收斂。

確實應該先從二進位開始考慮

無理數可以是非各態歷經隨機過程.

無規律可循,

0到9的比例未必為嚴格的10%:10%:10%:....10%

無限不是均等.

可以構造出0到9為任意比例的無理數.

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試著給出構造過程如下:

要構造x0:x1:x2:...x9比例的無理數.

(0) 先給k=1個A = (x0個0,x1個1, ...x9個9),

然後是x0個0,

然後又是k=1個A

然後是x1個1,

然後又是k=1個A

....

(9)然後又是k=1個A

然後是x9個9,

令k=k+1, 重複以上(0)到(9), 無限循環, 得到構造的無限不循環小數.

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該小數可以讓0~9的比例為任意整數比例(有理數比例),

證必.

似乎不均勻，但是現有的計算力推翻不了均勻的假設。

參考Introduction to Probability Models, Eleventh Edition 166頁習題22。

無理數之所以為無理數，就是它的數值排布沒有道理。

在不知道圓周率具體數值的前提下，你是永遠無法得知下一個數字究竟是幾的，即某個確定數概率是10%。

換個思路，圓周率數字每一位是確定唯一的，故而任意一位猜測都是10%概率猜對。

當然，其實我也一直堅信，所謂的無限不循環小數，其數字真有可能遵循某種規律，只是數論大神們還沒有發現。也許發現這個規律後，數學界又將打開新的一扇大門，也許人的生活都將提升一個次元也不一定(?&> &

既然是無限不循環的數，直覺告訴我各數字的概率應該是一致的吧

圓周率是無限不循環小數嗎，如果能夠嚴格證明是的話；那麼無理數(無限不循環小數)各數字出現概率相等嗎?定義上可沒有說這一條。

也可能Pi是很特殊的無理數，使得概率會相等，就是說概率是否相等跟是不是無理數沒有關係，題目可能會混淆這三個概念。

感覺說不清楚，沒有仔細研究過。