如何理解對數?

01-14

宮崎駿的電影《起風了》，裡面的主角是一個飛機設計師，繪製圖紙的時候總是手裡拿了一個長條狀的東西：

這是什麼東西？拿來幹什麼用的？還得從對數說起。

1 在數軸上表示對數

1.1 數軸和加法

數軸上的數和後繼的數之間是 $+1$ 的關係， $1=0+1$ ， $2=1+1$ 。我們把它稱為 $+1$ 坐標系吧。

把 $+1$ 的關係變成 $+2$ ，數軸上的就全是偶數了。數軸還是那根數軸，可是坐標系變了，我們把它稱為 $+2$ 坐標系吧。

$+2$ 坐標系中，上面的藍色的字表示真實的數值，下面的灰色的數字表示順序，也就是說序號為0的數值是0，序號為1的數值是2，序號為2的數值是4。 $+1$ 坐標系也有序號和數值，只是剛好都相等。

從 $+1$ 坐標繫到 $+2$ 坐標系有什麼變化？只是簡單的放大了一下數軸的尺度。

1.2 數軸和乘法

我們試試把加法數軸變為乘法數軸（這點是沒有什麼問題的，加法和乘法等價的，即乘法完全可以被加法替代），當然要從1開始計算，因為從0開始的話，乘法的結果永遠是0。

這種數軸我把它稱為 $imes 2$ 坐標系。

1.3 數軸和對數

$imes 2$ 坐標系其實和對數有關，我們看下：

灰色的數字就是對數了，稍微修改下看得更清楚：

按照現在的術語， $imes 2$ 坐標系其實就是指數坐標系。但是，在剛出現的時候，其實 $imes 2$ 坐標系和 $+2$ 坐標系沒啥區別，所以當時的人也沒有區別對待，更沒有給出指數這個名字。

數學家其實是很吝嗇的，沒有那麼容易就給出命名，必須得有充分的理由。可以參看下虛數是否真實存在中的一些思考。

說回來，8的對數就是距離1有幾個格子，這裡是3個格子，可以推出8的對數是3。所以有種簡單的計算8的對數方法， $((8/2)/2)/2=1$ ，除了3次，對數就是3。

$lgsqrt{2}=0.5$ ，所以 $4sqrt{2}=2^{2.5}$ ：

也可以這麼計算，有 $(4sqrt{2}/2)/2=sqrt{2}$ ，除不盡有個余項，而 $lgsqrt{2}=0.5$ ，所以可以求出 $4sqrt{2}=2^{2.5}$ 。呃，似乎運算已經比較複雜了，不如用計算器了。

求兩個數之間的關係也比較簡單，比如8和4，4距離1兩個格子，8距離1三個格子，所以 $8^frac {2}{3}=4$ 。

2 對數數軸與天文數字

2.1 對數數軸

我們要是想把為 $imes 2$ 坐標系繼續畫下去是困難的，因為指數增長太快了：

盡量縮小才畫到對數為5的地方，我相信你已經快看不清了，如果畫到對數為100的地方，地球都擺不下這個長度。

我們可以保持對數值等距離擺放，這就是對數坐標系：

是不是可以擺下更多的對數了？

2.2 天文數字

對數是將數軸進行強力的縮放，再大的數字都經不起對數縮放，如果我選用10為底的話，一億這麼大的數字，在對數數軸上也不過是8。這對於天文學裡的天文數字簡直是強有力的武器。

要是不進行縮放的話，地球和太陽是不可能同框的：

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3 對數尺

3.1 乘除法

我們把對數坐標系中剩餘的數字補齊：

其實繞了這麼一大圈，就是把對數值給擺在了數軸上，不過歷史可能就是這麼曲折，要知道歷史發展到這一步都還沒有給對數一個名分。什麼時候給的名分我們後面再說。

因為 $log_2$ 符號太累贅了，所以我們把它去掉，心中知道是 $log_2$ 就好了：

我們把這個刻在一把木尺上就得到了一把對數尺：

對數尺有什麼用？我們可以很簡單的來計算乘法，下面是計算 $2 imes 3=6$ (記住，對數尺的起點是1，不是0)：

$log$ 有一個很重要的特性， $log(xy)=log(x)+log(y)$ ，所以對數尺可以用加法的方式來計算乘法(在這裡以什麼為底不重要，只要是同底就可以）。而 $logfrac{x}{y}=logx-logy$ ，所以可以通過減法計算除法。

如果對數尺上的坐標可以標細一點，就可以計算類似 $2.15 imes 3.782$ 這樣比較複雜的乘法。

3.2 冪與開方

對數尺還可以進行冪運算和開方運算，下面計算 $sqrt9=3$ ：

$logx^{frac{1}{2}}=frac{1}{2}log(x)$ ，所以對數的 $frac{1}{2}$ 處就是對數的平方根，以此類推可以計算 $n$ 次方根。注意對數尺的起點是1哦，不是0。

計算 $sqrt[3]9$ 也一樣輕鬆(這裡尺子的刻度不太細，不過估讀出來是2.0x):

3.3 親自動手

我們自己來把玩下對數尺吧：

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3.4 對數和對數尺的重要性

16世紀，蘇格蘭人納皮爾，用類似上面文章描述的思路（細節很不一樣，不過方向是相同的），發明了對數這個詞，他把對數稱為人造數。而當時還沒有完整的指數概念，直到17世紀末人們才認識到對數是指數的逆運算。

對數發明之後，在當時的科學界造成了很大的影響，專門有人長途跋涉跑來見納皮爾，就為了表達感謝。天文學家欣喜若狂：「對數讓計算時間縮短從而延長天文學家的壽命」。伽利略也說過：「給我時間，空間和對數，我可以創造出一個宇宙」。

剛開始對數的運算是通過查對數表來完成，後來，更方便的對數尺也出現了，這就是最早的計算尺。

3.5 計算尺

最早的計算尺就是對數尺，隨著時間的推移，對數尺增加了很多別的數學工具，演化成了威力更大的計算尺。上面除了有對數、還有三角函數、倒數等等數學工具，可以查看計算尺，或者三百年輝煌，計算尺傳奇了解更詳細的信息。

文章開頭《起風了》的主角手裡拿的就是計算尺：

在計算器發明之前，炮兵打個炮啊、工程師修個橋啊、設計師造個飛機啊，都離不開計算尺。

沒有計算尺之前，人類社會是匍匐前進，有了計算尺之後，是走步前進。而計算器、計算機出現之後，真正是跑步前進。

歷史的車輪總是向前，計算尺的歷史使命已經完成，這篇小文只是嘗試讓大家短暫的回到過去，體驗一下對數、對數尺、計算尺的重要性。

4 結論

對數是作為一個數學工具出現，主要解決兩方面的問題：

處理天文數字。
簡化乘、除、開方、乘方運算。

這兩個作用，讓對數這個數學工具與 $+1$ , $+2$ 產生了本質區別，也有了擁有「對數」這個名字的資格。

參考文章：觀《起風了》探究計算尺。

乘法群 $(R^+, imes)$ 到加法群 $(R,+)$ 的同構。

微分方程 $frac{dy}{dx}=frac1x$ 在 $yvert_{x=1}=0$ 的解。

我理解對數就是 $a^x=b$ , $a,b>0$ 的解

對數是指數的逆運算，這就是中學數學書上白紙黑字寫的內容。或者你也可以認為對數同三角函數一樣就是一個需要用計算器才能求出具體值的初等函數。

今天世界各國的數學教育中都是先講指數再講對數，然而在歷史上，對數的發明早於指數，1614年蘇格蘭數學家J.納皮爾發明了對數，當初人們發明對數的目的很簡單，就是簡化運算，把一些繁難的運算化簡，比如

$ln xy = ln x + ln y$

$ln x/y = ln x - ln y$

$ln x^{a} = a ln x$

$ln sqrt[a]{x} = frac{1}{a}ln x$

把乘除化為加減，把乘方開方化為乘除，使得計算大大簡化。

具體計算時需要藉助對數表，比如說計算 $12345 imes54321$ ，首先在對數表中查出 $ln 12345$ 和 $ln 54321$ ，把這兩個對數值相加，和約為 $20.323673$ ，然後再查對數表，看哪個數的對數等於 $20.323673$ ，這個數就是 $12345 imes54321$ 的乘積。因此，只要事先編製好一張足夠完備、足夠精確的對數表，所有這樣的繁難運算都可以大大化簡，變成簡單的運算和查表。對數發明之後，直到計算機和計算器出現之前，它一直被廣泛應用於天文、航海、測繪等應用數學領域，著名天文學家拉普拉斯曾稱讚道：「對數可以縮短計算時間，在實效上等於把天文學家的壽命延長了許多倍。」

對數最初是作為一種應用數學的實用工具及方法引入的，慢慢地才開始在純數學研究中佔據自己應有的地位。今天很多人之所以覺得對數難以理解，很大程度上也是因為不了解它的應用價值，而只糾結於它的理論性質（導數、積分等）。事實上，就在一代人以前，世界上應用最廣泛的計算工具不是計算機，也不是卡西歐計算器，更不是算盤和算籌，而是計算尺，計算尺的基本數學原理就是對數；如果你用過計算尺，你就一定會感嘆對數真的是一個無比偉大的發明。

關於計算尺，請參閱《300年的輝煌:計算尺傳奇》、《如果沒有計算器，我們就用計算尺吧》。

最近正好看過一個短片講對數，指數之間的的關係。這個三角的公式實在打不出來只好上圖了。。。

對於一個a，b，c是常數的式子

a^b＝c

當我們知道a，b，c的任意兩者的時候，第三者都是可以確定的。

a和c都可以用解析函數

a＝b√c

和

c＝a^b

確定，但對於知道a和c求b卻沒有對應的解析函數。所以簡單來講，對數函數可以看成是一個函數表，用來查找a，c已知的時候b的值。(當年也確實是這麼乾的，對數函數的名字logarithm就是拉丁文表格的意思)

視頻的作者用了這一種方法來統一指數和對數運算的表示。在a^b＝c這個式子中，知道任意兩者求第三者的表達式，三角上空著的角表示所求的值的位置，旁邊的公式是運算的法則，用對數指數運算公式都不難驗證。我圖上寫的部分還不算很嚴謹，理解意思就行了。

順便推薦一下這個視頻 3blue1brown 系列，講數學深入淺出，同時乾貨也非常足

首先，需要先了解指數e。

e 不僅僅是一個數字，本質上，e 代表的是一個普遍的增長。要知道，東西不是到了某個時間點後就一下子出來的，增長是隨著時間的一點點累加起來的。在所有持續增長的過程裡面，e代表的是一個普遍的增長率。比如人口的增長，利潤的增長。

就像所有的數據可以表示為1的多少倍、所有的圓周的度數可以表示為多少倍弧度一樣，這些計算都基於一個基礎的度量。e也是是一個基礎的度量，e是增長速度的一個度量。持續增長（複合增長）的系統的增長速度，可以用e作為度量。

在複合增長里，比如拿利率作為例子，1塊錢投入，每個季度利率33%，經過1年後，收益和本金和是多少？

第0個月，我們從藍色開始，本金是1。

第4個月，藍色賺了1/3，產生了綠色的利潤

第8個月，藍色繼續再賺了1/3,綠色增長搭配了0.66，綠色本身賺了0.11的紅色。

第12個月，藍色繼續裝1/3的綠色，8月份的綠色裝了0.22的紅色，8月的紅色裝了0.11*33%=0.04的紫色。

最後我們來看，1+1+0.33+0.04 = 2.37，這不就是很接近e了嗎。

結果 = （1+100%/3)的3次方 = 2.37037

用公式表示為：

我們可以用1塊錢賺到無限多的錢嗎？

e代表的是單位1在一個時間階段里複利100%的最大可能結果。這句話的意思是，我們從1塊錢開始投資，複利100%時我們最多能拿到的錢是1e；如果我們從2塊錢開始投資，我們能拿到2e;如何從12塊錢開始投資，複利100%時，我們能拿到12e。但這裡要注意的一點，e代表的是最後的結果（原始投資+利潤）。1成為e（2.718...），增長率是171.8%

e像是一個速度的限制，跟光速一樣，告訴你在一個連續增長的過程裡面，你能夠以多快的一個速度增長。你可能不會總能達到這個速度，但這個速度作為一個參考點，你可以用e來表示任何的增長速度。

怎麼用e來表示增長呢？普遍來說：

比如每年增長的速度是30%，那麼用e來表示是e的0.3次方，等於1.35，如果你投入的是1塊錢，1年後拿到的約是1.35塊錢。

所以我們得知了指數e是用來描述增長的結果的，而對數，即是用來揭示增長的原因的。求得是什麼樣的輸入（比如多長時間，多少比例），才可以得到這個結果。這就是對數存在的意義。如ln(1)= 0 表達的意思就是原始的存在，0時間點的值為1. ln(2) = 0.693,表示在一個持續增長的系統里，需要0.683個時間點便可以增長到2.

希望對大家有用。

數學的基本運算可分為三個等級。第一級為加、減運算，雖然加減法的概念在公元前20世紀的古埃及數學家艾哈邁斯(Ahmes)的紙草書中就有體現，但今天的加號「+」和減號「-」，最早有史料記載的，是在15世紀末的德國人的手稿中，現保存於德國德累斯頓(Dresden)圖書館。

後來，人們發現在遇到「連加」或「連減」時，加減法的效率很低，於是就發明了第二級運算——乘法和除法以及與此對應的乘號和除號。在西方，「×」被稱為「聖安德魯斜十字(St. Andrew』s Cross)」。安德魯是耶穌的12門徒之一，由於其被釘死在斜十字架上，因此，斜十字架也成為聖安德魯斜十字。現代意義上的「×」號最先出自於1631年英國數學家奧特雷德(William Oughtred)的《數學之鑰》中。

1698年，萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)在其給瑞士數學家雅各比·伯努利(Jacob Bernoulli)的信件中首次使用「·」表示乘法，以此來避免乘號「×」和字母「 $X$ 」的混淆。不過，後來在向量代數中，用「·」表示「數量積」或「內積」，而「×」則表示「向量積」或「外積」，這就算是另一種區分方法了。

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) (圖片來源: Wikipedia)

今天用的除號「÷」稱為「雷恩記號」。它是瑞士數學家雷恩(Rahn)在其1659年出版的一本代數書中首先使用，在1688年，這本書被譯成英文，這個符號也隨之通用起來。

但人們還不滿足，因為人們遇到了「連乘」和「連除」，即「乘方」。而且，乘方有兩種逆運算，分別是「開方」和「對數」。這是第三級運算與加減乘除的不同之處。

法國數學家笛卡爾(Descartes)在1637年定義了現代乘方符號，即在字母或數字的右上角用小的阿拉伯數字表示指數。1732年盧貝(Loubere)首次使用根號來表示開方，並逐漸流行起來。

「開方」的誕生似乎順理成章，但是乘方的另一種逆運算——「對數」，就有些「難產」了。

斯蒂菲爾(Michael Stifel)是德國德國哥尼斯堡大學的數學講師，1544年，他寫了一本書叫《整數的算術》，在這本書中他應用「一一對應」的方法幾乎造就了一座數學豐碑。

Michael Stifel (1487-1567) (圖片來源: Wikipedia)

斯蒂菲爾在書中寫道：「關於整數的這些奇妙性質，可以寫成整本整本的書！」下面就是他書中列出的兩列數字：

可以看出，上一列其實就是通項公式為 $2^n$ 的等比數列（n為整數），他稱其為「原數」；下一列則是一個由整數構成的等差數列，他稱其為「代表數」，德語是Exponent，也可譯為「代言人」。

他發現，兩個「原數」相乘等於「代表數」相加後得到的「代表數」所對應的「原數」；「原數」相除等於「代表數」相減後得到的「代表數」所對應的「原數」。即，利用這兩列數可以把較為複雜的乘除法變成較為簡單的加減法。

其實，在我們看來，這個結論沒有什麼神奇之處，因為所謂的「代表數」其實就是「原數」以2為底的對數。但是在當時，這種計算方法思想是開創性的。

不過遺憾的是，在斯蒂菲爾的那個年代還沒有分數指數的概念，因此在處理指數不是整數時遇到了巨大的阻力，最後，他放棄了對這種計算方法的進一步研究，而只是停留在了整數上。不過，斯蒂菲爾也並非全然無功，他的前驅性工作，成為納皮爾發明對數的「巨人肩膀」。

約翰·納皮爾(John Napier)是蘇格蘭數學家、物理學家兼天文學家。1614年，其在愛丁堡出版了《奇妙的對數定律說明書》中提出了對數的概念。

John Napier (1550-1617) (圖片來源: Wikipedia)

"看起來在數學實踐中，最麻煩的莫過於大數字的乘法、除法、開平方和開立方，計算起來特別費事又傷腦筋，於是我開始構思有什麼巧妙好用的方法可以解決這些問題。"

--約翰·納皮爾，《奇妙的對數定律說明書》

作為數學家、物理學家兼天文學家，他在計算各種行星軌道數據時，也被浩瀚的計算量所折磨，因此很痛恨這些乏味的重複性工作。為了解決這一問題，他用了20年的時間，進行了數百萬次的計算，發明了對數和對數表，聽起來很矛盾，一個不想做重複工作的人結果做了20年重複性工作。但是，他的努力確實為後人減少了大量的重複性工作，大大減少了數學家、天文學家的計算量，由此可見，這在天文學界算得上是一項偉大的發明了，看看名人們對其的評價就能看出其重要性。

「對數的發明、解析幾何的創始和微積分的建立是17世紀數學的三大成就。」

——恩格斯

「對數的發現，因其節省勞力而延長了天文學家的壽命。」

——拉普拉斯

「給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙。」

——伽利略

對數使得手算變得簡單而且快多了，也因此為後來許多科學進步開啟了大門。那麼如何理解對數？一個直觀的解釋是：對數指的是到達某一數量所需要的時間。這裡先介紹自然對數。即以e為底的對數。

例如，有一個土豪投資的項目正好滿足年利率為100%的連續複利。但是這個土豪小學文化，數學水平也就加減乘除，假設你是這個項目的負責人，想勸說土豪再多投資，如果跟他說什麼連續複利、什麼100%、什麼指數增長，土豪聽不懂啊，你再這麼說下去感覺在欺負人啊！土豪就發話了：「別整那些沒用的，你就告訴我，我的錢啥時候能漲到10倍，100倍，1000倍？」你有些發懵了，一般人不怎麼問啊，不都是問一年後是多少，兩年後是多少之類的嗎？所以這裡的問題就是知道時間求數量的逆向問題——知道數量求時間。土豪就是土豪，有的是錢，他只想從翻倍時間的長短來判斷哪項投資賺得快。因此，這裡就要用到對數，在這樣一個年利率為100%的連續複利增長模型下，如果你想得漲到你本金10倍，你需要等待的時間其實就是 $ln(10)approx2.302$ 年，到100倍所需時間就是 $ln(100)approx4.605$ 年，到1000倍所需時間就是 $ln(1000)approx6.907$ 年。

關於「連續複利模型」，請見「自然底數e怎麼就自然了？」

e與ln

$e$ 和 $ln$ 好像是孿生一對， $e^x$ 表示單位數量經過 $x$ 個單位時間增長後的數量（在單位時間增長率為100%的連續複利情況下）。那麼在單位時間增長率為50%的連續複利情況下，增長4年和單位時間增長率為100%的連續複利情況下增長2年是一樣的。因為 $e^x=e^{rate·time}=e^{50\%·4}=e^{100\%·2}$ 。所以，可以看出，不管利率是多少，通用的連續複利模型 $e^{rate·time}$ 都可以描述。

$ln(x)$ 表示單位數量增長到 $x$ 個單位數量所需要的時間（在單位時間增長率為100%的連續複利情況下）。 $ln$ 正好與 $e$ 相反， $e^x$ 表示輸入時間得到數量， $ln(x)$ 表示輸入數量計算達到這麼多數量所需時間。

自然對數的計算

有人可能會覺得對數這種演算法很奇怪，不知道為什麼它能夠將乘法轉變為加法，把除法轉化為減法，但如果掌握其「數學內涵」的話，就好理解了。

先看 $ln(1)$ ，它是多少呢？我們都知道答案是0，因為其數學內涵是：單位數量增長到單位數量的1倍時所需要的時間，因為現在就已經是現在數量的1倍了，所以無需再給予時間讓它增長了。

那麼，如果是分數呢？例如，得到現在數量的1/2需要多久。我們知道 $ln(2)$ 表示在單位時間增長率為100%的連續複利情況下翻倍所需要的時間。那我們取反，就得到了退回現在的一半所需要的時間（如果是等待所花費的時間為正，如果是「時光倒流」的話，時間則為負，是不是很直觀？！）。因此 $ln(0.5)=ln(2^{-1})=-ln(2)=-0.693$

那麼能不能對負數取對數呢？答案是否定的，因為一個給定的數量不能增長為一個負數也無法退回成為一個負數，再怎麼等待下去或者再怎麼「時光倒流」，這種情況也不可能發生，所以沒有定義。

為了增長到30倍，我們可以等 $ln(30)$ 個單位時間，也可以先等增長3倍所需要的時間 $ln(3)$ 再等個增長10倍所需要的時間 $ln(10)$ ，效果是一樣的。因為在增長率不變的連續複利情況下，給定一個初始值，那麼增長到初始值的x倍所需要的時間是一定的，與初始值的大小並沒有任何關係。即 $ln(a·b)=ln(a)+ln(b)$ 。

那麼 $ln(5/3)$ 呢，意味著計算增長到現在的5倍所需時間減去以5倍為基數退回到其1/3所需時間。所以有 $ln(a/b)=ln(a)-ln(b)$ 。

相乘增長量=時間相加

相除增長量=時間相減

但是對於增長率不是100% 的連續複利模型呢？

其實同樣適用。

例如 $ln(30)approx3.4$ 可以看為是在單位時間利率100%連續複利情況下變為原來的30倍所需要的時間為3.4個單位時間。

由於 $e^x=e^{rate·time}$ 即 $e^{100\%·3.4}approx30$ .

當我們計算單位時間利率為5%，增長到30倍所需時間時。其實只要保證 $rate·time=3.4$ 即可。即 $0.05·time=3.4$ ，所以 $timeapprox68$ .

72法則

這是一種快捷演算法，因為實際中銀行的利率不可能是100% ，但是我們經常想知道本金到底什麼時候能夠翻倍。而對於利率為100% 的連續複利，如果要翻倍就需要 $ln(2)approx0.693$ 個單位時間。

那麼對於小利率呢，為了方便計算現將利率乘以100，但注意是百分數。那麼0.693也要乘以100，等於69.3。

由 $rate·time=ln(2)$ ，可知 $time=69.3/rate$

但是69.3並不太好分，所以我們取一個相近的，72，因為其可以被2、3、4、6、8整除。因此，翻倍所需時間大約是 $72/rate$ ，這就是「72」法則。當然，如果想計算增長到3倍的話那就是「110」法則了。

Reference

[1] 陳仁政,不可思議的e [M], 北京,科學出版社

[2] Gottfried Wilhelm Leibniz, https://en.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz

[3] Michael Stifel, https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel

[4] John Napier, https://en.wikipedia.org/wiki/John_Napier

[5] Napier"s bones, https://en.wikipedia.org/wiki/Napier%27s_bones

[6] Demystifying the Natural Logarithm (ln), https://betterexplained.com/articles/demystifying-the-natural-logarithm-ln/

(Sample picture source：http://betterexplained.com)

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舉個最簡單的例子:

請不用計算器口算 $128 imes16384$

題主能在多少時間內算出來呢？估計給張紙列個豎式計算也要個一分鐘，而且還很容易出錯。好吧，我們用計算器試試，結果是2097152。

這還算是小數字，要是天文學上的數字更大，更麻煩，那要怎麼辦呢？

下面給出一種思路。請題主觀察下面這兩列數，發現什麼規律了沒？

很容易發現 $y=2^x$ 。而且我們也發現128和16384這兩個數字也出現在這張表中。更神奇的是，它們兩者乘積2097152也出現在這張表裡。道理非常簡單，用指數乘積的性質就可以知道

$128=2^7$

$16384=2^{14}$

那麼 $128 imes 16384=2^{7} imes 2^{14}=2^{21}$ ，而我們有了這張表，看 $x=21$ 時，對應的值為2097152，這樣我們就得到了乘積。

歸納一下，如果我們有了這張表，我們是怎麼做這個乘法 $128 imes16384$

查表確定128是2的a次方（從y到x）
查表確定 $14=log_{2}16384$ 是2的b次方（從y到x）
計算 $a+b$
查表確定2的 $a+b$ 次方的值（從x到y）

我們發現有了這張表，那麼兩個數的乘法其實轉化成了加法（第三步），其他的都是查表就能解決的了。這種方法就蘊含著對數的思想（經過napier應該不是這麼想的）。通過第一步，第二步，求出兩個數關於2的指數a和b，之後就變成加法。用現在的符號寫的話就是

$7=log_{2}128$

$14=log_{2}16384$

題主很容易就發現，這裡兩個數很湊巧剛好是2的整數次冪，現實中不一定這麼運氣好。而且大家在應用時，做的表一般是以10和e為底，前者叫常用對數，後者叫自然對數。有了這張表，我們把任何數R找出其以10或者e為底的對數，然後變乘除為加減，之後再用表反查，就可以大大簡化計算了。

對數只是做指數運算的一種有力工具。

對數的發明 | 格物學院

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單純講對數是沒有意義的，對數是一種數的表示方法（作為指數的反向表示法存在）。

以下是個人理解：對數的本質，就是一個數n不斷除以m,當n為1時，一共執行的次數。如32不斷除以2，要將32變成1，一共要執行5次，即是以2為底，log32 = 5, 同理81不斷除以3，要將81變成1，一共要執行4步，即以3為底log81 = 4.相反，5個2相乘就是32，4個3相乘就是81.以上正好是對數和冪的相反情況。所以n不斷除以2，要將n變成1，一共要執行logn次，即是以2為底，logn.(符合底為正整數的情況......)

這是我想著為理解演算法導論第2章里的merge-sort演算法的。裡面遞歸樹的高度就是logn. 求大神勿笑我的無知.......

簡單的很：

加法為基礎，來源於生活

減法是加法的逆運算

乘法是加法的擴展，解決了多個重複數字相加

而除法是他的逆運算

乘方是乘法的擴展，解決了多個重複數字相乘

開方是乘方的逆運算

對數也是乘方的逆運算之一，由於底數與指數與乘方運算的結果冪三者間的關係沒減法（減數和差）除法（除數和商）那麼簡單，於是我們人工給了他一個定義，這個定義就是對數。對數的實質其實就是一種運算

對數為數與數之間乘積形式的和運算提供了簡單的方法

打一個比方，丟硬幣，有兩種可能性，正面與反面，如果丟出了正面，其信息量為1/2，對信息量取以二為底的負對數，則為1

這是計算機科學中用來形容信息量的最小單位比特，代表從兩個狀態中確定一個狀態的信息量，如果有10枚硬幣連續丟出，則可表達為其之和10比特，而不用表示為10個2相乘，用對數的方法簡單的把需要用數學概括的指數級的可能性空間進行簡化，並可以加減，再這個基礎上可以更簡單地進行其它數學運算

理解指數-對數是多方面的。

比如在我看來：

一旦發生指數爆炸，數字就會變得非常的龐大。對數就是處理這種龐大數據的工具。

詳細的可以參見我的博客：指數爆炸隨想

對數就是求指數的運算，以a為底b的對數就是求a的多少次方等於b

對數就是指數 x∧i=y裡面i,循環次數。或者y/x/x…/x在除盡時候，一共除了多少次

把它理解成股票價格變動率吧，我覺得e這個數主要用處就是經濟學裡面的連續複利。

另外，一般如果對對數函數求導，比如lnX(t),求導得(dX/dt)/X,就是X的變動百分比，一般用在宏觀經濟學裡面，研究增長問題。

還有就是，對數化有個優勢就是，可以把原本乘在一起的一堆變數變成一堆變數加在一起，而且單調性也不變，適合研究複雜函數的變化情況。

我這麼說是不是就好理解多了？就理解成股票收益率最直接。

對數不是指數的反函數嗎

a^b =c,

c^(1/b)=a,

log(a,c)=b

abc三個數知二求一的運算之一

高中老師問代數難題時先答個取對數就行了，快加入我對數神教

底數經過有限次乘方後得出一個值，對數就是這個次數。

很初等很傻瓜的理解方式，不過最好記。算題短路的時候不妨按這個思路去想。