武器升級概率問題！？

神器強化

現在有一把神器，初始為1級，可免費領取（即價值為0），可花費金幣對其升級，每次10000金幣，最多升到5級。

升級的成功率如下：

說明：1級武器強化時，有20%概率升到2級，10%概率升到3級，5%概率升到4級，65%概率不變。

3級武器強化時，10%概率跌到1級，20%概率跌到2級，20%概率升到4級，10%概率升到5級

問題：

（1）5級神器價值多少金幣？

（2）2、3、4級神器價值多少金幣呢？

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是一個典型的馬爾可夫鏈，其一步轉移概率矩陣為：

其中第i行第j列的元素代表升級1次後，原來i狀態的武器升級為j狀態的概率，例如

• 第1行第5列元素為0，代表1級武器升級1次後，成為5級武器的概率為0；
• 第2行第2列元素為0.4，代表2級武器升級1次後，還是2級武器的概率為40%；
• 第5行第5列元素為1，代表5級武器c升級1次後，還是5級武器的概率為100%；
• 諸如此類。

根據Chapman-Kolmogorov方程，該馬爾可夫鏈的n步轉移概率矩陣為：

其中第i行第j列的元素代表升級n次後，原來i狀態的武器升級為j狀態的概率，例如2步轉移概率矩陣為:

• 第1行第5列元素為0.03，代表1級武器升級2次後，成為5級武器的概率為3%；

以此類推，得到1級武器

• 升級1次後，成為5級武器的概率為0%；
• 升級2次後，成為5級武器的概率為3%；
• 升級3次後，成為5級武器的概率為7.63%；
• 升級4次後，成為5級武器的概率為12.99%；

......

故

• 升級1次後，第一次成為5級武器的概率為0%；
• 升級2次後，第一次成為5級武器的概率為3-0=3%；
• 升級3次後，第一次成為5級武器的概率為7.63-3=4.63%；
• 升級4次後，第一次成為5級武器的概率為12.99-7.63=5.36%；

......

所以求第一次成為5級武器所需升級次數的期望為（計算量較大，需要藉助計算機）：

對應的每次升級花費10000金幣，那麼所需金幣數量的期望為160465.11枚。

PS:我想複雜了，最高票 艾慶興 的方法更好。

武器升級概率問題！？ - 知乎

該方法用一步轉移概率矩陣表示如下，設武器價值行向量為：

分別代表1~5級武器的價值。

那麼有：

可轉換為如下線性方程：

解線性方程得到：

• x1=0
• x2=18023.3
• x3=35232.6
• x4=57441.9
• x5=160465

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算完以後發現，這遊戲太良心了，成功率簡直不能更高。

假設每個級別的武器的價值分別是x1,x2,x3,x4,x5.顯然，武器1的價值x1是0（免費）。

然後呢，根據轉移矩陣，我們可以得到這樣四個式子：

x1*0.65+x2*0.2+x3*0.1+x4*0.05+x5*0.0=10000+x1

x1*0.25+x2*0.4+x3*0.2+x4*0.1+x5*0.05=10000+x2

x1*0.1+x2*0.2+x3*0.4+x4*0.2+x5*0.1=10000+x3

x1*0.0+x2*0.1+x3*0.3+x4*0.4+x5*0.2=10000+x4

比如，第四行，第四把武器強化一次，投入x4+10000，產出的期望是x1*0.0+x2*0.1+x3*0.3+x4*0.4+x5*0.2

那麼，給x2,x3,x4,x5隨機值，然後用上面的式子迭代若干次，或者直接高斯消元解4元1次方程組，都可以求出x2,x3,x4,x5的值是：

x5 160465

x4 57441.9

x3 35232.6

x2 18023.3

也就是說，一把等級2的武器價值18000，等級3,4，5的武器價值分別是35232,57441,160465。

對了，請告訴我這是什麼遊戲，太良心了，我決定入坑

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一種做法是，寫一個程序多次隨機模擬，得到升至2,3,4,5級的金幣的平均值，將這個平均值近似作為答案。這個演算法在現實應用中被廣泛使用（本人以前也是研究遊戲的，很多不好算的東西都是隨機模擬），缺點是精度不高。

另一種做法是解方程。比如要求升到5級的期望金幣，那麼記 為當前為 級，升到5級所需的期望金幣，其中 。以 為例：

解方程組即可。這樣可以很快求出精確答案。

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點贊數最高的兩位已經給出一個解決思路了，以下我給出一個通過條件概率計算的思路。

第一次強化到 level i 的所使用的次數 eg. 若 1-4-2-3,

以 start 作為起始等級

我們要求解的就是 , 並各自乘以10000元/次的費用, 就可以得到 level i 武器的期望價格.

顯然，

因為以等級 i 作為起始點不需要任何強化

由性質: ,

(1)

因為:

( ) P(j,i)

∑ P(j,k) ( )

(k ≠ i) (2)

其中右邊式子第一項表示條件給定的 次強化; 第二項表示以P(j,i)的概率僅一次從 等級j 轉移到等級i; 最後的求和項中考慮了所有其它強化結果k，每一項表示以P(j,k)概率，先發生 次強化，再以馬爾科夫鏈性質重置起始等級為k，要加上 次期望的強化。

注意:

是常量, 而 是隨機變數.

將 (2)式 代入 (1)式:

P(j,i)

∑ P(j,k) ( ) (k ≠ i)

用 X(i, s) 代替 :

X(i,s) X(j,s) + P(j,i) + ∑ P(j,k) { X(k,s) + X(i,k) } (k ≠ i)

(3)

求解出這個方程組中X(i,1) 的值，也就解決了最開始的問題。

歡迎指正。

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算完之後發現還是直接用期望價值算比較簡單，但我一開始想到的就是這個先求期望次數再次數乘花費的笨辦法，就給大家看看傻瓜是怎麼算的吧

這裡首先認為玩家投入=價值

假設從i強化到5的期望次數是ti，那麼有

t1=0.65t1+0.2t2+0.1t3+0.05t4+1

t2=0.25t1+0.4t2+0.2t3+0.1t4+1

t3=0.1t1+0.2t2+0.4t3+0.2t4+1

t4=0.1t2+0.3t3+0.4t4+1

解方程組，得到t1=16.0465，t2=14.2442，t3=12.5233，t4=10.3023

那麼強5武器價值=t1×10000=160465

強4武器價值=(t1-t4)×10000=57442

強3武器價值=(t1-t3)×10000=35233

強2武器價值=(t1-t2)×10000=18023

再隨便延伸一下，此處可以投放防爆道具和祝福道具，且VIP6以上才能使用。道具可交易，在遊戲內可每日每角色少量產出，產出途徑需嚴控工作室，比如需要在某強對抗PVP玩法中拿到相當的擊殺或助攻等等……

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當年玩傳奇征途練武器的時候，我也在思考成功率的問題，直到後面學了金融風險管理計算違約率，我才算把其中的原理搞清楚，計算這個要用到轉移矩陣，而且最好是用計算機去算，超過兩步的計算那會非常複雜。

以下為轉移矩陣的介紹：

轉移概率矩陣（又叫躍遷矩陣，英文名：transition matrix）是俄國數學家馬爾科夫提出的，他在20世紀初發現：一個系統的某些因素在轉移中，第n次結果只受第n-1的結果影響，即只與當前所處狀態有關，而與過去狀態無關。 在馬爾科夫分析中，引入狀態轉移這個概念。所謂狀態是指客觀事物可能出現或存在的狀態；狀態轉移是指客觀事物由一種狀態轉移到另一種狀態的概率。

簡要來說，就是列表示現在（now）的狀態，行表示下一次（next）的狀態，例如題主給出的這個表格：

我們先看縱向：

1級武器升級後還是1級的概率是65%；

2級武器升級後降到1級的概率是25%；

3級武器升級後降到1級的概率是10%；

4級武器升級後降到1級的概率是0%；

然後再看橫向：

1級武器升級後還是1級的概率是65%；

1級武器升級後升到2級的概率是20%；

1級武器升級後升到3級的概率是10%；

1級武器升級後升到4級的概率是5%；

1級武器升級後升到5級的概率是0%；

這道題是計算武器升級成功的概率和期望，武器分為1、2、3、4、5級，5級是最高級，一把武器能夠從1級升級到5級是小概率事件。

就像我們計算公司的違約率，公司的債券按信用等級可以分為A級、B級、C級、D級、E級（姑且有E級），公司從A級降到E級也是小概率事件。

那麼，我們需要分別計算期望，然後再計算總期望，我僅演示其中一種路徑：

我們假設武器升級四次才能成功，中間幾個「-」，就代表升級幾次：1-2-3-4-5:

20%*20%*20%*20%=0.000032;

累計花費：

10000*4=40000金幣；

路徑圖：

此外還有以下路徑等：

1-1-1-1-5：

1-1-1-2-5；

1-1-1-3-5；

1-1-1-4-5

也就是首尾不變，首是1，尾是5，中間三個數字，每個數字有四種變化（1,2,3,4），那麼一共就是64種路徑。

我們假設升級五次才能成功，中間幾個「-」，就代表升級幾次，比如：1-1-2-3-4-5；

首尾不變，中間四個數字，每個數字有四種變化（1,2,3,4），那麼一共就是256種路徑。

我們假設升級三次才能成功，比如：1-2-3-5；

首尾不變，中間兩個數字，每個數字有四種變化（1,2,3,4），那麼一共就是16種路徑。

我們假設升級兩次才能成功，比如：1-2-5；

首尾不變，中間一個數字，有四種變化（1,2,3,4），那麼一共就是4種路徑。

當然，還有可能升級到n次才成功，我們要把以上數據做期望，然而，我通過人腦已經無法計算了，需要用到計算機。

答案寫到這裡，實在是深感無力了，

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期望價值法的思路是對的，但是在這裡顯然有一些毛病@艾慶興

因為這裡有個失敗率的問題（降級），也就是說價值期望的計算有正有負，前面的回答只計算了正向的，因此對於價值的估量有些偏高。那麼這裡思路出現了障礙，不妨換一種思路。

假設試驗無窮多次，計算提高1單位級別的平均成本。並且假定出現任何一個想要的結果（先定為5）後立刻更換新的原材料，即不考慮想要的結果繼續參與運算。

對級別1

一次試驗產生級別提高期望為

對級別2

一次試驗產生級別提高期望為

對級別3

一次試驗產生級別提高期望為

對級別4

一次試驗產生級別提高期望為

由於是無窮多次試驗，每個級別出現的次數的比例將趨於穩定（詳見概率的定義）

因此p1：p2：p3：p4=1：0.9：1：0.75

所以每一次試驗級別提高的期望是（Σpi*ui）/4=0.14875。（i=1、2、3、4）

提升4個級別到5，平均需要26.8908次試驗，也就是268908個金幣。（大概你沖270k金幣，如果氪不出來就可以卸遊戲了qwq）

順便一提，如果只需要提升到4，則每一次試驗期望高達0.27333，提升3個級別平均需要10.9757次試驗，需要110k。

如果只需要提升到3，則每一次試驗期望0.41，2個級別，4.8780次試驗，約合50k。

如果只需要提升到2，則每一次試驗期望0.55，1個級別，1.8182次試驗，約合20k。

二更：

後來想想，高級的價值應該要包含低級的價值更加合理，因為一方面高級的裝備一般要比低級有巨大的提升，另一方面高級的裝備很有可能是從某一個低級的強化上來的，打個比方，5從4強化上來，4本身就沒有了！ 因此5的價值也要包含4的價值（qwq不知道我這樣強行解釋一波有沒有用。）

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其實對題目中武器「價值」的理解會造成一定偏差，即：

是否將類似1-&>4-&>2（2在本輪第一次出現）這樣的情況考慮到2級武器的價值中，而5級武器顯然不存在這樣的問題，所以沒有出現這樣的偏差。

在我進行模擬的思路中，我在當前等級首次成為本輪模擬中最大等級時記錄數據，因此對於每次記錄的等級n，我沒有考慮1-&>n+1-&>n這種情況。畢竟假如我本來目標就是三級武器，一不小心直接拿了個四級，我當然就不會再冒著風險升級啦，所以這一輪升級就不會參與三級武器的價值計算了。

但是這個似乎並不是造成我和兩位高票答主 @艾慶興 @韓迪 的答案偏差的主要原因，因為他們採用的方法似乎也沒有考慮這種冒險降級的情況（轉移概率矩陣我並不太了解，如果我理解有誤望指正）。

我試著改了我思路中的一個地方：

原本的：某等級武器的平均價值=其在每輪中首次成為最高等級時的花費／其成為過每輪最高等級的輪數

結果見原答案

修改後：某等級武器的平均價值=其在每輪中首次成為最高等級時的花費／總模擬輪數

新的結果為

2 16318.26

3 30852.9

4 60771.72

5 160304.37

好像接近了一點。。。但是對於其意義我已經開始懵逼了。。

沒找到自己問題出在哪，果然還是要繼續提高自己的姿勢水平。希望有大神能找出我的問題，感激不盡！

——————————原回答———————————

還沒系統地學過演算法，所以試著模擬一下

python3實現

整體思路大致如下：

在每個等級利用輪盤賭演算法確定下一等級，當下一等級首次成為該輪模擬的最高等級時，將該輪當前花費計入該等級花費總和中，最後對每一個等級花費求平均值得到結果。

1000000次模擬結果為：

級別 價值

2 28647.704651973032

3 49476.4345998983

4 81560.42521597186

5 160726.85

每個等級花費總和：

{2: 16362910000, 3: 30940880000, 4: 60857290000, 5: 160726850000}

每個等級成為過該輪最高等級的輪數：

{2: 571177, 3: 625366, 4: 746162, 5: 1000000}

具體代碼如下

from random import random, seed
from time import time

seed(time())

# 每一輪中該level第一次成為最高level時將當前花費加入對應key的value中
value_sum = {2: 0, 3: 0, 4: 0, 5: 0}
# 每一輪中該level成為過最高level，則對應key的value+1
level_time = {2: 0, 3: 0, 4: 0, 5: 0}
# 最終平均值為兩者的商
probability = {
1: (0.65, 0.2, 0.1, 0.05, 0),
2: (0.25, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05),
3: (0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1),
4: (0, 0.1, 0.3, 0.4, 0.2)
}
cost = 10000 # 每次花費金幣

class OneRun():
def __init__(self):
self.max_level = 1 # 當前達到過的最高等級
self.gold = 0 # 當前花費金幣
self.level = 1 # 當前等級

# 參數：每一級概率元組，返回下一級
def next_level(self, probability):
probability_range = [sum(probability[:i + 1]) for i in range(len(probability))]
point = random() # 產生一個隨機數
for level_1, _probability in enumerate(probability_range):
if _probability &> point:
level = level_1 + 1
break
return level

def run(self):
# 付錢
self.gold += cost
# 升級
self.level = self.next_level(probability=probability[self.level])

# 若為新的最高等級，記錄數據
if self.level &> self.max_level:
self.max_level = self.level
level_time[self.level] += 1
value_sum[self.level] += self.gold

if self.level == 5:
self.max_level, self.gold, self.level = 1, 0, 1
return None

else:
self.run()

# 實例
one_run = OneRun()

def main(time):
for i in range(time):
one_run.run()
print("級別 價值")
for level in range(2, 6):
print("{} {}".format(level, value_sum[level] / level_time[level]))

if __name__ == "__main__":
time = int(input("請輸入模擬次數："))
main(time=time)
print(value_sum, level_time)


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先說一下結論：

在題主所給的數據下，用MATLAB模擬消費金幣升級過程1000 0000次，平均升到5級需要160 500金幣。升到2、3、4級分別平均需要50002金幣，76446金幣，105240金幣。程序不方便附上。

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和上年網易遊戲雷火盤古校招的一道筆試題很像啊

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我想說,這個好幾年前就玩過了

馬爾科夫鏈有可以計算到收斂狀態前的期望,then 解了.就一條方程而已.

具體請去參考YYDZH上有關武器升級期望的帖子

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