均值和標準差服從正態分布的正態分布是什麼分布？

01-14

已知隨機變數μ, σ滿足正態分布μ~N(μ1, σ1), σ~N(μ2, σ2)，隨機變數y的條件分布也為正態分布y|μ,σ~N(μ, σ)。那麼y的邊緣分布是什麼？

題主可以先了解一下共軛先驗（Conjugate prior）這個概念。按照連接中的描述，題主要求的分布就是沒有觀測到y的樣本時候的y的預測分布（posterior predictive distribution）。而對於三個高斯這樣的設定，應該是沒有閉式解的。

對於y在已知參數的條件分布為高斯分布的情況下，μ和σ如果能服從下面的先驗分布，則y的邊緣分布會有比較簡單的形式。

這是一維高斯分布的情況，如果是多維，先驗分布的名字不太一樣，具體可以參考維基百科頁面Conjugate prior。

維基百科下面還引用了一個論文，分析了各種高斯分布的先驗後驗，希望對題主有幫助。

http://www.cs.ubc.ca/~murphyk/Papers/bayesGauss.pdf

題目給的條件是給定參數的隨機變數分布以及參數本身的分布，所以視參數為隨機變數，可以得到三元的聯合分布，積分掉其餘兩個參數隨機變數就可以得到原本隨機變數的邊緣分布。

先糾結一下 sigma 不可能是正態分布，因為不會小於0

然後，計算Y的分布：

給定mu and sigma, Y小於y的概率就是N( (y-mu)/sigma )記這個為f(y)

Y整體的分布就是f(y)*p(mu)*p(sigma) d(mu) d(sigma) 在全體實數域上的雙重積分。

不會在知乎打公式，見諒。

如果mui分布不變，sigma的分布改成Gaussian inverse gamma，

那麼p(Y)也是Gaussian inverse gamma（但是參數會跟sigma的不同）.

Posterior = Likelihood * Prior.

y~N( , )本來就是正態分布的形式吧？