日本數學家小平邦彥有哪些貢獻（學術方面）？

01-14

謝邀。

繼續上維基 Kunihiko Kodaira。我不明白為什麼老有問數學家學術工作的問題，因為知名數學家的維基百科基本都很全面了——所以從這個角度來說問沒有維基頁面的不知名數學家的工作更有意義2333. 根據維基的介紹，他的比較大的系統性的工作，主要是Kodaira-Spencer theory（復結構的形變）和對代數曲面的雙有理分類。數學上能做完整分類的一般都是很重要的工作；比如有限單群分類也是很大的工作，可惜是由一群人做的，不太好確定誰是主要貢獻者（起碼有5位以上吧），所以部分名詞黨想膜都不知道膜誰，只好膜這個定理本身了2333. 另外，Kodaira vanishing/embedding/dimension等等也是很重要（而又基本的）定理/概念。

總之對學復幾何的人來說Kodaira是一道繞不過的坎，就好比學復變的時候柯西是一道繞不過的坎，學概率論的時候 Kolmogrov是一道繞不過的坎一樣。

Besides those that are well-known, Kodaira has one more important paper: Holomorphic mappings of polydiscs into compact complex manifolds, which is probably his last important paper.

In this paper, he studied holomorphic maps $f:mathbb{C}^n ightarrow V$ , where $V$ is an $n$ -dimensional projective variety, and generalized Nevanlinna"s value distribution theory to this setting. One interesting corollary of the generalized Nevanlinna"s theorem is the following:

Proposition (Kodaira). If $V$ is a regular surface which contains $mathbb{C}^2$ as an open subset, then $V$ is rational.

In particular, any regular surface which is a compactification of $mathbb{C}^2$ is rational. Using the construction of Bieberbach, there is a holomorphic embedding $mathbb{C}^2hookrightarrowmathbb{C}^ast imesmathbb{C}$ , from which one deduces

Corollary. If $V$ is a regular surface containing $mathbb{C}^ast imesmathbb{C}$ as an open subset, then $V$ is rational.

Kodaira"s result result has later been generalized by Griffiths-King in the case when $f:A ightarrow V$ is a holomorphic map from an $n$ -dimensional affine variety to an equidimensional projective variety:

Proposition (Griffiths-King). If the image of $f:A ightarrow V$ contains an open subset, then $f$ is necessarily a rational map.

The proof of rationality is based on the verification of the vanishing of plurigenera. I don"t know whether Kodaira"s result and its generalization can be tied up with various conjectures on rationality of varieties based on the semisimplicity of quantum cohomologies, or the existence of full exceptional collections in the bounded derived category of coherent sheaves.

某位斯坦福大學代數幾何phd寫的，他認為小平邦彥的工作比Grothendieck的更有意義。Kodaira 的三大工作:

(1)Kodaira 證明了當複流形上的 Kaehler form 的上同調是有理的時候, 該負流形就可以全純嵌入到複射影空間之中. 而且也證明這是唯一的條件. 至今稱為 Kodaira embedding.

(2)Kodaira把義大利學派對複曲面初步工作做了全面性地毯式的推廣, 對複取面利用他的 "Kodaira dimension" 作了一個本質上的分類, 對分類中的幾個大項都做了完全的討論,尤其是對曲面作為一個 over 曲線的fibration , 對其 sigular fiber (橢圓情形)作了分類,至今稱之為 Kodaira Classification.

(3)Kodaira 研究了複流形的變形理論,對一階變形做了詳細的了解. 將一階變形表達為

切叢的第一階上同調群, 證明了至今稱為 Kodaira Spencer映射的存在性。

這三個工作,不論是哪一個 ..都是無比的巨大. 每一個工作都沒有做完,但都做了開創性的一步,也顯現了複曲面理論的三個主要觀點: 做為射影空間的子簇,作為over一個更低維度流形的 fibration, 作為其他更好瞭解的複流形的變形.

配合 Chow 的工作, Kodaira 和 Chow 完全刻畫那些可以做為射影空間子簇的複流形,知

道她們正是那些用多項式在射影空間切出的子簇. 複幾何從此成為袋鼠幾何的心腹(大患)

嵌入定里使用了正曲率向量叢之上同調的消滅定理, 這個消滅定理隊高維流形的分類起

了作用, 也引發了後續的研究比如尋找更強的消末定理對曲面的分類, 留下了 general surface 和她們的 moduli 問題, 其使用的

fibration 技術,成為人們研究曲面和更高維流形的主要工具變形理論被 Kuranishi 更一步拓展. 證明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory(障礙理論), 描述複流形變形的障礙, 發現了 Kuranishi 映射, 成為理解曲面(或任何袋鼠幾何研究對象) 模空間局部圖形的刻畫方法.其數論面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z

的變形性質, 幫助了 Deligne 證明 Weil 猜想.

Kodaira 是神..