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為什麼圓截面柱體扭轉時不產生翹曲，而非圓截面會發生翹曲？

01-14

翹曲是因為不均勻受力產生的嘛？？

對比一下圓截面和橢圓截面。

圓截面的邊界條件是frac{x^{2} }{r^{2} } +frac{y^{2} }{r^{2} }-1=0

在線性、小變形的前提下，圓截面的應力方程是 phi =Bleft( frac{x^{2} }{r^{2} } +frac{y^{2} }{r^{2} }-1 ight)

根據 frac{ partial^{2} phi}{ partial x^{2} } + frac{ partial^{2} phi}{ partial y^{2} }=-2G heta

可以求得 B=-frac{r^{2}G heta }{2}

繼而 sigma _{zx} =frac{partial phi}{partial y} =frac{2By}{r^2} =-G heta y

sigma _{zy} =-frac{partial phi}{partial x} =-frac{2Bx}{r^2} =G heta x

相應的應變 gamma _{zx} =2varepsilon _{zx}=frac{2sigma_{zx}}{2G} =- heta y

gamma _{zy} =2varepsilon _{zy}=frac{2sigma_{zy}}{2G} = heta x

翹曲方程 psi _{left( x,y ight) } 和gamma 之間關係是

gamma _{zx} = heta left( frac{partial psi }{partial x}-y ight)

gamma _{zy} = heta left( frac{partial psi }{partial y}+x ight)

所以，frac{partial psi }{partial x}=0，frac{partial psi }{partial y}=0

而橢圓截面的邊界條件是 frac{x^{2} }{h^{2} } +frac{y^{2} }{b^{2} }-1=0

應力方程是 phi =Bleft( frac{x^{2} }{h^{2} } +frac{y^{2} }{b^{2} }-1 ight)

同樣 frac{ partial^{2} phi}{ partial x^{2} } + frac{ partial^{2} phi}{ partial y^{2} }=-2G heta

可以求得 B=-frac{h^{2}b^{2}G heta }{h^2+b^2}

繼而 sigma _{zx} =frac{partial phi}{partial y} =frac{2By}{b^2} =-frac{2h^2G heta y}{h^2+b^2}

sigma _{zy} =-frac{partial phi}{partial x} =-frac{2Bx}{h^2} =frac{2b^2G heta x}{h^2+b^2}

相應的應變 gamma _{zx} =2varepsilon _{zx}=frac{2sigma_{zx}}{2G} =-frac{2h^2 heta y}{h^2+b^2}

gamma _{zy} =2varepsilon _{zy}=frac{2sigma_{zy}}{2G} =frac{2b^2 heta x}{h^2+b^2}

對於橢圓截面的翹曲方程 psi _{left( x,y ight) }

gamma _{zx} = heta left( frac{partial psi }{partial x}-y ight)

frac{partial psi }{partial x}=frac{b^2-h^2}{b^2+h^2} y

gamma _{zy} = heta left( frac{partial psi }{partial y}+x ight)

frac{partial psi }{partial y}=frac{b^2-h^2}{b^2+h^2} x

所以，橢圓截面的 z 方向變形w= heta psi 不等於0。

或者說，圓截面可以看作橢圓截面的一個特例，當且僅當b=h的時候，橢圓就變成了圓，此時 b^2-h^2=0，frac{partial psi }{partial x}=frac{partial psi }{partial y}=0。

用心體會景色，換一種視角去發現美。

我覺得因為圓的扭轉中心在圓心，圓外邊緣各點的翹曲位移是一樣的，所以感覺跟沒翹曲一樣，不知道這個解釋對不對。

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