「幾何基本定理」是什麼？

算術（數論）基本定理：質因數分解的存在唯一性。

代數基本定理：複數一元多項式根的存在性。

分析（微積分）基本定理：牛頓―萊布尼茲公式。

「幾何基本定理」給什麼比較合適？

我思考過這個問題，因此試著拋磚引玉吧。

現代數學的分支已經非常龐雜了，很多方向就連數學專業的人也不曾熟悉。好在古典數學還是有很明晰的三大分支的，即幾何，代數和分析。另一個比較特別的分支就是算術，但是它實在是特別，一般人很難在這個領域有所成就。當我試圖給學生解釋數學是什麼的時候，就會從這"3+1"四個分支的基本定理出發。

首先是算術基本定理[Fundamental theorem of arithmetic]，又稱為正整數的唯一分解定理，即：每個大於1的自然數均可寫為素數的積，而且這些素因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。例如:6936=2^2×3×17^2，1200=2^4×3×5^2。算術基本定理的內容由兩部分構成：

• 分解的存在性：
• 分解的唯一性，即若不考慮排列的順序，正整數分解為素數乘積的方式是唯一的。

算術基本定理是初等數論中一個基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。自然數，素數以及黎曼猜想中有太多奧秘，就好像桃花源一樣的存在，不足為外人道也。參考維基百科：Fundamental theorem of arithmetic

分析，也就是微積分，是晚於其他三個分支的後起之秀，在17-18世紀問世，標誌即微積分基本定理[Fundamental theorem of calculus]的出現，參考維基百科: Fundamental theorem of calculus. 微積分基本定理描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關係。定理的第一部分，稱為微積分第一基本定理，表明不定積分是微分的逆運算。這一部分定理的重要之處在於它保證了某連續函數的原函數的存在性。定理的第二部分，稱為微積分第二基本定理或「牛頓-萊布尼茨公式」，表明定積分可以用無窮多個原函數的任意一個來計算。這一部分有很多實際應用，這是因為它大大簡化了定積分的計算。從計算技巧來看，微積分的思想在古希臘時期就出現了，先分割成一個個的小塊（微分元），然後再累加起來（積分）就可以了，但是這個樸素的認識不能算作是微積分的核心思想。微積分的核心思想要到龐加萊的外微分形式表述才漸漸被人深刻認識到：即

這裡 ?表示? ?的邊界，?dω?是?ω?的外微分, 只用流形的結構定義。這個公式被稱為一般的斯托克斯公式（generalized Stokes" formula）。這個公式其實表達了一種非常哲學化的普適看法，即系統 的行為可以映射到系統的邊界 上去。更精彩的分析，可以參看龔升的《話說微積分》和《微積分五講》。

代數，說白了就是解方程。判斷一個人適不適合學點兒數學，真的，就看他/她很小的時候會不會用未知數(x)了。這一點(x)是代數的最樸素的特徵。代數基本定理說明，任何一個一元複係數方程式都至少有一個複數根。也就是說，複數域是代數封閉的。有時這個定理表述為：任何一個非零的一元n次複係數多項式，都正好有n個複數根。這似乎是一個更強的命題，但實際上是「至少有一個根」的直接結果，因為不斷把多項式除以它的線性因子，即可從有一個根推出有n個根。

儘管這個定理被命名為「代數基本定理」，但它還沒有純粹的代數證明，許多數學家都相信這種證明不存在。另外，它也不是最基本的代數定理；因為在那個時候，代數基本上就是關於解實係數或複係數多項式方程，所以才被命名為代數基本定理。

高斯一生總共對這個定理給出了四個證明，其中第一個是在他22歲時（1799年）的博士論文中給出的。高斯給出的證明既有幾何的，也有函數的，還有積分的方法。高斯關於這一命題的證明方法是去證明其根的存在性，開創了關於研究存在性命題的新途徑。參看維基百科:Fundamental theorem of algebra.

最後，我們來到了幾何這一分支，這也是最早成熟的一個數學分支，即歐幾里得《幾何原本》。幾何學（英語：Geometry，古希臘語：γεωμετρ?α）簡稱幾何。幾何學是數學的一個基礎分支，主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間區域關係以及空間形式的度量，參看維基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/幾何學。現代幾何學有各種各樣的（平面幾何學，立體幾何學，非歐幾何學，射影幾何，仿射幾何，拓撲學等），但是有趣的是，幾何學中卻並沒有一個所謂的"基本定理"，這一點兒從科學史的角度考察，其實還是一個不錯的課題呢：即，為什麼最早成熟的幾何學，卻沒有一個被大家公認的「幾何基本定理」？

我個人的看法是，愛爾蘭根綱領[Erlangen program]可以視為「幾何基本定理」，因為這個綱領把幾何學看得很透徹，即對稱性和變換下的不變數啊，對於後來幾何學的發展也是承前啟後，甚至對於物理學的發展也是深遠的。愛爾蘭根綱領（德語：Erlanger Programm；英語：Erlangen program）是菲利克斯·克萊因於1872年發表一個深具影響的研究綱領，題為《新幾何研究上比較的觀點》（Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen），由於克萊因那個時候在愛爾蘭根而得名。該綱領建議了對於那個時候的幾何問題的一種新的解決辦法。

有一個「幾何」還是很多個？自歐幾里得以來，幾何意味著二維（平面幾何）或者三維（立體幾何）歐幾里得空間的幾何。在19世紀上半葉，有了一些發展使得這個景象變得複雜了。數學應用要求有四維或者更高維的幾何；對傳統歐幾里得幾何的基礎的審視已經揭示出平行公理和其他公理的獨立性，而且非歐幾里得幾何已經誕生；而在射影幾何中，新的「點」（無窮遠點，有複數坐標的點）已經被引入。

用抽象術語來說，這個解決辦法是使用對稱性作為根本的原則，並且從一開始就陳述不同的幾何可以共存，因為它們處理不同類型的命題和不同類型的對稱性和變換下的不變數。仿射幾何和射影幾何的區別就在於諸如平行這種仿射不變數的概念是前者的恰當主題，而對後者來說卻不是主要概念。然後，通過從各個幾何中抽象出基礎的對稱群，它們之間的關係可以在群的級別重新建立。因為仿射幾何的群是射影幾何的群的子群，所有射影幾何的概念不變數「先驗的」在仿射幾何中有意義；但是反過來不行。如果你包含更多對稱性進來，你就有一個更強的理論，但更少的概念和定理（但會更深刻和一般化）。參看維基百科:Erlangen program

愛爾蘭根綱領最牛逼的地方，是從某種意義上把物理學變成了幾何學一部分。雖然作為一個物理專業的學生來說，我嘴上雖然是不承認的，「物理學怎麼可能是幾何學一部分呢」，但是內心卻是對愛爾蘭根綱領超級佩服啊。

行了，扯了這麼多，只是希望大家對數學有個基本認識。如今，科學分支，數學分支實在太複雜了，真的是「生也有涯，知也無涯」。像這樣把數學裡面的幾個大的分支的基本定理拎出來，也是希望後來者在學習研究的過程，別被科學和數學的複雜系統嚇到了。了解一個學科的初衷，以及它最基本的結果是非常有益的。

------楓林白印/2018-Jan-9