為什麼平行板電容器的決定式 C=εS/4πkd 中含有 π？

01-14

π的基本含義是圓的周長和直徑的比值，那麼為什麼會在電學中出現呢？

這牽扯到一個定理叫做高斯定理。這是一個關於曲面積分和體積分關係的深刻定理，我盡量使用高中知識來解釋這個問題。

在學習電場的時候，書上說「電場強度可以使用電場線的疏密來描述」，但接下來就沒有下文了，而是使用了試探電荷所受力的相關情況來定義電場強度。事實上電場強度可以使用這種疏密程度來定量表述。

疏密程度如何用數學語言描述呢？疏密程度，粗略地說，就是單位面積內電場線的條數（當然，這個定義是不嚴格的。嚴格的計算對電場線的畫法和電場線如何穿過這個「單位面積」有一定要求）。想像扎一捆稻草，如果扎得緊，單位面積內的稻草就多，電場就強。

$E=frac{Delta N}{Delta S}$ ， $Delta N$ 是電場線條數， $Delta S$ 是一小塊面積。

電荷具有這樣的性質：正電荷「發射」電場線，負電荷「吸收電場線」。假如我們規定一個正電荷q發射10條電場線，等量的負電荷吸收10條電場線。這樣我們就獲得了一個「隔皮猜瓜」的辦法。假如我們拿個球把一些電荷裹住，我們看不到裡面有多少電荷。但我們看到球外面冒出20條電場線——哈，裡面有正電荷量2q。——且慢，裡面真的有2q的正電荷嗎？剛才說過，負電荷可還會吃電場線呢。沒準裡面有10q的正電荷發出100條電場線，結果被-8q的負電荷吃掉了80根，外面只有20根了。假如-8q的負電荷只吃掉了60根，有40根朝外的電場線成為了漏網之魚。但由於-8q的電荷要吃80根，只吃了正電荷的60根，另外20根還得從外面進口。

第一種情況，球內有電荷+2q，球外20根朝外的電場線；

第二種情況，球內有+10q和-8q，球外20根朝外的電場線；

第三種情況，球內有+10q和-8q，球外40根朝外的電場線和20根朝里的；

很容易發現，三種情況球內的電荷總量始終是+2q，球外的朝外的電場線的「凈數量」也始終是與之對應的20根。假如朝外的電場線「凈」條數有35根，那麼依葫蘆畫瓢很容易得到裡面的電荷總量是3.5q。電場線條數和總電荷量有著正比例關係。由此我們學會了「隔皮猜瓜法」：拿個球把一些電荷一裹，數外面的電場線條數，我們就可以知道這些電荷的總電荷值。再擴展一下：用正方體裹住這些電荷行不行？我用一個圓柱體裹行不行？當然可以。只要能夠保證裹電荷的「布」能夠密封，不會導致漏數了電場線條數，用什麼形狀並不要緊。

由上面的討論，我們知道

一塊密封布裹住的電荷量=a*穿過布的朝外的電場線條數

a是一個比例係數，在上面的例子里a=+q/10。假如算出來朝里的電場線數目比較多，那麼就折算成負若干條「朝外的電場線」，相對應的，裡面的總電荷量也是負的。

在之前的討論中我們學會了如何計算電場線條數：

$Delta N=Eullet Delta S$

那麼我們的隔皮猜瓜公式就可以寫為

$q=aES$

S是裹電荷的面的總面積。

這就是高斯定理的簡簡簡簡化版。

唉，這和說好的不一樣啊？這麼一堆推導， $pi$ 呢？

$pi$ ：我還在路上&>_&<

我們回到點電荷q的情形。

根據隔皮猜瓜法，拿一個半徑為R的球裹住點電荷q，有

$q=aE*4pi R^{2}$

也就是

$E=frac{1}{4pi a} *frac{q}{R^{2} }$ ，沒錯，它就是庫侖定律，而且 $pi$ 也出來了！前面的那個分數就是靜電力常量k： $a=frac{1}{4pi k}$

$pi$ 是出來了，那這和平行板電容器有什麼關係呢？接下來就拼上缺失的最後一塊拼圖。

先來研究一塊無限大帶電平板，如圖所示（畫圖大法好）。

中間的黑線是無限大帶電平板，單位面積上的電荷量是b，黑框是那一塊裹住電荷的圓柱體布，箭頭是電場強度，框與箭頭相交的地方是圓形，面積是S。繼續隔皮猜瓜：

$q=Sb=aES+aES$ （左右面各加一遍，柱面上沒有電場線穿過）

也就是 $E=frac{b}{2a}$

假如有一個平行板電容器，兩個板在中間產生的電場強度：左板帶正電荷，方向朝右，右板帶負電荷，還是朝右，二者疊加，是 $frac{b}{a}$ 。

電容器的電容 $C=frac{Q}{U} =frac{Sb}{Ed} =frac{Sb}{frac{b}{a} d} =afrac{S}{d} =frac{S}{4pi kd}$ ，假如說電容器之間有介質，我們的隔皮猜瓜係數要變一變，a變成了a乘一個常數 $varepsilon _{r}$ ，也就是 $frac{varepsilon _{r} S}{4pi kd}$ ~

贊數最高的答案寫的很好沒錯啦……看了後面沒什麼人贊的答案我放心了…… 4pi因子是立體角產生的。然而那個公式為何出現，更多是因為單位制的選擇而已……更何況那個公式里的係數k還不是國際單位制里的真空介電常數。實際上人們會根據需要改變單位制，把這個4pi去掉，但他就會從別的地方冒出來……一頭按下去一頭凸出來那種感覺……至於pi的出現我覺得更實質的原因是平方反比，當然高斯定理作為一個靜電學的栗子更容易說明白。

哈士奇謝邀。

@濤帥的回答很精彩，高斯定理實在是電磁場里很美的一個公式，只要合適的選取高斯面做曲面積分，就可以把電荷分布摸清楚。

前幾天接到這個邀請的時候，我其實愣了一下，因為我記得電容的公式是這樣的

這個公式裡面是沒有靜電力常量k和題主疑惑的π的。然後我推導了一下，發現題主給出的公式和我上面寫的公式是一致的。所以本答案的內容是從高斯定理出發證明靜電力常量k和真空介電常數ε存在關係：

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1785年，法國科學家庫倫同志發現了地球人歷史上第一個定量的電學定律，被稱為庫倫定律。

真空中點電荷受到的靜電力大小正比與各自的電量，反比於距離的平方。

庫倫定律寫成數學形式就是

上式中的這個比例係數k被稱為靜電力常量。

現在我們稱攜帶Q的電荷被稱為場源電荷，攜帶q的電荷被稱為試探電荷。令Q&>&>q，所以試探電荷q對Q的電場分布不產生重大影響。

試探電荷q在Q的電場中受力，我們定義電場力F與試探電荷電荷量q的比值為電場強度E。明顯的有：

以場源電荷Q為球心做半徑為d的高斯面，面上每一處的電場強度的大小均相等，且方向與高斯面在該點的切面的法向量相同。由高斯定理可得：

最後一個式子做一個簡單的化簡就得到了靜電力常量與真空介電常數的關係：

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高斯定理實在是太美麗的一個公式，簡潔的幾筆就能證明，靜電力常量並不是一個自然界的基本常數。中學的時候要背各種物理常數背的死去活來，你說我要是早知道這麼個關係我還背個毛線的靜電力常數啊。

電學入門期間你看到的π基本上都來自於高斯定理，也可以說就是球表面積公式里的π

爪機寫不了公式_(: 」∠)_

知乎上有個更普遍意義些的問題，為什麼許多物理公式里都有 $pi$ ？

答案是反映了空間的對稱性。

題主自己搜吧。

因為你沒選好單位。。。。。。。

因為你既用了ε 介電常數又用了k 庫倫常數。如果你用真空介電常數ε0換掉k就沒有π了。

如果電容是兩個半徑r，R的同心圓，沒有介質，那麼很容易算出V=kq/r-kq/R，因此C=rR/kd，其中d=R-r。

然後讓r變大，保持d不變，球面變成平面了，你就能得到你的結果

細節待補充

你很有自己的思想。其實你的想法的對的，可以不含pi的。因為k=1/（4pi*真空介電常數），所以把pi給約了。

這也許是你學過大學物理，你公式里的k實際上是：

k=frac{1}{4piepsilon_0}

這只是一種單位。你們用的是高斯單位制。

有一種單位叫做SI單位制。裡面沒有pi。

還有一種單位叫做高能單位制，裡面c=1

這是選擇國際單位制導致的結果，你要取高斯單位制就沒了

因為這個公式曾經是用高斯制寫的，那時候沒有pi，後來大家都用公制了，就有pi了

我這個偽競賽黨也來裝個*

根源是來自球面積公式

另外你有沒有想過為毛電場場強大小和r^2成反比，而不是別的次方？其實道理類似，也是除以了個球面積得到密度

跑題了，其實我想說明是: 每個自然學科間有本質的聯繫，所以

那些天天宣揚「買菜又不用微積分」的去*吧（嗯，針對我現在的英語老師）

不要再把π簡單的理解成周長比直徑了(￣_,￣ ),

高斯定理

電通量等於閉合面內電荷總數

那個k叫1/4piε

高中的話不要記它了

高考又不考這個

真空中的絕對介電常數

ε0 =1/4πk

同學說我寫的答案太傻，權當看著娛樂吧T_T

有的時候物理量之間是用正比和反比來表示的。

而物理公式的係數，要麼是直接定義的（萬有引力常數），要麼是從其他定義推導過來的。

有的科學家為了計算方便，於是就把公式中的係數定義成各種奇怪的數字。

比如庫侖定律中的係數k，有時候寫作1/4πε0，如果他們覺得k方便，就用k，覺得1/4πε0方便就用1/4πε0。

你試試把k值帶入，是不是π就沒了(≧▽≦)

ps：ε0是在一起的，介電常數，和萬有引力常數G一樣，是測量值。

可以理解成電場在球面上均勻分布

4兀r^2是球面積

由於空間的對稱性，然後解泊松方程就會得出4pi來了。還有一部分原因是單位制的問題，但是用高斯制解泊松方程其實也會得出4pi來，但是被約掉了。

請無視我寫的字

說明題主見過的公式太少了…我覺得我現在見到的每個公式都有pi