結構抗震中的反應譜和傅里葉譜有什麼聯繫？能不能通過傅里葉變換得頻域值，再一一進行逆變換得到反應譜？

01-14

一般的反應譜好像都是通過積分方法得到的，算起來比較麻煩。通過傅里葉變換可以傅里葉譜，單獨取每一頻率對應的幅值做逆變換，再乘以反應比之後疊加，得到的譜是不是就是反應譜呢？

通常用來反映地震動頻譜特性的譜有三個：傅里葉譜，功率譜和反應譜。

1. 基本概念

1.1 傅里葉譜：包含了傅里葉幅值譜和相位譜，全面描述了地震動過程的頻譜特徵，包括了各頻率分量的相位及幅值信息。因此，從兩個傅里葉譜可以反推出地震動的時程。而功率譜和反應譜則不行。

1.2 功率譜：實為閹割後的傅里葉譜，反映了能量特性，失去了相位信息。

1.3 反應譜：一般是指單自由度體系在地震時程作用下的最大響應。包括位移譜，速度譜和加速度譜。反應譜的作用是建立了地震作用與結構特性之間的橋樑。實際工程設計中的振型分解反應譜法正是基於此。

2. 用以前的課程作業舉個小栗子

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2.1 先隨意找一條地震時程，這裡用的是ELCENTRO。如下圖所示。

2.2 在matlab中直接對地震時程進行快速傅里葉變化，便可生成傅里葉幅值譜，傅里葉相位譜和功率譜。依次如下。

2.3 至於反應譜，則需要對單自由度體系進行時程響應分析。對於二階系統通常採用的隱式方法，如線性加速度法，wilson法，new-mark法等。根據ELCENTRO波，繪製出加速度譜，速度譜和位移譜如下所示。

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3. 三種譜之間聯繫

之前也提到了，傅里葉譜含有相位信息，所以說要比較的話只能用傅里葉幅值譜。

嗯，是的，下面要開始強行扯關係了......

3.1 傅里葉幅值譜與反應譜的關係

傅里葉幅值譜： $|G(omega )|=|int_{0}^{T}a( au ) cosomega (t- au )d au |$

無阻尼相對速度譜： $S_{v} (omega ,0)=|int_{0}^{t} a( au )cosomega (t- au )d au |_{max}$

對比可知，兩者差別在於傅里葉幅值譜是相對速度反應譜在地震動終止時間的值，而無阻尼相對速度反應譜則是整個反應過程中的最大值。傅里葉幅值譜必然小於或者最多等於相對速度反應譜。

3.2 傅里葉幅值譜與功率譜

地震動過程的功率譜，實際等於一簇樣本函數的傅里葉幅值譜的平方的平均值。對於地震動這類的各態歷經過程，通常是用時域平均代替集合平均。

3.3 加速度反應譜與加速度功率譜

在隨機振動理論里能推導出兩者之間的一個近似關係，我也看不懂就不裝B了...

4. 傅里葉譜到反應譜

傅里葉譜都能推導出整個地震動的時程了，你說能得到反應譜么？

通常反應譜是針對單自由度系統計算出來的。

根據牛頓第二定律，單自由度系統可以用以下運動方程描述：

$ma(t)+cv(t)+kx(t)=p(t)......(1)$

同除以m,這個公式就變成：

$a(t)+2zeta omega _{n} v(t)+omega _{n}^{2} x(t)= -a_{g}(t) ......(2)$

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等號右邊的ag就是地震加速度，time history繪製出來是這樣子的：

用MATLAB的FFT程序，通過傅里葉轉換到頻域成這樣：

然後就可以根據這個圖判斷一個地震的組成，主頻率分布...

當然你也可以針對動態方程的某一個響應來進行傅里葉變換。

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再看公式(2),假設阻尼比一定，對不同自振頻率的結構求位移響應的最大值，就可以畫出這樣的反應譜：

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反應譜和傅里葉譜的聯繫大概就是這樣的。

傅里葉變換是針對一個（X-time)的波形變換，但反應譜綜合了對應不同系統周期的動態方程的解。因為我只是個還沒畢業的本科生，對這方面不精。但感覺題主你描述的這種逆變換也會經過一個用數值解響應的過程，然後再進行傅里葉變換，再轉換回值域。這種方法並不比正常繪製反應譜來得簡單。

歡迎指出有錯的地方，如果題主有新的理解也請交流一下。

反應譜可以通過單自由度體系的動力方程，按照輸入的地震波，利用數值方法求解，例如紐馬克，中央差分，求出對應周期的大值，繪製

雖然學的都還給老師了。

但記憶中做這方面的計算靠軟體來完成的。你只要弄懂矩陣，運算方式就行了，複雜的計算把公式弄對了，輸入數值就可以了。