求牛頓由萬有引力定律到行星圓錐曲線運動軌跡推導過程？

01-14

微分方程不會解

先看牛頓第二定律給出的運動方程： $m F=mddot{m{r}}=mdot{m v}=mathrm d m p/mathrm dt$ ，它有兩個推論：

保守勢的勢能變化： $mathrm dE_p=-m F cdot mathrm dm l=-frac{mathrm d(mm v)}{mathrm dt}cdot mathrm dm l=-mathrm d(m m v)cdotm v=-mathrm dleft(frac{1}{2}mm v^2 ight)=-mathrm dE_k$ ，是動能變化的相反數，所以機械能 $E=E_p+E_k$ 守恆．
力矩： $m M=m r imes m F=m r imes frac{mathrm d m p}{mathrm dt}=frac{mathrm d}{mathrm dt}(m r imes m p)=frac{mathrm d m L}{mathrm dt}$ ，即角動量的變化率．

萬有引力定律的公式是 $m F=-frac{GMm}{r^3}m r$ ，作積分可以得到引力勢 $E_p=-frac{GMm}{r}$ ；而力矩 $m M=m r imes left(-frac{GMm}{r^3}m r ight)=0$ ，所以角動量 $m L$ 也守恆．

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以恆星爲原點建立極座標系 $(r, heta)$ ，行星座標爲 $m r$ ，徑向速度 $v_r$ 角向速度 $v_ heta$ 和 $mathrm dr/mathrm d heta$ 可以表示爲： $v_r=frac{mathrm dr}{mathrm dt},,quad v_ heta=rfrac{mathrm d heta}{mathrm dt},,quad frac{mathrm dr}{mathrm d heta}=frac{rv_r}{v_ heta},.$

恆星－行星體系的角動量 $L$ 守恆和能量 $E$ 守恆可以寫成：

$mrv_ heta=L,(mathrm{constant}),, frac{1}{2}m(v_r^2+v_ heta^2)-frac{GMm}{r}=E,(mathrm{constant})$ ．

可得：

$v_r=sqrt{frac{2E}{m}+frac{2GM}{r}-frac{L^2}{m^2r^2}},, v_ heta=frac{L}{mr},.$

繼而，

$frac{mathrm dr}{mathrm d heta} = frac{mr^2}{L}sqrt{frac{2E}{m}+frac{2GM}{r}-frac{L^2}{m^2r^2}}\ = r^2 sqrt{left(frac{GMm^2}{L^2} ight)^2left(1+frac{2EL^2}{G^2M^2m^2} ight)-left(frac{1}{r}-frac{GMm^2}{L^2} ight)^2}\ =r^2sqrt{(varepsilon /p)^2-u^2}$