如何理解亞歷山大·格羅滕迪克？

01-14

亞歷山大·格羅滕迪克（無國籍，居於法國，生於德國），是20世紀最偉大的數學家之一，但他基本上屬於另類，與學術界的數學家距離很遠。他沒有受過正規教育，也沒有按部就班地在學術階梯上晉陞，而且在1970年以後完全脫離學術界。
1966年他獲得菲爾茲獎，但他拒絕往蘇聯領獎。1967年往越南旅行，布拉格之春和1968年5月事件使他投身反對行列，直到1970年他辭掉法國高等科學研究所的工作，抗議其資助部份來自國防部。

這本書在代數幾何學界里是很有名的, 到2015/5/15 為止, 在 MathSciNet 上它被引用了 285 次.

Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, and Kuang-yen Shih, Hodge cycles, motives, and Shimura varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 900, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. MR 654325 (84m:14046)

SGA 4.5 則有 454的引用.

Pierre Deligne, Cohomologie étale, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 569, Springer-Verlag, Berlin- New York, 1977, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie SGA 4 1/2, Avec la collaboration de J. F. Boutot, A. Grothendieck, L. Illusie et J. L. Verdier. MR 0463174 (57 #3132)

至於 BBD, 到15-05-15為止, 被引用了 624 次.

A. A. Beilinson, J. Bernstein, and P. Deligne, Faisceaux pervers, Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981), Ast ?erisque, vol. 100, Soc. Math. France, Paris, 1982, pp. 5–171. MR 751966 (86g:32015)

Grothendieck 對這3本書是什麼態度呢? 在給 Mumford 的信里, 他說

But let me get back to cases of outright fraud and ruthless cynicism, as
exemplified by the remarkable volume LN 900 on motives (one of the most
cited books in the literature), or by the very
name 「SGA41/2」 (same remark),

or, more shameless than all, the Colloque Pervers (same remark again for
the Proceedings of the Colloquium, in two volumes, published in Astérisque).
The fraud in these cases is evident and glaringly clear to all those who are
in touch with the topics dealt with—in the third case, it should add up to
at least fifty world-wide known specialists, including such 「stars」 as Deligne,
MacPherson, Beilinson, Malgrange, Verdier, and many others. Here it is not
some well-known 「ancestor」, who used to be in a position of power himself but
who isn』t around any more, who is being plundered—or, if he is indeed, this
isn』t really the crux of the matter. The whole Colloquium (exhibiting for the
first time a substantial portion of the panoply of the unnamed ancestor...)

took place through the solitary and obstinate work of an unknown pioneer,
who (drawing inspiration from the ancestor) succeeded to do the work that
Deligne had been unable to conceive of and to do, ten years before. Through
the connivance of the participants in this Colloquium this 「unknown soldier」,
who did the work which none of these brilliant people had ever dreamed of,
isn』t named at all in the first volume of the Proceedings, and in the second
only quite incidentally and never with reference to the main result which was
the very spring of the Colloquium. I said enough about this affair in ReS, so
that I need not dwell upon any more details.

他是有多麼的憤怒和傷心啊.

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2014. 11. 13. 他永遠離開了我們

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寫了這麼多的內容, 我發現越往後越不能避免技術上的討論. 從而也使得這篇回答越來越不能符合科普文的性質. 畢竟, Grothendieck的數學不是那麼容易就被消化理解的, 哪怕是在膚淺的層面上.

再加上我自己所知非常有限, 我恐怕這個答案將不會對太多人有用.

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A. Grothendieck是一個改變了當代數學面貌的人.

( 一 )

如果你去MathReview上看 Grothendieck 的論文引用次數, 你會(驚奇地)發現被引用最多的是 ---

MR0075539(17,763c)Reviewed

Grothendieck, Alexandre

Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. (French)

Mem. Amer. Math. Soc.1955 (1955), no. 16, 140 pp.

46.1X

"核空間與拓撲張量積"

這個是Grothendieck的博士論文. 這篇論文的Review的第一句話是

Le grand nombre de résultats importants contenus dans ce mémoire (Thèse), rend difficile d"en mettre en évidence les lignes essentielles, même si l"on a recours au résumé des résultats publié auparavant.

英文 (google) 翻譯:

The large number of important results contained in this thesis (PhD), making it difficult to highlight the essential lines, even if it uses the previously published summary of the results.

如果你學過W.Rudin的"泛函分析", 你會發現其實Grothendieck的泛函分析的定理是可以被寫入教科書的. 我並不懂泛函分析, 況且400+的引用率在分析業界並不可觀. 還請其它分析行家補充.

( 二 )

50年代中葉之後, A. Grothendieck的興趣逐漸從泛函分析偏移到了更加代數的範疇中. 比如, 他證明了黎曼球面上的全純向量叢分裂成線叢的直和.

MR0087176(19,315b)Reviewed

Grothendieck, A.

Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann. (French)

Amer. J. Math.79 (1957), 121–138.

53.3X

現在, 這個定理的證明已經頗為標準, 可以在標準的代數幾何入門書上找到. 然而, 高虧格黎曼曲面上的向量叢的研究則複雜很多. 這時(穩定)向量叢的等價類會"連續變化", 因此出現了"模空間", 關於模空間的拓撲, Narasimhan-Seshadri, Atiyah-Bott等有非常深入的工作. 前者運用了算術中得Weil猜測; 後者則來自楊振寧-Mills理論的啟示.

在堪薩斯大學的時候他發表了著名的"T?hoku",

MR0102537(21 #1328)Reviewed

Grothendieck, Alexander

Sur quelques points d"algèbre homologique. (French)

T?hoku Math. J. (2)9 1957 119–221.

18.00

D. Buchsbaum的Review的第一句話如下.

The formal analogy between the cohomology theory of a space with coefficients in a sheaf, and the derived functors of functors of modules has been apparent for some time. The author has here developed the necessary framework to encompass these (as well as other) theories.

也許現在所有的入門同調代數書介紹導出函子時, 最先採取的講法都是依據 T?hoku. 這與幾十年前同調代數只有唯一"聖經"(Cartan-Eilenberg)的情形已經截然不同了. 如果稍微讀一下 Grothendieck的這篇文章, 就會發現其中很多技術可以意想不到地應用到很多其它數學的角落. Grothendieck 在這篇文章里系統地介紹了如何在相當一般的情形下應用譜序列計算複合導出函子. 諸君所熟悉的大多譜序列 (Leray, Local-to-Global, Hochschild-Serre,...) 皆是 Grothendieck 譜序列的特殊化. 後來, 同調代數在 Grothendieck 的博士生 J.-L. Verdier 的工作下繼續發展, 產生了導出範疇, 三角範疇等近代數學概念; 這些研究引發了(Poincaré, Serre) 對偶定理的大幅度推廣. 可惜 Verdier 先生和他的太太不幸在車禍中喪生, 令人無限惋惜.

Grothendieck 的對偶理論是在 Scheme 理論發展之後逐漸成型的. 早期關於這個理論的唯一參考文獻是 R. Hartshorne 的 "Residue and Duality". Grothendieck 的看法是先 build up 局部對偶, 然後發展整體理論. 但是導出範疇的概念基本是整體的, 所以從局部到整體的過程頗為複雜, 令人不悅. 此外, 由於導出函子的計算需要 "injective resolution", 人們只能局限在 bounded derived category. 隨著20世紀後半葉的數學發展, 特別是代數拓撲學與抽象同倫論的發展, 人們漸漸意識到 unbounded derived category 具有更佳性質. 經過一系列的觀察和積累, 在1996年由 A. Neeman 寫下了下面的文章,

MR1308405(96c:18006)Reviewed

Neeman, Amnon(1-VA)

The Grothendieck duality theorem via Bousfield"s techniques and Brown representability.

J. Amer. Math. Soc.9 (1996), no. 1, 205–236.

18E30 (14F05)

( 三 )

A. Grothendieck 在 50 年代證明了 Riemann-Roch定理的巨大推廣. 由A. Borel 和 J.-P. Serre 寫下並發表.

MR0116022(22 #6817)Reviewed

Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre

Le théorème de Riemann-Roch. (French)

Bull. Soc. Math. France86 1958 97–136.

14.00

如大家所常聽聞的老生常談所說的一致, Grothendieck認為這個定理是關於"映射"的, 而非"代數簇"的. 將定理陳述為關於映射的給證明增添了很大的flexibility. 這個定理的證明可以分成兩部分, 一部分是關於"regular embedding"的; 另一部分是關於投影空間的. 後一部分證明極為普通; 而關於regular embedding的部分則略微複雜. 問題在於Grothendieck於1958年並未獲得Chow theory的良好信息. 實際上, Grothendieck在證明中所用的Chow理論, 乃是K-理論的關於余維數的分次環. 這個定義給計算Blow-up的Chow理論帶來了很大的不便. 後來, W. Fulton和R. MacPherson發展了相交理論, 運用"deformation to the normal cone"的方法, 徹底簡化了Borel-Serre文中的證明.

Grothendieck 的 Riemann-Roch 定理包括了著名的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式. 如果運用Fulton-MacPherson理論, 則其證明簡潔優雅, 極為動人 (可參見W. Fulton的"intersection theory"第16章). Grothendieck 的 Riemann-Roch 公式在後世有了極大的應用. 一個例子就是 D. Mumford和J. Harris運用Grothendieck-Riemann-Roch加上Brill-Noether理論成功地計算了曲線模空間的canonical divisor class. 通過計算, 他們得出了當虧格 &>= 24 (感謝 Fu Hei 指正) 時, 曲線的模空間是general type variety. 這是模空間雙有理幾何的開山之作.

作為Borel-Serre文章的附錄, Grothendieck 給出了一個定義陳省身示性類的方法.

MR0116023(22 #6818)Reviewed

Grothendieck, Alexander

La théorie des classes de Chern. (French)

Bull. Soc. Math. France86 1958 137–154.

14.00

實際上, Grothendieck 注意到了向量叢的投影配叢的上同調可以通過 Leray-Hirsch 定理表達為底空間的上同調加上 relative O(1) 的歐拉類的方冪; 歐拉類所滿足的關係的係數恰好是陳類. 這個定義方式頗有影響, 還常常被代數拓撲入門讀物採納, 如 R. Bott和L. Tu的 "Differential forms in algebraic topology".

(四)

Scheme, 中文翻譯為概形, 是 Grothendieck 用來推廣代數簇的幾何對象. 代數簇, 眾所周知, 是投影空間中齊次多項式的零點. Scheme, 不只記住了點集, 還記住了定義這點集的多項式. Scheme的基本理論被記錄在了未完成的 EGA 中.

與廣大群眾所熟知的論調相反, scheme 並非高度抽象的理論. 相反, 它十分具體, 並且能夠生動地反映出代數簇所不能反映出的特質.

通過系統地使用scheme的語言, Grothendieck 構造了所謂的 "Hilbert scheme". 大量古代代數幾何中的模糊的陳述, 通過Hilbert scheme, 可以精確地陳述. 比如, F. Severi 的 residual (?我忘了這個名詞是什麼了, 就是 surface 上 curve 的 normal bundle 的 complete linear system) system 維數猜測, 通過 Hilbert scheme 和 Picard scheme, 在特徵 0 得到了代數證明; 不只如此, 在特徵 p 時, 我們也知道為何猜測是錯的 (Picard scheme nonreduced).

通過把曲線表示為 pluricanonical embedding的Hilbert point, D. Mumford 的幾何不變數得以構造模空間; 目前為止, 這已經成為構造模空間的標準方法. （請注意, 芒福德的「幾何不變數」一書並非應用幾何不變數這一手段構造麯線模空間。）

Grothendieck 發展了 Kodaira-Spencer 的變形理論, 發展了阻礙理論. 這些由他的博士生 L. Illusie 系統化, 寫成了博士論文 "cotangent complex, I and II". 這些理論成為當代數學中重要的工具. 比如, 最幼稚地應用變形理論和阻礙理論, 可以對某個幾何對象一切可能的變形的空間的維數進行估計. Grothendieck 還證明了重要的 "Grothendieck 存在定理", 說明何時 "formal deformation" 可以擴張為"代數變形", 即來自於幾何的變形.

Grothendieck 的 scheme 理論還聯繫了幾何與算術. 通過標準的"spread out"技術(取出多項式係數, 生成一個有限生成Z-代數), 可以將一個復代數簇約化到有限域. 有時, 這種技巧可以極大地簡化問題, 甚至導致超越技術難以證明的定理. 一個極好的例子是森重文對"Hartshorne 猜測"的證明. 通過應用特徵p的Frobenius endomorphism, 森得以控制變形空間的維數; 然後應用"bend-and-break"以產生有理曲線. 一個更為生動的例子是Grothendieck對 Ax 定理的證明. 前述的 Narasimhan-Seshadri 的工作, 其實就是將模空間約化到特徵p, 然後應用Weil猜測來計算上同調. 這一切都是 Grothendieck 之前的時代的技術所不能達到的.

我只是簡單地舉了幾個例子來彰顯scheme的重要, 但她業已經成為標準的語言. 故而大多的當代代數幾何論文都可視為scheme理論的應用.

( 五 )

Grothendieck 發展了拓撲的概念. 現在稱之為Grothendieck topology或者site. 這部分數學被記錄在SGA4中. Grothendieck 認為, 拓撲學中的一個空間的開覆蓋的概念可以推廣 --- 比如, 在scheme X的 (small) étale topology中, 一個開集是指一個étale map U --&> X. 而一個開覆蓋則是一堆étale maps U_i --&> X; 它們的像的並是X. 眾所周知, Zariski topology非常粗(coarse), 使用étale拓撲則可以增添相當的flexibility. 更為重要的是, 對一個site, 可以定義site上的sheaf, 這構成一個abelian 範疇, 可以討論這些sheaf的上同調, 等等.

Grothendieck 意識到 site 的性質很大程度上決定於其上所承載的"束(sheaf, 誤譯為"層", 頗令人不解)". 也許, sheaf的範疇是更本源的幾何對象. 一個範疇, 如果等價於一個site上的sheaves的範疇, 那麼這個範疇叫做一個Grothendieck topos.

通過定義不同特性的 sites / topoi, 可以導出代數簇的各種有趣的上同調理論. 比如晶體上同調是晶體拓撲斯的結構束的上同調; proper variety 的剛性上同調可以實現為 Ogus 的 "收斂拓撲斯" 的某個束 K 的上同調; 最近 Le Stum 定義了過收斂拓撲斯, 這個可以一致地處理非緊的 variety 的剛性上同調.

(六)

安德烈 ? 威毅 (André Weil) 猜測代數簇的拓撲性質和其算術性質有著緊密地聯繫. 比如, 通過計算一個光滑投影代數簇在有限域約化的點得個數, 我們可以計算其貝蒂數. 而上同調的彭加勒對偶則體現在了point-counting 的 Zeta 函數的函數方程中. 最深刻的是 Riemann hypothesis 的類似, 它預言了 Zeta 函數的零點和極點的模長如何. Weil 大概意識到了這些猜測的一部分是某種"好"上同調理論的推論. 但是構做上同調理論這一大業卻是在 SGA 4 中實現的.

撓係數的平展 (étale) 上同調可以準確地反映代數簇的"正確"拓撲性質. 在複數域上, Z/l係數的 étale 上同調和相應係數的奇異上同調是同構的. 然而, 要實現 Weil 猜測的有理性和函數方程的證明, 我們需要一個係數取值在特徵 0 域的上同調理論 (從而得到準確的萊夫謝茨固定點公式). 今可對 H^*(X,Z/l^nZ) 取逆向極限, 便得到平展 l-進上同調群. 若將上同調係數擴張至 l-進有理數域 Q_l 或者其代數閉包 , 就得到了取值在特徵0的"好"上同調理論; Weil 猜測中的有理性和函數方程迎刃而解 (略早於Artin-Grothendieck, 這兩個猜測已經被 Dwrok 用 p-adic 的方法解決了, 德沃克先生的 p 進方法在後世產生了巨大影響，導致了當代數學諸多革命性地發現，然而由於與主題無關，在此按下不表).

黎曼猜測是被 Grothendieck 的博士生 P. Deligne 解決的. Deligne 對 l-adic cohomology 的深入研究導致了一系列重要進展. 在80年代, 德利涅繼承自 Grothendieck 的「威權理論」 (theory of weights) 受到 D-模理論, 高睿天-麥福森「相交同調」的影響, 達到高潮. 產生了Bernstein-Beilinson-Deligne-Gabber的「分解定理」. 此外, 作為他研究的衍生物 (或者 theory of weight 在特徵0的類似物), Deligne 在其第二篇博士論文中引入了混合浩智結構 (Mixed Hodge structure), 並且證明了一系列關於代數簇拓撲的驚人結果. 可惜, Deligne 的文章 Weil II 和 Hodge II, III 並不易讀（然而，需要補充的是，Grothendieck 學派的文章雖然不易，卻都組織得非常好，即俗語所謂「寫得很好」）.

然而, 對於不同的 l, 我們有不同的 l-adic 上同調. 這麼多上同調理論都是一回事嗎? 這就誘發了"yoga of motives".

( 七)

如上所說, 你給一個素數 l, Grothendieck 教給你一個"好"上同調. 這些上同調似乎是"一樣"的, 但是卻明明有不同的係數. Grothendieck認為這些上同調理論應該有公共的發源. 他把這個發源稱為"motif", 而這一切的上同調理論都是motive的不同實現方式而已.

代數簇, 相對於復解析空間或者複流形, 一個重大的特點是它具有大量的子空間. 對一個光滑投影代數簇X, 整數m, 定義Z_m(X)為由X的m-維不可約子簇生成的自由abel群. Z_m(X)中元素稱為"algebraic cycle". 在Z_m(X)上存在一系列等價關係, 諸如有理等價, 代數等價, 數值等價. 為了簡單起見, 我們只談數值等價. 兩個Z_m(X)中的algebraic cycle a 和 b 稱為數值等價, 如果對任何dim X - m維的X的不可約代數子簇V, 有a.[V] = b.[V], 其中"."指代相交數. 相交數的嚴格定義頗為複雜, 我們不予討論. 但其直觀意義卻相當明顯, 即計算兩個子簇相交的點的個數.

令 $A^n(X) = A_ ext{num}^n(X)$ 為商群 $Z_{dim X - n} (X) / ext{num. eq}$ .

設 X, Y, Z 為三個光滑投影代數簇. $alphain A^ell (X imes Y)$ , $etain A^m(Y imes Z)$ 分別為 X x Y 和 Y x Z 上的cycle classes. 我們可以定義複合 $alphacirceta in A^{ell + m -dim Y}(X imes Z)$ . 一個元素 $p in A^{dim X}(X imes X)$ 稱為projector, 如果 $p circ p = p$ .

對域k, 今定義範疇Mot_k如下, 其objects為pairs

$(X,p)$ , 其中X是光滑投影代數簇, p為X上的projector. 定義兩個對象之間的arrow為

$mathrm{Mot}((X,p),(Y,q)) = p circ igoplus_ell A^ell(X imes Y)circ q$

Grothendieck 猜測, 這個範疇應該是導出一切上同調理論的終極上同調.

如果域k是特徵0, U. Jannsen 證明了這個範疇是 semisimple abelian 的.

Motive的理論或多或少還停留在猜測階段. 原因是 motive本身的很多性質都還沒有得到證明. Grothendieck 自己提出了關於 motive 的標準猜測; 包括數值等價與同調等價的一致性。這些猜測遠未被解決.

Motive 的各種實現, 另一方面, 則在代數幾何中產生了巨大的影響. 如果假設著名的 Hodge 猜測, 那麼在complex number上, motive的範疇嵌入(fully and faithfully)到了所謂"pure Hodge structure"的範疇里. 一種在幾何上實現pure Hodge structure的方法是使用復投影流形上奇異上同調的Hodge分解. 對Hodge結構的研究產生了許多美妙的定理. 這方面的始作俑者是 P. Griffiths 和他的學派. 格里菲斯是一個非常 original 的數學家，受陳省身的影響，他鼓吹，推進，發展了厄米微分幾何，李理論和奈望林納理論，並用它們以研究所謂周期域 (period domain) 與周期映射 (period mapping)。浩智理論於是蓬勃發展，至今仍然是復代數幾何中非常寶貴的工具。舉幾個例子：

使用奈望林納理論，考拿巴與格里菲斯回答了仿射代數簇上的向量叢何時可以代數化的問題。
Schmid 對周期映射的漸進性質的研究產生了所謂冪零軌道（nilpotent orbit）與 SL2 軌道定理，因之導出了單參數任意可極化浩智變分的極限混合浩智理結構。
卡塔尼-德利涅-卡普蘭使用施密德的周期映射的漸進研究，即軌道定理，證明了所謂「浩智軌跡」（Hodge loci）的代數性。這一方面是浩智猜測的極強證據；另一方面也是浩智理論超越幾何直觀的驚人結果。這個定理反映了如下的一個令人震驚的現象：雖然一個浩智長度一致有界的整係數上同調類在參模空間中可以在無限個子空間從非 algebraic cylce 變成 algebraic cycle；然而它只會在有限個子空間上變成「浩智類」（即所謂(p,p)-class）。

總之, Hodge理論不僅僅是Motive理論的實現, 也在具體問題中發揮了巨大的作用.

關於motive有很多可以說的方面, 我們暫且只說Hodge, 留待虛幻的後傳來討論其他的方面.

(八)

如上, 對於特徵p的域, 我們可以構造l-adic上同調用以解決許多問題. 然而, p-adic etale 上同調並非正確地上同調理論. 比如, 對於橢圓曲線, 它的p-torsion部分是依賴於橢圓曲線本身的, 而並非(Z/p)^2. 有些具體的數學問題不只需要l-adic的部分, 也需要p-adic的部分. 於是, 構造一個p-adic的"好"上同調就成為必要的了.

此外, 代數幾何中的一個重要技術就是"lift". 如果有一個代數簇 over 特徵 p域, 人們常常希望用特徵0的域的幾何來說明這個代數簇的性質. 稱這個代數簇lifts to char. 0, 如果存在一個complete DVR R of char 0, 一個smooth variety over R, 並且special fibre是給定的variety. lift並非總存在.

Grothendieck定義了crystalline site用以解決這些問題. 他的博士生P. Berthlot的博士論文中定義了所謂的Crystalline上同調. 這個是一個"半好"的上同調理論, 因為它對singular variety表現極差. 最近B. Bhatt甚至懷疑不存在singular variety使其crystalline cohomology是有限生成的. 這一問題後來被Berthelot發展的"rigid cohomology"理論所部分克服. 目前, 這套理論 (晶體/rigid 上同調) 的理論部分已經基本成型. 這裡的故事很豐富, 有很多人參與其中. 我就不一一列舉了. 只說一下最近 Abe-Caro 完成了 p-adic 的 theory of weights. 不只是" Weil II" 的理論可以用 p-adic 理論解決, "BBD" 的 perverse sheaf 理論也已經可以在這個框架下完成了.

Crystalline 上同調的一個好處是, 即使variety 本身不能lift到特徵0 (witt vector), 它的晶體上同調卻是取值在witt vector里的. 你可以假想這個variety does lift, 而且frobenius 也lift並且作用在de Rham 上同調上. 晶體上同調的取值對象是所謂的"F-isocrystal", 這是一個"半線性代數"的對象. 它的分類基於所謂"斜率". 對於"通常"的variety, 這些斜率所決定的信息無非是variety的Hodge number; 但是對於"奇怪"的variety, i.e. 斜率不能由hodge number決定, 它們的特殊幾何就特別引人興趣. 比如, 在橢圓曲線的例子下, 奇怪的橢圓曲線稱之為"supersingular"; 在K3的例子里,斜率最偏移的叫做supersingular K3曲面. 它們是unirational(最近由Liedke證明)的(這在特徵0是不可想像的).

對於定義在有限域上的代數簇, 所以斜率無非是 Frobenius 作用下特徵根的被 p 除的階數 (根據 Deligne 的 Weil 猜想的解, 它們都是代數整數). 關於晶體上同調, 或者p-adic上同調, 可以讀一下B. Mazur的下面的短文, 它是他重要工作的一個簡短介紹.

MR0330169(48 #8507)Reviewed

Mazur, B.

Frobenius and the Hodge filtration.

Bull. Amer. Math. Soc.78 (1972), 653–667.

14G20 (10C20 14F30)

謝邀。

數學方面的成就，高票答案講得非常詳細了，很慚愧我也不大看得懂。。下面聊聊數學以外的Grothendieck（下簡稱G）。

G是一位堅定的理想主義反戰主義鬥士。也許是受少年時期納粹集中營經歷的影響，G對一切與軍事有關的活動都深惡痛絕。因為反對越戰，為表抗議，他遠赴戰時的越南，向越南的數學同行們講解數學；因為法國高等研究所接受了國防部的部分資助，他憤而辭職；在某次國際數學家大會上，蘇聯的某位著名盲人數學家在報告與導彈有關的應用數學，G衝上講台奪下話筒：「數學不應該被應用于軍事！」

G像極了哈代在《一位數學家的自白》文中描繪的純數學家。他的政治觀點是單純的，他的數學也是純粹的。在此我又想起了那個關於Grothendieck素數的著名段子（其實是真是假我也不太確定。。）：據說G在做一次數學報告時，台下一位聽眾說太抽象了，讓他舉個具體的例子。G思忖片刻，說：「好吧，那我們先取一個素數，比如說，57」這個段子當然不是為了諷刺大數學家居然不知道57不是素數，主要還是反映G與眾不同的數學思維方式——他似乎習慣了從抽象的角度進行思考，不總是需要藉助具體的例子來輔助理解，以至於他居然能忘掉關於具體數字的常識。這種抽象思維的特點，甚至在數學家群體當中都極不尋常。

與很多對政治淡漠的數學家不同，G的政治觀點單純（或許也可以說是幼稚？）、鮮明而又立場堅定。他是真的會把自己的理念付諸實際的那種人。晚年的Grothendieck，愈發感覺自己與這個世界格格不入，從學術界當中退出，過著隱居的生活；在臨終前幾年，他甚至要求自己的學生焚燒他的數學手稿。為什麼這麼做，我們也不得而知，也許是對這個世界太過失望，不希望自己的身後之物仍然留存在這個世界上吧。他的幾卷名作，EGA, SGA，都已被他本人收回版權，不再出版；中國國內的代數幾何愛好者，很可惜，出於著作權的原因，也不能將這些法語著作正式翻譯出版——不過據我所知還是有人私底下翻譯部分章節的。這是一個偉大而又固執的靈魂，他必將在數學史上留下不尋常的身影。

當初他默然辭世時，我發了一條朋友圈：

「又一尊年少時的神靜寂地轟然倒下了…然而人們終究還是未償其所願，找到了他的蹤跡。在數學史上，絕代的天才如群星璀璨，在漫漫的黑夜裡，默默地點綴著遙遠的長空，悄悄地指引著前行的方向；然而，也許要過上幾百年，人們才會發現他們原來是一盞燈，照亮的正是我們平凡日子裡每天腳下的路……其實，他們從未遠離，是我們不知不覺間與他們一起，穿越了時空！」

一年了，對於這位從集中營里活下來的業餘拳擊手，回頭重讀這段話仍可不易一字。

關於他是不是天才的問題，也確實有記者向他提問過。

當時，門捷列夫義正言辭地回答道：「對於元素周期律的問題，我差不多思考了20年，而你卻認為，坐著不動，五戈比一行、五戈比一行地寫著，突然就能寫成，這是不可能的。」

假如你不能給我詩，能不能給我詩一樣的數學？Ada

格羅滕迪克用代數K理論證明的指標定理是已知最簡單的證明，思想內涵完全類比了stokes定理證明：抽象，組合（分解），基元。

思想的動機是源自1958年世界數學大會論文――他對於Weil之問的思考的結果：如何在離散數學數據結構上建立類比連續數學的結論――這也是希爾伯特的理想（模素理想得到點集拓撲的結論，理想是仿射空間的在點集拓撲意義下的子集，而在點集拓撲基礎上就有了微分積分等高級運算――這就是交換代數意義，建立類比點集拓撲理論）

如何評價他呢？就留給喜歡研究數學史和喜歡八卦的人吧：科學史總要與神話做鬥爭。

格羅滕迪克開始不是孤獨者而是：格羅滕迪克與塞爾是老友，互相交流，有他們通信集很值得一讀。個人一點偏見：塞爾的數學品味更高。

不要去崇拜他！不要去試圖站在他的肩膀上！

作為讀者，閱讀理解，揣摩格羅滕迪克的文章的意圖：需要悟性，技巧，耐心，但是，真正的數學閱讀，是很享受的。

年輕人，請你們找到真正喜歡的、對自己真正重要的東西。找到之後，請為這個重要的東西好好地努力。黑澤明

看了莫蘭迪的日復一日的畫瓶瓶罐罐的介紹：執著如斯，好像似乎大概知道了西西弗斯是怎麼看待手裡那塊石頭的

很難分清AG是指Algebraic Geometry還是Alexander Grothendieck。

代數幾何上真正的神，他的理論養活了當今世界接近半數的數學家

代數幾何的流派很多，有觀點傳統而易於理解和操作的，也有觀點革新而難於理解的。通常入門都要經過一段苦讀，有些人理不清流派脈絡就會看得一頭霧水，最後人云亦云而做不出成績。

有人會想：亞歷山大·格羅滕迪克的觀點革新，就是好的。好是好的，因為這一派專門在觀念代替計算上下苦功。然而沒了那種一脈相承的教育體系，深奧的東西就難以傳承，就像直到今天還有人還從高斯著作里苦苦尋啟發。況且格氏都不認為別人能懂自己，雖說新理論出來幾十年，什麼叫懂也沒個標準。舉例來講，比較一下智商：格氏少年時能獨立發明勒貝格積分。這種思想深度，就不是一般靠勤奮刷實變函數的學生能比。

comme appelés du néant

—教皇語錄，一言蔽之

Ils ont fait des choses, des belles choses parfois, dans un
contexte de?ja? tout fait, auquel ils n』auraient pas songe? a? toucher. Ils sont reste?s prisonniers sans le savoir de
ces cercles invisibles et impe?rieux, qui de?limitent un Univers dans un milieu et a? une e?poque donne?e. Pour les
franchir, il aurait fallu qu』ils retrouvent en eux cette capacite? qui e?tait leur a? leur naissance, tout comme elle
e?tait mienne : la capacite? d』e?tre seul.

天不生仲尼，萬古如長夜。

是我的偶像

格羅騰迪克，敬仰

代數幾何教皇

飛在天上的數學家網上有他的自傳收穫與播種

此人跟那個俄羅斯數學家佩雷爾曼很像，兩個人都是猶太后裔，兩個人都是拒絕領取菲爾茲獎。兩個人都是數學奇才。兩個人最後都是過著隱居的生活。

代數幾何的內容太多了。以後好好學學。