使用托盤天平時，砝碼或物品距離刀口遠近對稱量結果有影響嗎？

01-14

原問題在分割線下面。非常慚愧，做為一名老師，我竟然從未仔細分析過天平的結構（一方面是學校原來沒有天平，另一方面是自認為天平太簡單了）。最近產生這個疑問，其他知友的回答也沒有說明問題。於是自己跑到儀器室，拿出天平研究，終於還是搞明白了----複製了另一個老師的介紹在下面單獨作答。
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這個問題通過實驗驗證即可，但我手頭沒有合格的天平，學校配備的儀器質量實在堪憂！
法碼遠離刀口（支點），力矩變大，測量結果偏低。反之偏高。被稱量物品反之。但砝碼和物品都不可能放在托盤中間。所以天平稱量結果受此影響。但使用了幾百年的天平，如果真有這個bug，是不是太不應該？誰能解釋一下是否如此。

@珂琳尼爾新風， @粑卜狸：不要用中學物理來揣度天平的設計，國家標準「JJG 98-2006 機械天平檢定規程」裡面有明確的規定，檢定時要把砝碼放在天平托盤不同部位檢查讀數的變化，只是這個變化一般小於mg級。

@Sean：我是做科普不是搞科研，圖畫的不嚴謹我承認，實際情況應該是重心在支點下方。你有高論請直接講出來，講得好大家自然會支持。

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先說結果：

第一，這個現象存在，所以精密天平都要求砝碼和物品盡量放在托盤中央。

第二，這個不是bug，設計天平的人比你考慮得更加充分。

第三，即使不放中央，產生的誤差一般也是天平讀數最後一位差一兩格，一般使用使可以不考慮。

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有人覺得這三條還不夠清楚，那我就再精練一點吧，一句話：

天平的力學原理無懈可擊，但是實際製作中無法實現理想的點接觸，放置位置的不同會導致微小的誤差。

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再說原因：

理論上，天平三個刀口都是點接觸，槓桿兩臂的長度是不會變化的。托盤與刀口之間只有一個受力點，不管砝碼或者重物放在哪，重力都作用到同一點，力臂不會變化。所以從原理上講天平絕不會存在什麼bug。

實際上，天平刀口不是理想的點接觸，而是有一定寬度的面接觸，如下圖。（實際上應該是一定形狀的弧形，為了簡單，畫成了平面。）

砝碼偏左時力臂會有微小的增加：

砝碼偏右時會有微小的減小：

實際上的弧形刀口情況會更加複雜一點，但是原理類似。

對於精度高的分析天平，刀口用瑪瑙磨製，非常鋒利，曲率半徑可做到微米級以下，這種情況引起的誤差一般都小於萬分之一甚至更低，所以常規使用時不用特別注意。但是在精密稱量或者天平檢定等規範操作時，還是會要求砝碼和重物盡量放在中央。

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不少人對我的示意圖有意見，不是專業畫圖的，各位湊合看吧。

關於作圖的不嚴謹問題，說明一下：因為實際上不論上皿天平還是下皿天平，實際上都是懸掛結構，而不是托舉結構。重心都是在支點正下方。懸掛結構太複雜懶得畫了。

懸掛結構是這樣的：

秤盤在上的托盤天平也是採用刀口和懸掛結構， @粑卜狸來看看吧

受力平衡是這樣的：

理想狀態下的受力平衡方程是：F1*L1*sinθ-F2*L2*sinθ=F0*L0*cosθ

其中F0*L0*cosθ是橫樑重心產生的力矩，沒有這一項天平就會失穩。

天平偏轉很小時θ趨近於0，方程近似為：F1*L1-F2*L2=F0*L0*θ

考慮實際情況，三個刀口由理想的點放大成實際的面之後就是前面示意圖的情況。要同時考慮三個刀口的寬度，方程我實在不想寫了。

你見過天平嗎？朋友？只要放盤子里，盤子不翻，盤中物體重力只有一個固定作用點.....兄弟.....

—————答@陳克非小將————-

我用最簡單的模型，解釋最基本的概念。

不能因為理想化模型現實中不能達到，就認為凡事達到不了的狀態，全得算本質錯誤。我舉個例子，直尺使用方法正確的前提下，測量出的數據是準確的還是不準確的？準確？那天平呢？不準確，有誤差？那使用數據不啊？好，就是沒有精度更高的測量儀器的情況下，我們雖然知道一切測量都會有誤差，但是我們仍然會把操作正確有誤差的數據叫做準確值，我們仍然會說，直尺上刻度的粗細如果不記，直尺測量長度，這個理論功能絕對不會有問題。那麼回到天平上，理想化模型，不管是我說的那種雙天平看法，還是粑卜哩給出的圖片，在理想化模型里，都是絕對準確的測量方式。你不能因為做不到理想狀態，說這種測量手段有理論上的問題。你可以說有誤差。理論上的問題是根本性錯誤，就是在理想狀態下，都不平衡的，才叫原理上的問題。那....我回答題主的問題，題主是初中老師，我不知道有沒有這樣題，我猜啊，如果做題時，他是告訴孩子如何填空呢？如何解答呢？是因為一個小到可以忽略不計的系統誤差影響而必須用某種方法找到托盤中心才可以使用天平，還是告訴孩子放哪都行呢？我實在是不能接受說使用了N年的天平，有原理上的錯誤...這個....就像是你強調每次做題時，物塊放桌上了，不光有重力，還得算浮力，還得算光壓，還得算物質的波動性，還得算和其他物體的萬有引力，還得算相對於以太速度帶來的相對論效應，這.....我一下就不會物理了。還有陳克非小朋友提到模型建立不行，誤差分析算我心虛（我笑一會）然後我就是不配當老師的問題，我請求他以力學博士（自己說的）的身份指點我一下，咱們從簡單的來，你的意思不是天平原理就是有本質上錯誤嗎？麻煩您會不會通過計算，怎樣的誤差修正能排除掉空氣浮力影響？除了地球以外萬有引力影響？光壓....空間曲率帶來的讀數誤差....物質的波動性對平衡的影響....天平橫臂物質不均勻帶來的誤差....還有N多我這種小老師想不起來的，沒學過的，不會的，沒聽說過的各種能讓天平出本質性錯誤的誤差.....你來呀.你要不會，你要不算，那剛才你罵我的事，我可就要還嘴了。

—————————@陳克非————

你看看，我沒細看粑卜哩的計算，我估計他是這個意思，你看哪有問題？

@粑卜狸你是不是這個意思？我沒細看你的。

本身精密測量就應該給出不確定度。

這不是個bug。

換句話說，測量不確定度是測量結果的一部分。

只用過電子天平，實測放的位置是有一丟丟影響的。

在天平的精度範圍內，是沒有影響的。你看到這種情況，說明～～～有人放過超量程的東西，刀口已經壞了。

很多答案的分析我覺得不妥。

我上中學時接觸的托盤天平大概是長這樣的：

注意到底座（1）上面左右兩端各伸出一根豎桿，和天平的梁（槓桿）相連（鉸接）。

（如果看不清楚可以參考這個視頻：托盤天平的調節。）

我覺得這個設計是不尋常的。如果讓我來設計，我不會想到用豎桿來「支撐」天平，因為天平不需要梁以下的這些結構也可以發揮平衡的作用。那這個設計的目的是什麼呢？

事實上，在天平的底座內部還有一個類似槓桿的結構（同樣在中點固定），形成如下圖所示的平行四邊形：

這個設計有個值得注意的細節：托盤架和豎桿是固連的。

這樣做有兩個好處：

一、由於平行四邊形的運動方式，豎桿的朝向永遠是垂直於水平面的。而托盤和豎桿固連則保證了托盤時刻處於水平的姿態。

二、由於第一條，通過能量守恆/虛功原理可以得到天平的（隨遇）平衡條件為兩個托盤上物品的質量相等，天平平衡和物品是否擺在托盤中心無關。

所以從設計的角度來看（不考慮製造誤差），沒有影響。

在以上設計里，使得「托盤架時刻處於水平的姿態」是核心。如果托盤架和上樑（而不是豎桿）固連，那麼通過能量守恆/虛功原理或者力矩分析就會得到「天平平衡受物品擺放位置影響」的結論。

更新：能量守恆的論點已經很清晰簡潔了，如果還是想看受力分析的話——

這裡用到了鉸鏈的特性：不提供力矩。

其中物-盤-桿系統的x方向受力平衡以及力矩平衡的方程我沒有列出，因為和問題本身沒有關係。有興趣的可以列出來檢查方程是滿秩的，可以得到唯一解。

更新：朕為了幫你們把問題捋清楚真是操碎了心。最簡單的能量守恆分析你們不去弄，偏要秀受力分析操作，錯了吧還不承認。搬出很久沒有玩的Besiege來給你們演示一下：

一、樸素模型（對稱放置）

二、樸素模型（非對稱放置）

樸素模型其實是 @黑暗中的聆聽、 @陳克非討論的內容（ @xx小小xx 的刀口模型連托盤側翻的問題都沒有解決，以至於我無從吐槽）。這個樸素模型下，物品非對稱放置對稱量結果是有影響的。 @陳克非在這一點上的結論是正確的。但實際上的托盤天平不是你們討論的模型。

三、平行四邊形模型（對稱放置）

四、平行四邊形模型（非對稱放置）

可見這種設計可以解決非對稱放置的問題。（想看實踐的就看這個，想看理論的就回到上面仔細推敲。）

自己研究了一下：

天平是等臂槓桿,但不是一個簡單的等臂槓桿;天平的內部結構是一種矩形結構,叫做「羅伯爾矩形結構」-----這是引用另一位老師的解釋。

ABCDO O"都是軸，所以在天平不平衡的時候，矩形ABCD變為平行四邊形（否則天平平衡桿就不能轉動了）

因為AB兩點是可以轉動的，當砝碼不在托盤中心點的時候，產生的力矩不會作用於槓桿AB，而作用於槓桿QD（這裡以右盤為例）。由於QD和O"D相連，力矩會傳導至O"，因為O"雖然可以轉動，但不能左右移動，所以會產生反作用力抵消砝碼不在中心點的時候產生的力矩。

不過，我的能力只能做個大概業餘的說明，還需要更專業知友來指正

所以，天平托盤中的物品或者砝碼是否在中心點，不影響測量結果。

不過，這不適用於我們學校的天平.........因為我們的天平質量太好了...........還有，我偶然發現，我們的雨量器漏斗開口竟然比雨量筒直徑大很多.......無語，我開始懷疑我的知識儲備

天平設計的時候考慮過這個問題了吧？這個誤差應該時可以被接受的吧？要不要能引起誤差的原因太多了！學生做個小實驗而已，都考慮到要不要活了？

比如風速！摩擦力！砝碼是否氧化有污物！支點是否足夠精確！附近有沒有磁鐵和天平的兩端位置都一樣等等！

沒有

人類哪有那麼傻

沒有影響，盤子上面有個鐵條連接著臂

沒有影響，反過來你可能好理解。你想想以前的桿稱結構

沒，托盤會把承重集中到同一個地方，這個設計的時候就考慮好了