怎樣理解閉合面的面積分等於散度的體積分這個定理的物理意義？

01-14

我明白這個公式是怎麼推導的。但是不清楚它背後的物理意義啊

考慮一個流速場。散度反映了場的有源性。某一點的散度大於零，表示向量場在這一點或這一區域有新的通量產生，即有流體從這一點流出，稱之為源點；小於零則表示向量場在這一點有通量消失，即有流體從這一點流出，稱之為匯點。

向量場在閉合面的面積分就是通過這個閉合面的流量，散度的體積分就是閉合面內流體源點和匯點流量的和。Gauss定理就是說：所有源點的和（流入）減去所有匯點的和（流出），就是流出一個區域的流量。這也和我們的直觀認識相符。

不明白物理意義的原因在於你沒有把思路理順，我幫你理理思路。

1.先理解散度的定義。

2.然後理解通量定理（即高斯定理）的物理意義。

3.補充。

散度指的是「通量的體密度」，它是對於一個點而言的。

基於這個定義我們就有了計算散度的方法。假設你想計算空間中的一個點P的散度，那麼你就以P作為球心作一個球，再計算通過球面的通量，最後將算得的通量除以球的體積，便得到了球面以內空間的平均通量體密度。如果我們讓球的半徑趨於零的話，則得到球心處的通量體密度，也就是P點的散度。用公式說就是：

$divold{F}=lim_{V ightarrow 0}{frac{int_{S}^{} old{F}dold{s}}{V} }$

但是要注意，計算散度並不一定要求所選則的面是球面，還可以選橢圓面，立方體的面等等，只要它們在拓撲結構上與球面一致即可（就是說，如果所選的面是橡皮膜做的，你往裡面吹氣，最後可以膨脹成一個球）。

看到這裡你會問一個問題，選擇不同的面所計算出的散度是相同的嗎？答案是YES。原因見第三部分。

好了，現在你知道散度的定義了，那麼我們就可以用它來算通量了。假設你想計算一個閉合曲面的通量，那麼可以先把這個閉合曲面所包含的空間切割成一個個小的微元。對於一個微元，通過它的通量等於微元內任意一點的散度乘以這個微元的體積，這其實就是散度定義的另一種表達而已。即：

$int_{Delta S}^{} old{F}dold{s}=divold{F}dV$

然後我們將算得的通量加起來。注意到一個個小的微元是相互挨著的，當兩個小微元有挨著的面的時候，我們對這個面的兩個方向分別作了一次矢量面積分，積分值大小相等，符號相反，加起來以後抵消了。最後就相當於對於閉合曲面作了一次矢量面積分。這個矢量面積分等於各個微元的散度體積乘積之和。即：

$int_{S}^{} old{F}dold{s}=int_{V}^{} divold{F}dV$

這就是通量定理。

上面的解釋是用來幫助理解的，或者說幫你建立數學直覺。從數學上來說不是很嚴謹，嚴謹的方法可以這樣：

首先用純數學的方法證明通量定理，也就是第三個公式。再用第三個公式、積分中值定理以及散度的定義得到矢量場散度的表達式（這解決了第一部分提出的問題，即積分曲面的具體形狀是不重要的）。然後再由散度定義推導出通量定理。

希望對你有幫助。

把閉合面對應的立體形狀分割成無數小方塊, 那從一個小方塊流出的東西有兩種可能, 流出表面或者流進其他小方塊, 流出跟流進不同小方塊的正負相反可相消, 所以所有小方塊的流出量加總(對應散度的體積分)相消只剩立體表面的流出加總(面積分)

引進外微分讓微小元之間的乘法有方向性的話, 類似的思維可以推廣到任意維度

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E5%BE%AE%E5%88%86#.E5.BE.AE.E7.A7.AF.E5.88.86.E4.B8.AD.E7.9A.84.E5.A4.96.E5.BE.AE.E5.88.86

化工中流動的連續性方程就是這個定理的運用。