新的計算方式出現，例如矩陣，對數，微分，積分等，提出這些計算方式的人是怎麼思考的?

01-14

最開始，我只有1個籃子，裡面裝滿了蘋果

我很想知道我有多少個蘋果

我就數啊數，原來1個籃子，可以裝10個蘋果

後來

我有了更多的蘋果，也有了更多的籃子

我還是很想知道我有多少個蘋果

但是一個籃子一個籃子數太慢了

我就想，有沒有更快、更方便的做法呢

這時，我發現

如果每個籃子有10個蘋果

1個籃子是10個，2個籃子是20個，3個籃子是30個

那麼我就定義這個運算規律叫做

乘法吧

其實我本來以為按著咱們學數學先後次序積累-突破下來的，先有加法再有乘法。但事實是微積分先於極限建立，對數比指數先出現...

基本上有三種情況：1. 已經在使用的常規演算法因為非常常用/好用而被賦予一個特定的名稱，符號或寫法；2. 為了嚴謹性需要引入新的定義；3. 腦洞大開。

第一種，說白了就是因為懶。就比如說，如果我每天都要做100道數學題，其中一大半都是很多個一樣的數相加（假設我沒聽說過乘法），為了少費點紙，就算我是小學生我也會想到要把10+10

+10+10+10寫成10#5或者5￥10之類的形式來讓事情變簡單些。於是，我發明了乘法，雖然用的表示方法(notation)可能不太一樣。

一個很典型的實際的例子是矩陣。矩陣的前身是用參數的序列(array)來解線性方程組，而行列式的概念（雖然當時還沒有這個名字）也在不久之後被提出了。這些都是基於實用的，非常基礎的方法，只涉及到對一堆數的加減乘除。之後為了對於行列式的研究，才有了矩陣的概念；但這個概念的提出是相對自然的，因而也非常好接受。當然，一開始肯定也有人覺得這個新的表示方法沒什麼用……但是大家很快發現，寫成矩陣之後好玩的性質變多了，然後這方面的研究就有了非常多的進展，不過這都是後話。（這部分的資料主要來源於維基百科矩陣條目，英文版本寫的可能略好一點。）

我猜，乘法啊對數啊積分啊之類的，應該也是這麼來的。不過積分稍微有點不一樣，因為提出積分的概念（無限小量求和）就已經是非常了不起的了。

第二種，微分是一個很好的例子。牛頓和萊布尼茨的年代，大家已經在用微積分算數了。但是如果我問牛頓那個用來求和的無限小量到底是個啥，牛頓估計也就是呵呵一下表示不要在意這些細節，我要是再問就該被打了。這種情況其實在上過學的同學們的人生中都有印象，叫做「我算了一個數我都TM不知道我在算什麼但是我TM就是算對了看老子牛逼不牛逼」。當然，算出數來已經很厲害了；不過還有些厲害的人會想，我到底該怎麼定義一下這個蛋疼的無限小量好讓這個運算變得有理有據使人信服呢？然後，經過一定的思考，微分的定義就有了。（具體定義請自己買本數學分析……）

第三種和前兩種的差別其實很模糊，畢竟前兩種方式也是需要相當的創造力才能想到的。很大程度上，所謂「腦洞大開」的計算方式，就是一個人在很短時間內完成了創立新演算法+為新演算法建立一套嚴謹的定義和表示方法。腦洞大開的另一個特點，就是完全看不懂到底是為什麼寫出了如此奇葩的形式，因此一開始大眾可能有些難以接受。（不過一旦接受了這個設定……）

這種方式的例子首推費曼圖。（不知道這貨算不算「計算方式」，因為應用相比於矩陣啊對數啊還是要窄得多得多的。）能把散射概率的計算放到幾張圖裡，極大地簡化了計算（差不多是從「蛋疼的壓根不想算」簡化到了「有點蛋疼但可以一戰」的程度），費曼的腦洞真心是深不見底。

早期的物理學家發現問題之後，無法可解，然後自創數學解決。牛頓想求一個連續累加，沒辦法，然後自創了積分。

…………一直沒有看到讓人滿意以及一直沒有看到跟我思想一致的答案。我就姑且來補充一下想法的豐富性。簡單說一下我對數學規律發現的看法。 …………這些新的計算方式的出現本質上是新數學思想的出現，是解決某類數學問題方法的形式表現。 …………正式說明這個問題前，我先做幾個思想上的鋪墊： …………（1）我們通過建立模型的方式來認識世界，建模的基本思維方式是形象思維和抽象思維～～～（在抽象思維出現以前，人們主要通過大腦根據我們感官對現實的感覺信息建立模型，我們稱之為形象思維，也是一種本能思維。抽象思維出現之後，人們根據事物的共性，抽象簡化出能代表一類事物的概念，根據這些概念的共性又能抽象出更深層次的概念，一層層抽象，形成一個像大樹一樣的概念網路。） ……………（2）數學是抽象思維的高級形式，它在力圖建立一個像大樹一樣的知識框架來描述認識世界～～～（因為抽象思維要想更好的描述述現實就必須量化和序化。有了這個網路後我們就可以通過深層次簡單的規律一層層向上疊加淺層次的規律來的到現實的完整描述。 …………（3）大數學家大都是哲學家，他們的哲學思考及對數學敏感的天賦指導他們的數學發現。～～～（笛卡爾，萊布尼茨，歐拉等……都是哲學家。哲學其實是一切學科的根基，直接或間接。） …………（4）「我認為」。數學家有一些基本的哲學看法：1萬物皆數。2越簡單的東西越基本，越特殊的東西越重要。3萬物相反相生，相對相依。4複雜由簡單組合而成。％％％％％％％％％％％％％％………………好，下面開始回答題主的問題： 1對數的發現——首先有的指數，我們都知道對數是指數的反函數，從本質上說它們是一樣的。只不交換一下x.y坐標。通過尋求與「已知」（指數）相對的概念來發現「未知」（對數）。這是一方面，另一方面，印象中對數被發明是為了解決天文學家計算超大數字時特別繁瑣的問題，它能把乘除運算轉化為加減運算。如果把加減稱為一級運算，乘除稱為二級運算的話，它聯繫了一二級運算，其實乘除的本質就是加減，只是為了形式與運算的簡潔而已。數學家也許是本著這種複雜與簡單的聯繫發現對數的。 2矩陣的出現——我想出現這個數學概念的因素是多方面的，但大體上因該是這樣的：我們認識世界的分析方法把現實的系統拆分成零零碎碎的部分，但當我們試圖組合它們時，遇到了麻煩。有一部分現象的組合是線性組合，其實就是同類的積累與不同類簡單疊加。這是一種通過「部分」還原其相對量「整體」的方法。數學家觀察各種組合問題發現好多都是線性組合，總結了其運算規律。 3最後來說一下微積分。微積分的妙處在於看破了「曲」與「直」，「動」與「靜」，「變」與「不變」，「有限」與「無窮」這些相對量的聯繫，從極限的角度看，這些東西都是一回事兒。那麼好，既然這樣，我們便可以把相對複雜的「曲，動，變化，無窮」通過以極限為基礎的微分積分化為「直，靜，不變，有限」的問題。把我們不懂的問題轉化為我們已經明白的問題。從什麼視角來轉化呢？這個新的視角便是我們發現的新知識。數學家也許就是這麼想的。此外，我還認為笛卡爾的坐標系是一個偉大的發現，因為它聯繫了幾何與代數，聯繫了數與形。從此，才有了微積分及之後的數學分析…………凡此種種，就不一一舉例啦。………………………………數學的進步還是為了解決現實，工程中的問題，從某些特殊的問題出發向下抽象，可以得到一般的規律。即現實問題的啟發………………………………………………以上想法是本人的一絲愚見，即興而寫，有些例子全憑印象，也許有錯誤之處，但總體思想是這樣的。

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從古羅馬古印度古巴比倫,中國等等都是從解決實際問題開始,土地的丈量,土地的分割.貨物貿易,曆法,天文觀測產生的.到後來轉變成對真理的探求.

一個思想的出現到成熟是幾代人甚至幾十代人的接力

這個問題等於是在問一群動物愛因思坦是怎麼思考的。程序員之間的差距都有可能大於人和狗的差距，更別提那些數(Shen)學(Jing)家(Bing)和普通人了。作為一個學物理的，常常被數學界人士碾壓吐血，許多東西學都學不會，你來問數學家們搞出這些東西時是怎樣想的，你什麼意思？更別提還有伽羅瓦這種牛逼到浪費生命的人物，這種人搞出的東西你問我他是怎麼想的？

摺疊我吧，可恥地匿了。