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一個線性代數問題求解？

01-13

$P_{i}$ (i = 1, 2) are idempotent symmetric projection matrices onto some vector spaces $V_{i}$ respectively, i.e. $forall x_{i} in V_{i}$ , $P_{i}x_{i}=x_{i}$ and $forall y_{i} in V_{i}^{ot }$ , $P_{i}y_{i}=0$ .
Show: $P=P_{1} +P_{2}$ is a projection matrix onto some vector space $Leftrightarrow$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$

其實是要證明 $V_1$ 和 $V_2$ 正交，思路是如果不正交，對某個向量反覆投影的結果會變化

任取 $x in V_1$ ，則 $Px = P_1x + P_2x = x + P_2x$

而

$P(Px) = x + P_2x + P_2x = x + 2P_2x$

因此 $P_2x = 0$

因此對於任意向量 $v$ ，有 $P_2(P_1v) = 0$ ，因此 $P_2P_1 = 0$

同理 $P_1P_2 = 0$

反過來證明也是充分條件，

$P^2 = (P_1 + P_2)(P_1 + P_2) = P_1^2 + P_2^2 + P_1P_2 + P_2P_1 = P_1 + P_2 = P$

因此P是投影矩陣。它的像空間是投影到的空間而核空間是像空間的正交補。從 $P_1, P_2$ 的關係來說，它的像空間是 $V_1, V_2$ 的直和，核空間是兩個空間正交補的交。

假設 $P_{1} ,P_{2}$ 是冪等的，不用正交

如果 $P=left( P_{1} +P_{2} ight)$ 是冪等的，

可以得出 $P_{1} P_{2} +P_{2} P_{1} =0$
那 $P_{1} left( P_{1} P_{2} +P_{2} P_{1} ight) =0$ ； $left( P_{1} P_{2} +P_{2} P_{1} ight) P_{1} =0$
乘進去用冪等化簡一下，然後兩個式子相減就得到 $P_{1} P_{2} -P_{2} P_{1} =0$

再結合1裡面的式子就得出了 $P_{1} P_{2} =P_{2} P_{1} =0$

反過來推簡單~~

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