如何通俗易懂地解釋歐拉公式（e^πi+1=0）？

01-13

數學上最重要和最基本的幾個數字是怎麼湊成一桌的，這是怎麼發生的？

歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了複數域，建立和三角函數和指數函數的關係，被譽為「數學中的天橋」。形式簡單，結果驚人，歐拉本人都把這個公式刻在皇家科學院的大門上，看來必須好好推敲一番。

1 複數

在進入歐拉公式之前，我們先看一些重要的複數概念。

1.1 $i$ 的由來

$i=sqrt{-1}$ ，這個就是 $i$ 的定義。虛數的出現，把實數數系進一步擴張，擴張到了複平面。實數軸已經被自然數、整數、有理數、無理數塞滿了，虛數只好向二維要空間了。

可是，這是最不能讓人接受的一次數系擴張，聽它的名字就感覺它是「虛」的：

從自然數擴張到整數：增加的負數可以對應「欠債、減少」
從整數擴張到有理數：增加的分數可以對應「分割、部分」
從有理數擴張到實數：增加的無理數可以對應「單位正方形的對角線的長度（ $sqrt{2}$ ）」
從實數擴張到複數：增加的虛數對應什麼？

虛數似乎只是讓開方運算在整個複數域封閉了（即複數開方運算之後得到的仍然是複數）。

看起來我們沒有必要去理會 $sqrt{-1}$ 到底等於多少，我們規定 $sqrt{-1}$ 沒有意義就可以了嘛，就好像 $frac{1}{0}$ 一樣。

我們來看一下，一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a eq 0)$ 的萬能公式：其根可以表示為： $x=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ，其判別式 $Delta =b^2-4ac$ 。

$Delta >0$ ：有兩個不等的實數根
$Delta =0$ ：有兩個相等的實數根
$Delta <0$ ：有兩個不同的複數根，其實規定為無意義就好了，幹嘛理會這種情況？

我們再看一下，一元三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0(a eq 0)$ ，一元三次方程的解太複雜了，這裡寫不下，大家可以參考維基百科，但願大家能夠打開。

我們討論一下 $b=0$ ，此時，一元三次方程可以化為 $x^3+px+q=0$ ，其根可以表示為：

$egin{cases} x_1=sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}+sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}\ x_2=omega sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}+omega ^2sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}\ x_3=omega ^2sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}}+omega sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3}} end{cases}$

其中 $omega =frac{-1+sqrt{3}i}{2}$ 。

判別式為 $Delta =(frac{q}{2})^2+(frac{p}{3})^3$ ，注意觀察解的形式， $Delta$ 是被包含在根式裡面的。

$Delta >0$ ：有一個實數根和兩個複數根
$Delta =0$ ：有三個實數根，當 $p=q=0$ ，根為0，當 $p,q eq 0$ ，三個根裡面有兩個相等
$Delta <0$ ：有三個不等的實根！懵了，要通過複數才能求得實根？

要想求解三次方程的根，就繞不開複數了嗎？後來雖然發現可以在判別式為負的時候通過三角函數計算得到實根（謝謝匿名網友勘誤），但是在當時並不知道，並且開始思考複數到底是什麼？

我們認為虛數可有可無，虛數卻實力刷了存在感。虛數確實沒有現實的對應物，只在形式上被定義，但又必不可少。數學界慢慢接受了複數的存在，並且成為重要的分支。

詳細的虛數由來可以看這篇科普文章：虛數 i 是真實存在的嗎？ - 馬同學的回答

1.2 複平面上的單位圓

在複平面上畫一個單位圓，單位圓上的點可以用三角函數來表示：

我們來動手玩玩單位圓：

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1.3 複平面上乘法的幾何意義

同樣來感受一下：

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2 歐拉公式

對於 $heta in mathbb {R}$ ，有 $e^{i heta }=cos heta +isin heta$ 。
----維基百科

歐拉公式在形式上很簡單，是怎麼發現的呢？

2.1 歐拉公式與泰勒公式

關於泰勒公式可以參看這篇詳盡的科普文章：

如何通俗地解釋泰勒公式？。

歐拉最早是通過泰勒公式觀察出歐拉公式的：

$e^ x=1+x+frac{1}{2!}x^2+frac{1}{3!}x^3+cdots$ $sin(x)=x-frac{1}{3!}x^3+frac{1}{5!}x^5+cdots$ $cos(x)=1-frac{1}{2!}x^2+frac{1}{4!}x^4+cdots$

將 $x=i heta$ 代入 $e$ 可得：

$egin{align} e^{i heta } = 1 + i heta + frac{(i heta )^2}{2!} + frac{(i heta )^3}{3!} + frac{(i heta )^4}{4!} + frac{(i heta )^5}{5!} + frac{(i heta )^6}{6!} + frac{(i heta )^7}{7!} + frac{(i heta )^8}{8!} + cdots \ = 1 + i heta - frac{ heta ^2}{2!} - frac{i heta ^3}{3!} + frac{ heta ^4}{4!} + frac{i heta ^5}{5!} - frac{ heta ^6}{6!} - frac{i heta ^7}{7!} + frac{ heta ^8}{8!} + cdots \ = left( 1 - frac{ heta ^2}{2!} + frac{ heta ^4}{4!} - frac{ heta ^6}{6!} + frac{ heta ^8}{8!} - cdots ight) + ileft( heta -frac{ heta ^3}{3!} + frac{ heta ^5}{5!} - frac{ heta ^7}{7!} + cdots ight) \ = cos heta + isin heta end{align}$

那歐拉公式怎麼可以有一個直觀的理解呢？

2.2 對同一個點不同的描述方式

我們可以把 $e^{i heta }$ 看作通過單位圓的圓周運動來描述單位圓上的點， $cos heta +isin heta$ 通過複平面的坐標來描述單位圓上的點，是同一個點不同的描述方式，所以有 $e^{i heta }=cos heta +isin heta$ 。

2.3 為什麼 $e^{i heta }$ 是圓周運動？

定義 $e$ 為： $displaystyle e=lim _{n o infty }(1+frac{1}{n})^ n$
----維基百科

這是實數域上的定義，可以推廣到複數域 $displaystyle e^ i=lim _{n o infty }(1+frac{i}{n})^ n$ 。根據之前對複數乘法的描述，乘上 $(1+frac{i}{n})$ 是進行伸縮和旋轉運動， $n$ 取值不同，伸縮和旋轉的幅度不同。

我們來看看 $e^ i=e^{i imes 1}$ 如何在圓周上完成1弧度的圓周運動的：

從圖上可以推出 $n o infty$ 時， $e^ i$ 在單位圓上轉動了1弧度。

再來看看 $e^{ipi }$ ，這個應該是在單位圓上轉動 $pi$ 弧度：

看來 $e^{i heta }$ 確實是單位圓周上的圓周運動。

動手來看看 $e^{i heta }$ 是如何運動的吧：

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2.4 $2^ i$ 的幾何含義是什麼？

$2^ i$ 看不出來有什麼幾何含義，不過我們稍微做個變換 $e^{iln2}$ ，幾何含義還是挺明顯的，沿圓周運動 $ln2$ 弧度。

2.5 歐拉公式與三角函數

根據歐拉公式 $e^{i heta } = cos heta +isin heta$ ，可以輕易推出：

$sin heta ={frac{e^{{i heta }}-e^{{-i heta }}}{2i}}$ 和 $cos heta ={frac{e^{{i heta }}+e^{{-i heta }}}{2}}$ 。三角函數定義域被擴大到了複數域。

我們把複數當作向量來看待，複數的實部是 $x$ 方向，虛部是 $y$ 方向，很容易觀察出其幾何意義。

2.6 歐拉恆等式

當 $heta =pi$ 的時候，代入歐拉公式：

$e^{ipi }=cospi +isinpi =-1implies e^{ipi }+1=0$ 。

$e^{ipi }+1=0$ 就是歐拉恆等式，被譽為上帝公式， $e$ 、 $pi$ 、 $i$ 、乘法單位元1、加法單位元0，這五個重要的數學元素全部被包含在內，在數學愛好者眼裡，彷彿一行詩道盡了數學的美好。

$A(cos phi + i sinphi)(cos heta + i sin heta) = A((cosphi cos heta - sin heta sinphi) + i(sin heta cosphi + cos heta sinphi))$

$= A(cos( heta + phi) + i sin( heta + phi))$

當 $heta$ 很小時，

$e^{i heta} = lim_{z->0}(1 + z)^{frac{i heta}{z}} = lim_{n->+infty}(1 + frac{i heta}{n})^n$

$=lim_{n->+infty}left(sqrt{1 + (frac{ heta}{n})^2}(cosphi + isin phi)<br /> ight)^n$

$=lim_{n->+infty}left(1 + (frac{ heta}{n})^2<br /> ight)^frac{n}{2}(cos nphi + isin nphi)$

$=lim_{n->+infty}left(1 + (frac{ heta}{n})^2<br /> ight)^{frac{n^2}{ heta^2}frac{ heta^2}{2n}}(cos nphi + isin nphi)$

$=lim_{n->+infty}e^frac{ heta^2}{2n}(cos nphi + isin nphi)$

$=lim_{n->+infty}cos nphi + isin nphi$

其中 $phi = arcsin frac{frac{ heta}{n}}{sqrt{1 + (frac{ heta}{n})^2}}$

而

$lim_{n-> +infty} n phi = lim_{n-> +infty} narcsin frac{frac{ heta}{n}}{sqrt{1 + (frac{ heta}{n})^2}} = lim_{n-> +infty} nfrac{frac{ heta}{n}}{sqrt{1 + (frac{ heta}{n})^2}} = heta$

所以

$e^{i heta} = cos heta + i sin heta$

直接從另一個答案轉了。

數學裡的 e 為什麼叫做自然底數？是不是自然界里什麼東西恰好是 e？ - SaBoLi MONTAGE 的回答

作者：SaBoLi MONTAGE

鏈接：數學裡的 e 為什麼叫做自然底數？是不是自然界里什麼東西恰好是 e？ - SaBoLi MONTAGE 的回答

來源：知乎

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e的故事上

第一章神秘的自然

可以說，數學整個學科都是人為創造出來，被用來了解自然和了解人類本身的。

由於人類有可數的十根手指，於是我們用了十進位。不過如果有一個外星人有四根手指呢？他們是不是就使用四進位呢？

如果外星人是有無法數清的觸手的觸手怪呢？

所以數學的很多分支都是為了了解人類本身被研究的，它不自然。

自然的事物中，其中的一種是世界上正在發生的一切。

為了研究世界上正在發生的一切，人類在數學之外又創造了物理、化學、生物等等學科，它們被稱作「自然科學」。顯然在這些課本中，數字到底是十進位還是四進位並無大礙，人類正在脫離了解人類本身這一範疇，開始了解自然。

儘管人類對自然的了解不是一帆風順的，但人類自誕生起就開始思索自然的終極奧義。

一直研究到現在。

人類對世界的最深層次的疑惑，在誕生之日就一直是是：

在下一個時刻會發生什麼？

自然，有沒有什麼規律可循？
3」

這一疑惑貫穿了人類的全部歷史，引發了各種哲學的思索，在此不深入研究。

然而和這個問題相伴相生的情況下，人類發現：

儘管自己能夠對一些東西做出改變，但是對另一些東西卻無能為力。

如果你推一個東西，這個東西就會動。如果愚公願意，他可以和他的子子孫孫無數代一起把太行山和王屋山搬走。

但是愚公會死，他的子子孫孫都會死。

時間，事物的變化，或許真的如同某些神諭一樣，是上天安排的。

在人類對這兩種變化感到深深地迷茫的時候，人類的數學卻在糾結著十進位和四進位的事情，把畢達哥拉斯以後的近兩千年的時間讓位給了宗教。

然而人類不可能徹底把對自然的理解交給神。數學將以一種最新的形態回到我們對自然的理解中。

跟著新的數學而來的，還有物理，化學，生物等等自然科學。

是的，不管你如何討厭它，沒有它，或許現在的世界依然沒有走出教會的中世紀，我們對世界的了解，依然是所謂的神諭。

了解世界的過程中，我們傾向於研究可測量的量。

然而在神學統治世界的兩千年中，變化的特別要素，時間，只能以日晷上的小時來測量。

或許是哪位在封建主的領地里放羊的小孩，在路過潺潺的山泉的時候的發現吧。

那些一滴一滴，時間間隔相同的緩緩滴落的水滴，敲響了萬能神的喪鐘。

人類通過這些等時滴落的水滴，意識到：

身邊一直正在發生的所謂變化，是可以測量的。

鉛球從比薩斜塔的五樓落下，用了六滴水的時間。

而從二樓落下，也要用三滴水的時間。

這是人類對那一種「自己能夠掌握」的變化的初步研究。

也正是在這一次研究中，人類知道了：

我們身邊的一切事物的特徵，除以無時無刻不在流逝的時間，不就是他們的變化嗎。

在自然數、幾何之後，數學跑偏兩千年之久。

而在這個我們開始把時間稱作「滴答滴答地流逝」的文藝復興的時代，自然數學盛裝歸來。

和很多人的認識不同，這門新的數學是比代數自然得多的學科。

因為它研究的，就是兩千年來被神掌握的「變化的規律」。

這一自然規律，由於時間的測量技術變得可測量。

也正是這門科學，打破了人類對自然認識的最後一道，也是最難被逾越的一道障礙。

相信不用我說，大家都知道，所謂自然數學有一個更響亮的名字，叫做微積分。

人們知道，時間是無時無刻不在流逝的，相應的變化也無時無刻不在發生。

對於變化的研究，先從最容易測量的物體的位置開始。

因為我們已經通過對變化的理解，定義了速度和加速度。

就在水滴旁的男孩將鉛球一次又一次從比薩斜塔上扔下去的時候，他驚訝地找到了一個不變數：

地球給鐵球的加速度。

後來，人們發現了所有的位置變化速度的變化，都是人類可以通過自己的力量施加給自然的東西。

此時，人類對自己能夠改變的未來，已經有了初步的理解。

不過人類並不甘心，因為為什麼還有不可掌握的未來存在？

第二章物理學家和生物學家

一杯熱水什麼時候冷掉？

大火什麼時候熄滅？

植物什麼時候長成？

動物什麼時候繁衍？

很多問題，人類最多只能改變進程，不能改變結果。

後來，人們發現：

熱水自然會冷掉。

大火自然會熄滅。

植物自然會長成。

動物自然會繁衍。

這裡的「自然」，

就是自然本身賦予事物的有關變化屬性。

力，稱為人類改變外界的媒介的東西，是事物隨著外界環境變化的一種屬性。

我們可以表示為：

A物體速度的變化=外界的力

而外界的力和A物體速度無關。

然而熱水的冷卻不一樣。

經過測量，我們發現：

熱水冷卻的速度只和熱水與環境的溫度差正比例相關。

於是我們得到了：

熱水溫度的變化=確定數量×（熱水溫度-環境溫度）

這是自然本身賦予熱水的變化屬性。

與外界無關。

於是通過上面熱水的例子，我們把自然本身賦予事物的有關變化屬性抽象一下，總能得到一個等式。

那就是：

A的變化=A本身的某種性質

當然，最簡單的情況當然是：

A的變化=A的數量×確定數量。

為了研究這個簡單的問題，人類又把目光放在了自然界。

這時自然研究者已經分成了兩隊，一隊前往大自然尋求這個問題答案，只因為他們知道：

自然界很多生物的性質，決定了他們的生活、習性，當然包括了變化。

一堆前往實驗室尋求這個問題的答案，只因為他們已經在實驗室中找到了幾個符合這個問題描述的變化。

我們叫第一種人生物學家，第二種人物理學家。

不過，他們的目標是一樣的。

那是因為，他們都知道：

熱水自然會冷掉。

大火自然會熄滅。

植物自然會長成。

動物自然會繁衍。

懷著對自然的敬畏，他們上路了。

我們先講生物學家的故事，因為他們很久以前就發現了一些規律。

一對兔子一年生一窩，一年10對兔子存活，t年後一共有多少兔子？

這是一個連小學五年級的學生都會得算數，答案是10的t次方。生物學家在看到

A的變化=A的數量×確定數量

的時候，一下就想到了這個題目。

可以看到，t這個數字，在計算的結果中跑到了10的指數的位置上。

一聲嘆息。生物學家知道，這個老掉牙的題目在幾千年前，人類就已經知道答案了。

如果人類在當時就有所思考，也就沒有所謂的黑暗的中世紀了吧。

但是生物學家知道這並不是問題的答案。

因為，兔子的數量是每年變化一次的，而自然，則要求時間無時無刻不在流逝。

思忖良久，生物學家將「指數」兩個字記在本子上，開始尋找更多的證據。

15.

此時物理學家正在對著自己誤差巨大的數據發愁。

儘管已經能精確地測出距離和時間，但對於溫度的測量還是一籌莫展。

雖然知道最終的正確數值是一條弧線，但他還要用已知的變化關係去和這一關係對照。

如果能夠得到熱水冷卻的這一條弧線，一切的問題都能迎刃而解吧。

此時，物理學家腦中蹦出一種想法。

推動冷卻的會不會是一種力呢？

可不可以用變化率、變化率的變化率等等來表示呢？

即使它不是一種變化率的疊加，那可不可以用這種變化率來近似呢？

16.

生物學家找到了更多比兔子繁衍更快的物種。

蘑菇、酵母、細菌……

到了最後，甚至找到了幾秒就能複製一次的病毒。

他的筆記中，底數在不斷地改變，但是t在指數的位置卻沒有改變。

有一天，在睡夢中，他突然夢見了什麼。

他猛然驚醒，打開床頭櫃，開始計算了起來。

A病毒的性質如果是1分鐘分裂成2倍，那它5秒鐘分裂成多少倍？

1秒鐘呢？

那麼它到底具有怎樣的分裂性質呢？

算到最後，他列出了一個算式。

如果它有1分鐘分裂成2倍的性質，

那麼當它分裂成1.10倍的時候，過1分鐘應該分裂成2.20倍。

分裂成1.20倍的時候，過1分鐘又應該分裂成2.40倍。

所以最後的結果，和2倍肯定會有很大的偏差。

經過計算之後，生物學家困意已消，他抹去了頭上的汗水。

天空泛起了魚肚白，而這個世界已然沒有睡意。

他的草稿本的最後一行是：

自然的底數：limx→+∞ (1+1/x)^x

物理學家研製了越來越精確的儀器和設備。

他知道，所謂推動上一層的「力」，也就是變化率是常數罷了，而表現在公式中，則是要多乘上一個時間和時間的係數。

最終的結果，自然是一堆有關時間t的冪的集合。

有一次物理學家突發奇想，於是控制變數之後，物理學家把確定數量值變為了1，把環境變為了0度。也就是說現在熱水溫度的變化率變成了它自己。他堅信這樣可以更方便地測出真正的規律。

此時物理學家突然意識到了什麼。

我們都知道，如果位置變化是t的2次方，那麼它的變化率也就是速度就是2t，變化率的變化率就是2。

那麼如果位置變化是t的7次方呢？

那位置的7重變化率就是1×2×3×4×5×6×7。

那麼由於這一變化由無數的「變化率的變化率」組成，顯然這些「力的推動力」的變化率，是「被這些力推動的力」的整數倍。

而又由於熱水溫度的變化率是它自己，所以每個力都和被它推動的力有確定的倍數關係！

物理學家飛速地列出了最終唯一的關係式，並且當他做完實驗的時候，結果竟然和關係式完全符合！

他笑了，因為他的努力終究有了成果。

他的之上留下了一行算式：

自然公式取1的值T(1)=1+1+1/2+1/(2×3)+1/(2×3×4)+1/(2×3×4×5)……

物理學家和生物學家相聚了。

「我已經找到將不可掌握的未來，用自然的公式表達出來了。」

「我也是。」

「自然的公式是指數。」

「不，自然的公式是冪的和。」

物理學家的黑板上寫著Σx=0 +∞(t^x)/x!

而生物學家的黑板上則寫著limx→+∞ (1+1/x)^xt

兩人相視而笑。

是的，自然的公式只有一個，兩個公式事實上完全等同。

給它命個名吧，

「我建議用e^x，因為這是一個顯然的指數函數。」生物學家說。

「聽我說，我建議用exp(x)，來表示它的自然和連續性。」物理學家說。

兩人離開，留下了兩塊被拼在一起的黑板。

物理學家那邊，寫著：

exp(1)=Σx=0 +∞1/x!≈2.71828

生物學家那邊，寫著：

e=limx→+∞ (1+1/x)^x≈2.71828

而拼起來的黑板，則組成了：

dy/dx=y的方程。

20 尾聲

上面的內容，對科學史有點了解的人都應該知道，全都是我杜撰的。

e的存在和數值，數學家早已在物理學家和生物學家之前給出了答案。

不過無論如何，人類終於邁出了認識未知自然的一步。

從此，即便是自然本身的規律，也已經被人類瞭然於心。

不過，正當人類自認為已經窮盡自然的真理的時候，發生了另一件大事。

這又是一個觀星人和一個工匠的故事了。

e的故事下

第三章路徑和車輪

上面我們說的是一個少數人的故事。

然而，不可能所有的人類都去思考什麼是自然，因為在工業革命之前，大多數人類是一種和其他動物一樣，在死亡和溫飽線上掙扎的動物。

儘管這些人可能已經不包括我們，不過當我們還沒有拋棄我們的形狀的時候，我們還是要問自己一句：

下一頓飯從哪來？

形狀，位置，距離，大小。

或許在開創數學這門學科以來，我們的本能中就已經有了幾何的元素了。

或許在你受到數學教育之前，就能指出平行和垂直兩種關係是比其他所有關係都特殊的；

或許在沒有識字的嬰兒時代，高度對稱的圖形就能吸引到你更多的關注。

或許和人類的誕生同時，我們已經把一條直線和一個圓刻在了腦子裡。

所以儘管我們已經脫離了溫飽線，但對於很少站在高處思考自然的人而言，我們是在生活中拼搏掙扎的人。

在這個方面，我們和以前那些在溫飽線上的人沒有什麼區別。

直線，被人類繪製成路徑，代表著最短的距離；

而圓，被人類加工成車輪，則代表著最節省的人力。

顯然這才是人類對自然的第一認知。

那麼人類有關的第一個問題就來了。

車輪要滾一圈能在道路上滾多遠？

這根本就不是一個需要計算的問題，碾過去就是了。

不過，當人類發現輪子在滾完之後不一定能回到原來的狀態的時候，事情好像在起變化。

我們的祖先數著自己的手指，把輪子的高度分成十份，

發現依然有偏差的時候把有偏差的那部分高度又分成了十份。

然後一對比，記下了三倍又十分之一倍又百分之四倍這一個數據。

於是我們把它稱作圓周率。

如果你指望著我把故事講下去，那你就錯了。

因為車輪和道路的故事已經結束了。

一直到「時間滴答滴答地流逝」的那個時代，這個故事只有幾個進展：

A.阿某某某覺得這個數據不準，又用手指分成10份，多加了一位比率。

B.劉某還是覺得這個數據不準，又用手指，並且藉助各種儀器分成10份，多加了一位比率。

B.祖某某覺得這個數據不準，又用手指和各種更花式的儀器分成1000份，多加了三位比率。

C.卡某覺得這個數據不準……

並不是那些尋找自然的人不忘這個看起來自然到爆表的比率上尋找答案。

因為無論對如何用直線和圓進行組合，計算任何由圓和直線組成的圖形和物體的數據，這個比率永遠存在於圓弧之上。

或許這個值是3.14，3.142還是3.1415927，對於人類了解自然並不那麼重要。

與其說這個比率如同夢魘一般永遠留在圓弧中，倒不如說它像是一個被封印的魔鬼，所有人都知道它的存在，也絕對明白它目前看來不可能踏出圓弧半步。

包括物理學家和生物學家在內的人，都傾向於把這個數據，永久地在人類踏出了解自然的第一步的紀念碑上。

然而此時，他們不知道的是，和他們不同，底層的人根本並沒有邁出了解自然的第二步。

他們和兩千年前一樣，奔波在生死之間。

和他們相伴的，只有直線和圓。

圓周率對於平民的意義，不用說，大家也明白。

直到現在，我們的主流世界觀里，依然存留著這個人類幾千年艱辛走來的痕迹：

完美、無瑕、對稱，這是我們對圓至高無上的崇拜。

或許如同黑暗的中世紀那樣，低賤的平民永遠都無法跨過貴族的門檻吧。

圓周率右面的車輪，看似封閉，卻一直在旋轉。

歷史的車輪滾滾碾過，碾過的是無數為了生計而掙扎的人的心酸。

不過這個時候，一門盛裝歸來的數學走到了低賤的平民身邊。

它號稱能夠揭開兩千年來被神掌握的「變化的規律」。

不用我說，大家都知道，它的名字叫做微積分。

微積分解決了平民的疑惑嗎？

看著物理學家和生物學家留下的黑板，即使是最聰明的平民也會一臉茫然吧。

而最粗鄙的平民，一定會罵道：

「XXX，這XX的道理，值幾個X錢？」

不過他們不知道：

歷史的車輪在碾過這個世界的一切的時候，卻無時無刻不被自然碾過。

抱歉，昨天沉迷學習了。。。

第四章觀星人和工匠

和主動去找自然規律的那些上層人士不同。

觀星人和工匠，是被迫去尋找自然規律的。

對於觀星人來說，天空中的星辰在運動一年之後回到原來的位置，月亮則要一個月，而太陽只要一天。

這一職業，只會比最早的立法更加古老。

他們的工作，就是在地平線上，尋找圓形的軌跡。

而工匠更不必說——只要有前面提及的圓和直線，就會有工匠的身影。

在這個變革的年代，觀星人找到了幾千年來自己畫出的星圖。

星星，月亮，太陽。

那一道道漂亮的圓弧，貌似在訴說著什麼故事。

或許自然就是這樣吧。

觀星人此時驚訝地發現了一件事情。

或許圓弧里的秘密，已經在第一章第8節給出了提示：

「就在水滴旁的男孩將鉛球一次又一次從比薩斜塔上扔下去的時候，他驚訝地找到了一個不變數：

地球給鐵球的加速度。」

在這個變革的時代，工匠找來了幾千年來自己做的物件。

其中有一個小小的物件，引起了他的注意。

這個物件很簡單，僅僅是一條由牛筋粗加工製成的條狀物而已。

原因無他，彈性而已。

被壓縮時重新伸長，被伸長時再次壓縮。

有了這個，才有了動物體的柔韌。

或許自然就是這樣的吧。

工匠此時驚訝地發現了一件事情。

將重物掛在牛筋下段，牛筋會不停上下振動，直至停止。

在星空中，觀星人發現了轉動。

而在牛筋里，工匠則看到了振動。

一個是循環不息，一個是搖擺不止。

一個是周而復始，一個是去而復回。

一個是圓，一個是直線。

在工匠和觀星人再一次見面的時候，他們隱約意識到：

這兩種運動的聯繫，

或許就是圓和直線超越圓周率的一種聯繫？

又或許，是人類和自然的一種聯繫？

問題的解決一帆風順，因為根本不需要去解決。

儘管在過去的兩千年內，上層的社會沉浸在神學中，不過掙扎在死亡線上的平民，卻能夠製作出很多他們自己也不理解但是卻非常管用的東西。

通過水磨，他們知道轉圈是一種向心的運動，速度不變，離心的趨向就不變；

通過彈簧，他們知道所有的彈性都和彈性物體變化的幅度相關。

工匠笑了，他在觀星人的星圖中畫了一條線。觀星人發現，在這條線的視角看，星辰的旋轉和振動一模一樣。

於是觀星人也笑了，他抄起皮筋甩了起來。工匠發現，在觀星人旋轉速度不變的時候，皮筋的長度是完全沒有變化的。

於是，下一個關係簡直是一瞬間得到的：

皮筋，不管在旋轉還是在振動，它對物體的力和它偏離原長的距離方向相反，但是大小正相關。

工匠點了點頭，在星圖上寫下了F=-kx

觀星人也點了點頭，在星圖上寫下了x""=-kx

在徹底解決這個問題之前，兩人決定還是先研究一下這個圖形。

根據前面對振動的討論，兩人覺得是時候把「圓周率」這個值趕下神壇了。

觀星人決定把星辰旋轉的弧度在皮筋上對應的坐標標記下來。顯然地由於所有的圓長相都一樣，所以旋轉弧度和皮筋坐標的比是完全一樣的。

「就叫這個比cos(x)吧。」觀星人說。

「等一下！」工匠驚呼。

他驚訝地發現，當x是圓周率的整數倍的時候，cos(x)居然是一些特殊的有理值。

特別地，當x除以圓周率的小數部分是0.5的時候，cos(x)是0。

當x是奇數倍圓周率的時候，cos(x)是-1。

當x是偶數數倍圓周率的時候，cos(x)則是0。

「沒錯，這個弧度，就是你們常用的角度的一種說法。

而cos這個函數，就是你們常用的餘弦的表達方式罷了。」

不過弧度對於角度而言，特殊性已經不言而喻。

力和偏離距離方向相反，大小正比，這就意味著：

偏離距離的變化率的變化率=-（確定數值×偏離距離）

而當我們把確定數值調成1的時候，如果物體在偏離距離為1的位置從靜止釋放，物體的偏離距離就永遠是時間的cos值。

是不是覺得這個公式很眼熟？

自然的身影，在人類並未去尋找的時候，在人類僅為了自己而奔波的時候。

已經來到了人類的身邊。

直到這時，圓周率這個數，已經如同夢魘一般，刻在了cos這個關係里。

雖然兩人不關心什麼自然，但是他們非常，非常想知道，困擾自己幾千年的圓周率到底是個什麼東西。

他們先知道了這個答案的解，卻不知道這個解從何而來。

「是時候解決這個問題了。」

e的故事終章幻想中的自然

cos這個函數的關係式使我們順利地把圓周率這一數值從無可辯駁的位置拉到了一個函數關係中。

而這一函數關係，又是一個很簡單的方程：

A變化率的變化率=-A

然而cos是什麼？

對於圓周率的最終研究，將由物理學家和生物學家共同完成。

因為他們敏銳地發現，而在這一項研究中，真正的自然，正在向他們招手。

物理學家仍然堅信cos是冪函數的和。

和上次一樣，這次他準備繼續通過測量來證明這一點。

他向觀星人借瞭望遠鏡，每夜，他的之上都多了一個點。

每過去一年，他的冪函數就會多一項。

終於有一天，他笑了。他覺得，他已經掌握了自然的規律。

紙上出現了一個算式：

cos(x)=1-x^2/*(1×2)+x^4/(1×2×3×4)-……

他非常欣慰地看著自己的算式。

公式里的每一項，經過兩次的求變化率計算，都會成為它的前一項，而第一項則自動消失。

而由於這個和無限延伸沒有最後一項，所以總能達成：

A變化率的變化率=-A

生物學家這裡的進展就有點麻煩了。

因為他根據上次的經驗，依然斷定cos是一種指數函數。

換句話說，他堅信所有的變化率僅本身相關的函數，都是自然的指數函數。

上次他知道，如果變化率是本身的k倍，那麼它在t時刻的值就應該是e^kt。

那麼如果變化率的變化率是本身的k^2倍呢？那麼如果在開始並沒有變化，它在t時刻的值就應該是e^kt。

不過，在這個項目里，變化率的變化率，卻是本身的-1倍。

-1，是不能等於k^2的。

這天，生物學家來到了一個桃花源般的農村。

或許環境看起來很落後吧，村裡最氣派的建築是學校的三層教學樓。

生物學家從教室走過。

「老師，為什麼負數不能開平方呢？」

「因為不管正數還是負數，它乘上自己都是一個正數，而0乘自己是零。」

「那有沒有不是正數也不是負數也不是零的數呢？」

教室里開始騷動，已經有人嘲笑這個同學了。

而此時，生物學家停下了腳步。

「沒有這樣的數。」

「老師，這樣的數肯定有的，我們沒發現而已。」

教室里哄堂大笑。

43.

「這樣的數肯定有的，我們沒發現而已。」

在之前那塊黑板上，面對著物理學家的質疑，生物學家斬釘截鐵地說。

相比於物理學家的那一長串，生物學家只有一個分式：

cos(x)=(e^ix+e^-ix)/2

還有一個解釋：

i^2=-1

「朋友，我們應該用科學的方式來解決這個問題，而不是幻想的方式。」物理學家不滿地說。

「沒錯。」生物學家說，「但是如果你把這個值帶入你求到的exp和cos的公式試試看呢？」

物理學家聳了聳肩。

計算完畢之後，他的表情驚訝地無以復加。

所有虛擬的i在計算完畢之後全部消失，也就是說，只要知道cos和exp的任何一個，通過這個虛擬的i，都可以得到另一個中不含i的關係式！

「朋友，i他雖然不真實。」

「但它很自然。」

44 故事的結尾

在這塊叫做數學的黑板上。

無數潦草的、工整的字跡，一步一步地將人類和自然拉進。

終於，最後一個算式，徹底毀滅了所謂超自然的神，對人類的最後一點控制。

那是一個幼稚的字跡，甚至有一種爬蟲的感覺。

他的未來，可能是一名頭戴禮帽，舉止優雅的紳士，也可能是一位面朝黃土，為自己的未來耕耘的農民。

就和算式里的那個平方為負數一樣的值充滿著想像力，又和算式里其他的那些值一樣富含著人類偉大的智慧和自然對我們的教誨。

所有看到這個算式的人，無不匍匐在自然的足下。

世界自此走向光明。

是時候揭示這個算式是什麼了。

這時黑板最醒目的地方，赫然寫著：

e^iπ+1=0

【4句話簡要回答】

在一個平面里

1.
π是半個圓的長度

2.
i在平面上代表的是一個垂直的方向

3.
e代表的是一種增長(的極限)

4.
1*e^πi 代表的是在平面內，從1開始，垂直方向上增長π個單位，就變成了-1

【註：原貼最開始的問題是」如何向小學生解釋歐拉公式」】

數學
不是高深莫測的

Maths is for everyone.

Intuitive meaning:

按照小學生的數學功力，目前來說應該只了解π是什麼，對於i和e就一無所知了。目前小學生掌握的數學知識應該包括：正負數，整數，分數，小數，加法，乘法，簡單的平面幾何，一元方程，冪的基本知識(a^3)^4=(a^4)^3=a^12。如果你想通過三角函數來解釋這個公式為什麼make sense那就too young too森破了。

所以我們必須要另闢蹊徑，尋找這個公式最根本的含義。

E^πi+1=0表達的是一種圖形的變化。簡單的來說，就是從1出發，沿著i的方向旋轉π個單位，最後轉到了-1。

Sounds like magic huh?

好了，接下來我們要一點一點的給各位小朋友講為什麼它划了個半圓。請各位六年一班的小朋友雙手背後，認真聽講，下課小測驗不及格的同學，酒老師可是要請家長的哦~

首先，我們來複習一下π是什麼？哪位同學可以回答一下？

王小明：老師，π是圓周長和直徑的比值！

酒老師：回答正確！

酒老師：所以如果我們以1為半徑畫一個圓，那麼半個圓的長度，就是π，大家一定要記清楚！

接下來，我們來說一下第二個問題，什麼是i？

同學們，接下來我們做幾道簡單的數學題x

那麼大家有沒有想過一個問題x^2=4,那麼x=? y^2=1,那麼y=?

王小明：老師，x=±2,y=±1

酒老師：回答正確，那麼大家再想一想x^2=-1，那麼x等於多少呢？

王小明：（一臉懵逼）

酒老師：我們知道1 5 8 23 101這些叫做整數， 0.3 0.25 1.58這些叫做小數，-8 -65
-812這些叫做分數，今天我就來帶領大家認識一個新的數i.

我們都知道1和1相乘的結果是1，那麼怎麼定義呢？
i和i相乘的結果是-1，i^2=-1。可能對於有些同學來說這個概念比較難理解，接下來酒老師畫個圖，可能大家就一目了然了。

我們都知道的是1*x*x=4,x=±2這個在幾何裡面是什麼意思呢？
X=2意味著，把1放大兩倍之後再放大兩倍，我們能得到4。X=-2意味著是把1放大兩倍並且變化方向，然後再放大兩倍再變換方向，我們也能得到4。

相似的是，如果我們1*x*x=-1那我們該怎麼算？

X不能是正數，因為正正為正。

X也不能是負數，因為負負為正。

那麼怎麼經過兩次變化，就從1變到-1了呢？

給大家一個提示，把數軸想像成一個平面….

王小明：讓1在這個平面里轉圈圈不就好了！

酒老師：是呀。如果我們把i想像成逆時針旋轉兩次的話那麼1*i*i不就是-1了么！

酒老師：有的同學會問，那麼i到底是不是一個數呢？

大家記住，i是一個數，並且i描述的是一種全新的描述數的概念。通過把1旋轉，在上面的這個平面里，我們得到了一個新的數i，它的定義就是i^2=-1 在圖裡面
橫著的是我們之前學習過的數，例如 1 6 5.8這種，而豎直的是我們今天學習的i

如果我們從1開始，每次都*i會怎麼樣？

1=1

1*i=i旋轉一次到達90°

1*i*i=-1
i的定義

1*i*i*i=-i
旋轉3次
來到-i

1*i*i*i*i=1 旋轉4次等於轉了一圈原地不動

好了，最後，大家記住，i^2=-1，*i的幾何含義是逆時針旋轉90°

王小明：哇，酒老師好棒！！

（有的讀者可能會質疑複數概念和運算的問題
因為在這個裡面並不會用到運算，所以暫時不引用）

酒老師：接下來我們講一講公式中最後一個重要的是數字e。它是什麼呢？

想必小朋友都和爸爸媽媽去銀行存過錢吧？現在呢，酒老師給每個同學1塊錢，給大家一年的時間，請同學們把錢存到銀行里，每年的利率是100%，看看哪位同學最後連本帶利得的最多？銀行有不同的存法，你把一年分成多少分
每一份的利息就是100%除以份數。

具體的存法，每位同學可以參考下面的圖表。每個同學可以有不同的選擇，看看哪位同學最後得到的錢最多？

假如你有1塊錢，你存在銀行里一年之後取出，是2塊錢。

但是如果你只存半年之後取出，是1+1*50%=1.5，是1.5元。你再存半年的話是1.5+1.5*50%=2.25元。看是不是比剛才多了？

如果分成三份，同學們看，是不是比剛才又多了？

如果繼續這樣分下去，各位同學比一比，看看分成多少分才能得到的錢最多呢？

是不是如果繼續把份數增加，我們的錢就會一直增加？成為「大款」呢？

王小明：好像是的哦。。。

酒老師：不是的！
無論我們怎樣增長，都不能超過一個數，這個數字就是e啦！

王小明：那為什麼是e呢？

酒老師：e實際上代表的是一個增長的極限，也就是無論你分成多少份，總增長的和永遠不會超過e！在一年的時間裡面，無論你分成多少份去翻倍，都不可能超過e。

王小明：懂了，原來e就是一段時間內，以1開始，這種翻倍增長可能達到的最大值呀！

酒老師：是的。所以，e就是一個極限值，就像是光速能達到每秒30萬公里一樣，你可能永遠達不到這個值，但是e就是一個參考值，很多自然世界中的增長速度，比如說細菌的繁殖，比如說物體冷卻的速度，都是和這個極限值有一定聯繫的。

王小明：原來如此高深莫測！

酒老師
：嚴格來說e的表達式是e=(1+1/n)^n（註：這裡省略了limn→∞，並不想給小學生引入太複雜的概念），他的意義是，在一個單位時間內，連續的翻倍增長所能達到的極限值。 值得注意的是，所有的自然地增長，雖然可能沒有達到這個極限，但是都能夠通過某種方法，和e有著某種關係。這種關係衡量著這種增長的速度。

王小明：怎樣的聯繫呀？

酒老師：舉個例子來說：假如剛剛的銀行，存一年的利息沒有100%了，那麼一年之後，你最多能夠拿到多少錢？

王小明：這。。。（繼續一臉懵逼）

我們來看一下

(1+50%/n)^n

設n=0.5m

=(1+50%/0.5m)^0.5m

=(1+100%/m)^m^0.5

=e^0.5（這個該怎麼達成正確的數學公式？）

是不是很神奇？

如果我們把0.5換成x的話，我們就會很輕易得到(1+x/n)^n=e^x

大家不要忘記的是，我們做的一直是乘法也就是許許多多個(1+x/n)不斷相乘，最後得到的結果就是e^x

還不理解什麼意思？
來看一下這個圖。

現在懂了么？

王小明：嗯！

所以說我們就是在做乘法，很多很多個乘法….e呢，就是一個衡量你能增長多快的速度
記住，增長=e^增長速率

王小明：酒老師！那麼3年該怎麼算？

酒老師：三年該怎麼計算？應該是1*e^x*e^x*e^x=1*e^3x (冪的運算) 所以再記住

增長=e^增長速率*時間

再把所有今天講的內容拼湊到一起之前，我們來總結一下e。 e是在單位時間內連續翻倍增長可能達到的最大值，增長=e^增長速率*時間。換一個角度來思考的話，仍和一個數字，都可以在某個時間通過某個增長率來達到！
比如說以e^1的速度增長，9=e^ln9。這裡面的ln9 就是達到9這個數字的時間，儘管大家可能還不太懂ln9是什麼。。。

王小明：好棒！

Now let』s put the jigsaw together.

酒老師：我們剛剛說到e是增長的體現，i的意義是旋轉，那麼e^i是啥意思呢？

王小明：那不就是旋轉的增長么！so intuitive!

那麼e^πi呢？
更直覺的來說，那就是在增長π這麼多啊！
那就從1轉到了-1呀。

長大了你就知道了

（原問題是：如何向小學生解釋那個公式，這題目改的，我的回答成無意義回答了）

(1＋1/x)^x　接近 e 　（x越來越大）

(1＋n/x)^x　接近 e^n　（x越來越大）

(1＋i $pi$ /x)^x　接近 e^ $pi$ i 　（x越來越大）

那(1 + i $pi$ /x)^x　是什麼？

我們可以試一下把x慢慢加大。

(1＋i $pi$ /10)^10 = -1.59 + 0.16i

(1＋i $pi$ /100)^100 = -1.05 + 0.001i

(1＋i $pi$ /1000)^1000 = -1.005 + 0.00001i

等等

當然越發接近－１

（用complex plane的幾何也能看出來這趨勢的意義所在，１到－１就在同一個半徑為１的半圈上，而且是 $pi$ 的距離，因為這半圈圓周本來就是pi。你只是把半圈切成Ｎ片然後把Ｎ個小片加在一起，當然越發接近走半圈。。。）

e^ $pi$ i　= －１

以前在果殼上用幾何代數解釋過：

歐拉恆等式，或者叫π和e以及i的三角關係 | 死理性派小組 | 果殼網科技有意思

這裡我再換一個角度給出一個基於代數和分析的解釋

可以通過考察指數函數 $(-1)^x$ 來推出 Euler 公式

當 x 是自然數 0, 1, 2, ... 等等時，這個函數值是我們熟悉的交替數列 1, -1, 1, ...

當 x 是一般的實數時，我們可以利用函數現有的性質做合理的外推，來獲得對應的函數值

比如對於自然數 m, n，指數函數滿足乘積公式 $(-1)^{mn} = ((-1)^m)^n$ ，那麼我們可以合理的將這個性質外推到有理數

於是對於有理數 1/n，函數值 $y = (-1)^{frac{1}{n}}$ 應該滿足 $y^n = ((-1)^{frac{1}{n}})^n = -1$ ，換言之 y 是 -1 的 n 次方根

我們知道在複數中對 -1 開 n 次方有 n 個根，這些根的模為1，幅角 $phi = frac{k}{n}pi, k= 1,3,5,cdots$

其中 k = 1 對應於根 $cosfrac{pi}{n} + isinfrac{pi}{n}$

注意到 k 取 3, 5 等值時只是給出上述根的 3 次方、5次方，所以我們只考察 k = 1 的情形就夠了

那麼我們就得到 $y = (-1)^frac{1}{n} = cosfrac{pi}{n} + i sinfrac{pi}{n}$

對於有理數 m/n 再次應用指數函數乘積公式，就得到

$(-1)^frac{m}{n} = ((-1)^frac{1}{n})^m =(cosfrac{pi}{n} + i sinfrac{pi}{n})^m = cosfrac{mpi}{n} + i sinfrac{mpi}{n}$

也就是說當 x 是有理數時，合理外推給出 $(-1)^x = cospi x + i sinpi x$

對於 x 是無理數的情形，我們知道無理數可以通過有理數來逐步逼近，因此合理的想法是用有理數時的指數函數值來逼近。注意到函數 $cos pi x$ 和 $sin pi x$ 本身就是連續的，因此若假定指數函數在實軸上具有連續性，則上述公式直接就給出了 x 為一般實數時的函數值

注意到當 $x o 0$ 時，有漸進式 $(-1)^x o 1 + ipi x$

接下來考慮複數的情形。我們可以合理的假定指數函數 $(-1)^z$ 在複平面零點附近是平滑的，也就是說上述漸進式不僅對實值的 x 成立，對虛值也成立

於是對於 $x = frac{i}{N}, N o infty$ 有

$(-1)^frac{i}{N} o 1 + ipi frac{i}{N} = 1 - frac{pi}{N}$

假定指數函數乘積公式可以適用於複數，那麼就有

$(-1)^i = ((-1)^frac{i}{N})^N o (1 - frac{pi}{N})^N$

注意到 $lim_{N oinfty}(1-frac{pi}{N})^N = e^{-pi}$ ，因此得到 $(-1)^i = e^{-pi}$

再次應用指數函數乘積公式，我們就得到最終的 Euler 公式

$-1 = ((-1)^i)^{-i} = (e^{-pi})^{-i} = e^{pi i}$

設 $f( heta)=cos heta+isin heta$ ，求導得到 $frac{df}{d heta}=-sin heta+icos heta$

把 $-sin heta$ 看成 $i^2sin heta$ ，就得到 $frac{df}{d heta}=i(cos heta+isin heta)$ ，也就是說 $f$

兩邊積分 $int frac{f^prime( heta)}{f( heta)}d heta=int i d heta$ ，得到 $ln(f( heta))=i heta+c$

$heta=0$ 帶入得到 $c=0$ ，所以 $f( heta)=e^{i heta}$

所以 $e^{i heta}=cos heta+isin heta$

可能並不是非常嚴謹，但是我覺得對於理解有一定幫助

個人覺得，先用虛數單位i的冪運演算法則，解釋指數函數、三角函數泰勒展開式之間的關係，得：

exp(x)=cos(x)+i*sin(x)

即可解釋答主所問的算式正確性。

由於歐拉大神的貢獻很多，數學上以其命名的公式也有很多，而且知名度都不低。日常使用時，如果不以領域做區分，人們根本就不知道談論的是哪個歐拉公式。

這裡主要討論複變函數領域的基石——歐拉公式：

$e^{ix}=cos x + i sin x$

自然對數e

在討論歐拉公式之前，首先要理解一下自然對數e的含義。

推薦閱讀以下文章：

數學裡的 e 為什麼叫做自然底數？是不是自然界里什麼東西恰好是 e？

這裡對上文中的要點做一個摘要。

假設你在銀行存了1元錢（下圖藍圓），很不幸同時又發生了嚴重的通貨膨脹，銀行存款利率達到了逆天的100%！

銀行一般1年才付一次利息，根據下圖，滿1年後銀行付給你1元利息（綠圓），存款餘額=2元

銀行發善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(紅圓)，1年存款餘額=2.25元

假設銀行超級實在，每4個月就付利息，利息生利息(下圖紅圓、紫圓)，年底的餘額≈2.37元

假設銀行人品爆發，一年365天，願意天天付利息，這樣利滾利的餘額≈2.71456748202元

假設銀行喪心病狂的每秒付利息，你也喪心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滾利的餘額≈2.7182817813元

這個數越來越接近於e了！

哎呀！費了半天勁也沒多掙幾個錢啊！

對！1元存1年，在年利率100%下，無論怎麼利滾利，其餘額總有一個無法突破的天花板，這個天花板就是e，即：

$e=lim_{n oinfty} left( 1 + frac{1}{n} ight)^n$

自然對數的研究歷史

上面例子的體例，和現行教科書類似，都是直接以極限方式定義e。然而，這並不是自然對數在歷史上的研究路徑。

從利息出發的複利計算，或者說求高次冪運算，在歷史上催生了最早的對數表（1614年）。然而，這個問題本身和e並無直接關聯，使用常用對數同樣可以求解複利問題。

真正催生自然對數e的是對數表的編製過程。

對於那時期的人們來說，編製對數表是件巨大的工程，常需要花費數學家數年，甚至數十年的時間。

在大量的實踐中，人們發現採用 $left( 1 + frac{1}{n} ight)^n,n gg 0$ 為底，可以很大程度的節省計算量。

事實上，最早的幾個對數表的作者中，納皮爾採用 $left( 1 + frac{1}{10^7} ight)^{10^7}$ 的倒數為底，而比爾吉採用 $left( 1 + frac{1}{10^4} ight)^{10^4}$ 為底。這兩個數分別是 $frac{1}{e}$ 和e的近似值。

從e到歐拉公式

早期的對數表作者雖然已經不自覺的享受e的好處，然而他們並沒有明確發現或定義e。

e的定義有賴於微積分的發展。

十七世紀上半葉是微積分的萌芽時期，也可稱為前牛頓-萊布尼茨時期。這裡所提到的數學家，實際上只比牛頓、萊布尼茨，早一到兩代人。

比如費馬（Pierre de Fermat）在1636年之前，就知道：

$int_0^ax^nmathrm{d}x=frac{a^{n+1}}{n+1},n eq -1$

於是人們自然會去思考：

$int_0^afrac{1}{x}mathrm{d}x=?$

兩個耶穌會教士Grégoire de Saint-Vincent和Alphonse Antonio de Sarasa發現：

$int_0^afrac{1}{x}mathrm{d}x=k log y$ （公式1）

這個發現表明， $y=frac{1}{x}$ 曲線下的面積和y的對數成正比。

William Oughtred認為，如果採用合適的數為底的話，就可以約去比例因子k。從而上式可變為：

$int_0^afrac{1}{x}mathrm{d}x=ln x$

他將這樣形式的對數，稱為自然對數。這實際上就是 $left( 1 + frac{1}{n} ight)^n$ 節省計算量的原因。

William Oughtred，1575~1660，英國數學家。他對數學符號的發展產生很大的影響，現行的大於、小於符號就是他的發明。

到了John Bernoulli時代，積分問題擴展到如下形式：

$intfrac{mathrm{d}x}{ax^2+bx+c}$ （公式2）

顯然，這類問題可以通過配方換元法，轉換成公式1的形式。然而，其中的要害在於，求解方程 $ax^2+bx+c=0$ ，而這個方程的解，有可能為複數。

出於解方程的需要，John Bernoulli系統研究了 $lim_{n oinfty} left( 1 + frac{1}{n} ight)^n$ 的性質，並認為它是一個重要的常數。這個思想明顯影響了他的學生Euler。

除此之外，在求解公式2的特例：

$frac{mathrm{d}x}{b^2+x^2}$ （公式3）

John Bernoulli發現，可以令 $x=sqrt{-1}b(t-1)/(t+1)$ ，從而上式變為：

$frac{-mathrm{d}t}{sqrt{-1} cdot 2bt}$ （公式4）

公式3的積分是 $arctan$ ，而公式4的積分是一個虛數的對數。利用這種方法，可以建立三角函數和虛數對數之間的關係。

這裡需要指出的是，John Bernoulli對於複數的理解仍停留在Cardano的水平，這裡的虛數對數和後面提及的複數指數、複數對數在內涵上是不同的，僅僅是種解方程的技巧而已。

1740年，Euler發現 $y=2cos x$ 和 $y=e^{sqrt{-1}x}+e^{-sqrt{-1}x}$ 是同一個微分方程的解，因此它們應該相等。

1743年，Euler進一步指出：

$cos x=frac{e^{sqrt{-1}x}+e^{-sqrt{-1}x}}{2},sin x = frac{e^{sqrt{-1}x}-e^{-sqrt{-1}x}}{2sqrt{-1}}$

最後，在1748年，Euler指出：

$e^{ix}=cos x + i sin x$

虛數符號i雖然也是Euler的發明，但那是1777年以後的事情了。這裡用的是現代的表示方法。

這個結果最早是Roger Cotes於1714年發現的，Euler算是重新發現。

從牛頓到John Bernoulli、Euler，無窮數列成為當時數學家的一項工具。上述等式中很多都是基於函數的無窮數列展開式的性質得出的。

但與現在主要採用泰勒展開式不同，當時更知名的展開公式是牛頓發明的二項式定理，泰勒展開式用的並不多。

復變Euler公式

Euler時代，人們雖然對於複數的性質做了頗多的探索，但仍難以逃脫「複數是解方程的技巧」的束縛。這主要體現在兩個方面：

1.儘管Euler晚年已經有複平面的概念，但他對複數的幾何意義研究甚少。在他看來，為複數這種因解代數方程而引入的技巧，提供一種幾何解釋，是一件不太自然的事情。

2.複數的實部和虛部是分開處理的，用途局限於求解實變數微積分。最典型的例子就是，Euler時代的Euler公式，其自變數x是實數。

之後，隨著複平面、複數的向量表示逐漸被人接受，人們開始傾向於接受複數是一種數，而不僅僅是一種解方程的技巧。

在複數的系統化中，做出最大貢獻的，當屬Augustin-Louis Cauchy。

具體到Euler公式，Cauchy針對複變函數的特性，定義了如下規則：

$f(z)$ 為一複變函數，且滿足：

1. $f(z)$ 在複平面內處處解析。

2. $f$ 。

3.當 $Im(z)=0$ 時， $f(z)=e^x$ ，其中 $x=Re(z)$ 。

最終符合這一條件的函數為：

$e^x(cos y + i sin y)$

因此，復變Euler公式為：

$e^z=e^x(cos y + i sin y)$

可見，與原始的Euler公式不同，復變Euler公式不是證明出來的，而是定義出來的。

總結

1.Cardano解三次方程發明虛數。

2.高次冪運算催生對數表。

3.對數表的編製過程中，發現了e。

4.Euler根據無窮數列展開式，發現Euler公式。

5.Cauchy定義了復變Euler公式。

參考

《古今數學思想》

《不可思議的e》

缺乏最基本的前置知識，沒法解釋

根據級數的概念即可簡單推導得之。

泰勒級數的公式是這個樣子的：

也就是說無論 $f(x)$ 是什麼鬼函數，長成什麼鬼樣子，都可以用這樣的形式進行表達，但前提是該函數在 $x=x_{0}$ 處得有意義，且有n+1階導數。

那麼令 $x_{0}=0$ ,就會得到 $f(x)$ 的表達式：

這樣我們就可以寫出三角函數的泰勒級數表達式：

既然如此，我們不妨再寫寫看復指數函數 $e^{ibx}$ 的泰勒級數表達式：

是不是已經很明確了：

$e^{ibx}=cos(bx)+isin(bx)$

所以，剩下的，就令bx= $pi$ 就可以了。

現在小學生不是都會微積分了嗎？那這個不是很好解釋嘛！

使得函數exp(xi)=-1的最小正實數是存在的，我們把它定義為pi

依老夫看來，你如果能給小學生解釋清楚i是什麼意思，就已經可以勝任名校（小學）數學老師了。

考研狗來強答一波。

偉大的歐拉公式是歐拉由泰勒級數推倒出來的。

大數學家異於常人的地方不僅僅在於有逆天的計算能力，縝密的邏輯思考，更重要的是要有天馬星空般跳脫的想像力。

推倒過程其實很簡單，但關鍵是其中的思想堪稱神跡，歐拉如神一般引入了了虛數i的概念。

換句話說，就算僅僅是一個稍微聰穎的大一學生，只要學完了泰勒級數，加上能夠想到高中學的虛數概念就有可能推出偉大的歐拉公式。

下面簡單說一下推倒過程，高中的基礎就行。

首先我們要知道泰勒級數是幹什麼的。

泰勒公式的意義就是能夠將所有的可導函數用冪函數來表示。

注意是所有！所有！

無論是指數函數，對數函數，三角函數，反三角函數，有理函數統統可以化為無限個冪函數累加的結果。

冪函數應該都沒忘吧，x，x的平方，x的立方，x的三次方…這就是是冪函數。

推倒歐拉公式我們只需要了解三個函數的泰勒級數。

sinx=x- (1/3!)x^3+ (1/5!)x^5+???

cosx=1 - (1/2)x^2 +( 1/4)x^4+???

e^x=1+ x +( 1/2)x^2 + (1/3! )x^3+???

注:!為階乘。

可以很容易的看出，如果忽略Sin和cos各項的正負號，它們兩者相加就是指數函數。

泰勒等人當時肯定也發現了這一點，可是沒有當時沒有什麼符號能夠讓這兩者產生聯繫。

直到歐拉提出了虛數的概念，i^2=-1。

我們只需要將e^x中的x用ix代替變成e^ix.

e^ix=1+ ix - (1/2)x^2 -(1/3!)ix^3 + ( 1/4!)x^4 + (1/5!)ix^5+???

再把其中的實數和虛數項分離。

=(1 - (1/2)x^2 +( 1/4)x^4+???) + i(x- (1/3!)x^3+ (1/5!)x^5+???)

可以看出前項就是cosx ,後項就是sinx。

即得e^ix= cosx + isinx.

至於e^ $pi$ i　= －１，就是將 $pi$ 代入就好了。

證畢。

個人理解，歐拉等式實際上是一個映射式，它將複數空間與實數空間以式中的方式建立了一種映射，而且這種映射有個非常美妙的性質，這個性質在學術界叫什麼名字我不知道，畢竟我數學只讀了本科。什麼性質呢？大家可以注意到，在復空間中的半徑為r的圓是映射到實數r的，這種映射看起來很「對稱」，但是如果你把式中的自然對數換成2或者別的什麼數字，就不是圓而是別的扭曲的曲線映射到實數r了，這就看起來不美。

而為什麼歐拉公式這麼神奇呢？簡單的解釋就是，一維搞不定的問題，在二維可以非常簡單地搞定，高維模型可以一次性解決所有其子空間的問題。

所以你也可以成為數學家，直觀地想，你可以在公式里引入第三個變數，把三維空間往實數集上映射，這個公式你也可以自己給起個名字呀。可以預見，這種映射還有更多奇妙的性質，所以你還可以寫本書，就叫球變函數。

可以先解釋給我這個已經大學畢業的孩子試試

有一天，i出門逛街，走著走著遇見了π，於是結伴而行。沒多久經過e家門口的時候又遇見了e，他一個人坐在一張桌子前，上去一問，才知道e想打麻將了，可是找不到人，於是他兩個就在e家，又喊來了1，然後開開心心的玩起了麻將。這真是非常完美（0）的一件事兒啊？