高維情況有沒有叉乘運算？怎麼計算？

01-13

謝邀。

$mathbb{R}^n$ 里可以定義n-1個向量的叉乘，就是以標準基為第一行、n-1個向量為後面n-1行得到的n*n行列式展開後的結果，幾何意義就是跟這n-1個向量垂直的、長度為它們張成的平行超多面體的體積的、方向與定向相符的一個向量。LaTeX打矩陣比較麻煩，所以懶得打了。

所謂的矢量積，本質上講就是把兩個矢量的張量積通過線性組合的方式組合成一個二階全反對稱張量。所以運用相同的法則一樣可以在高維空間中得到類似的結果。

1 3 7維是可以的 1維是trivial的 3維的你知道 7維也有個三階反對稱張量可以定義叉乘只有這三個維度可以定義本質原因是代數上只存在複數四元數和八元數

外微分的外積運算是高維叉乘在3維情況下就是叉乘

需要明確的是只有當空間維數為3時兩個矢量的叉乘才會等於矢量

根據黎曼幾何的理論矢量是一階外微分兩個矢量的叉乘是二階外微分（n階外微分的叉積是n+1階外微分）

只不過根據理論n-1階外微分與1階外微分同構可以看成同樣的東西而對於3維空間n等3 n-1剛好等於2即三維流型中一階外微分與二階外微分是同一個東西所以三維空間中矢量叉乘等於矢量

讓體元跟兩個矢量進行縮並就是兩個矢量的叉乘

三維叉乘就是so(3)李代數啊。任意高維線性空間也可以定義一個李代數結構在上面，不過這麼硬點總有一種不自然的感覺，大概就沒有三維向量叉乘這樣的幾何意義了吧。

叉乘的推廣是外積，詳見微分幾何中的格拉斯曼代數，記得高數老師講過真正叉乘只能存在於三維和七維空間，很神奇。

只有三維向量有向量積嗎？ - 知乎