你見過最巧妙的物理推導是什麼？

01-13

相關問題：你見過最巧妙的數學證明是什麼？ - 知乎

舉個容易讀懂的栗子,不是什麼最巧妙，但也挺有趣：

從萬有引力定律推出宇宙學方程

宇宙學基本方程，一般是在羅伯遜-沃克度規下計算愛因斯坦方程得到，根據這個方程可以預測宇宙到底是膨脹，收縮還是穩定。這當然是正確步驟，但對於沒學過廣義相對論的小夥伴會覺得以上說的都是什麼鬼？實際上，從牛頓萬有引力定律出發，可以出乎意料地得到這個方程，並計算出宇宙命運的所有重要結論。

假設你是一個1920年代完全不懂廣義相對論的「經典宇宙學家」，然後你從一個叫哈勃的天文學家那裡聽說他發現星系彼此遠離，並且宇宙膨脹可能性，所以你試圖用已有的知識來理解這一切，你的步驟如下：

1）既然宇宙是膨脹的，那也就是說今天的物理距離，會隨時間有一個尺度的增加。於是你引入了尺度因子的概念，即如果現在物理長度為1的話，那麼其它時候取值為 $a$ （比現在早的時候 $a<1$ ,比現在晚的時候 $a>1$ ）。顯然， $a$ 依賴於時間（也就是 $a(t)$ ）並能描述宇宙的尺度變化。

2)假設宇宙在大尺度上是均勻的，那麼球對稱性的宇宙物質運動只受球體內物質的引力作用，而與外面物體無關。考慮一個質量為 $m$ 的點粒子在一個球心O，半徑為 $r$ ，質量為 $M$ 的物體表面運動，那麼由牛頓力學

$ma=mfrac{d^2r}{d^2t}=-frac{GMm}{r^2}$

3) 根據以上公式，點粒子的質量 $m$ 約掉後，等式兩邊同時乘上 $dot{r}$ ( $equiv frac{dr}{dt}$ ),就得到

$frac{d}{dt}Big( frac{dot{r}^2}{2} Big)=frac{d}{dt}Big(frac{GM}{r}Big)$

等式兩邊同時積分，就得到

$dot{r}^2=frac{2GM}{r}+C=frac{8pi G}{3} ho r^2+C$

注意這裡 $ho$ 是球體內物質的密度，並利用了球體體積公式，C是積分常數。

既然宇宙是膨脹的，那麼現在時刻，距離為 $r_0$ 的半徑，其他時刻距離就是 $r(t)=a(t)r_0$ ,把它代入到上面的方程中，就得到了

$dot{a}^2+K=frac{8pi G}{3} ho a^2$ (其中 $K=-frac{C}{r_0^2}$ ，是個未定的常數)

定義哈勃參數

$Hequivfrac{dot{a}}{a}$

我們就有

$H^2+frac{K}{a^2}=frac{8pi G}{3} ho$

這就是著名的弗里德曼方程，注意方程左邊是描述宇宙尺度變化的幾何效應，方程右邊則和具體物質相關。我們沒有用廣義相對論！！

以上推導對不對？當然是錯。。是具有啟發性的。現在你完全可以把推導步驟忘掉，只觀察弗里德曼方程本身就可以了。用這個方程，你能研究些什麼？

首先，宇宙膨脹完全可以作為弗里德曼方程的一個解而存在，即可以允許 $dot{a}>0$ 的解存在。

其次，一般宇宙的物質的密度都隨著膨脹而減小，比如非相對論的重粒子，其密度隨 $a$ 的增加呈 $a^{-3}$ 而減小。代到方程中你會發現，宇宙儘管可以彭展（ $dot{a}>0$ ）,但其膨脹速度是減少的（ $ddot{a}<0$ ）。也即是說儘管物質引力可能暫時阻止宇宙膨脹，但可以減慢膨脹最終讓其停下來直至收縮。但是假如，我是說假如存在某種奇怪的能量，其密度一直保持不變，和宇宙膨脹沒關係。也就是方程右邊是一個恆定的常量。我們乾脆只考慮這一奇怪能量的貢獻，而忽略其他物質貢獻，並令 $K=0$ ,弗里德曼方程寫為

$H^2=frac{Lambda}{3}$ ( $Lambda$ 為一恆量)

那麼方程解為

$a(t)=a_0 e^{H(t-t_0)}$

這時宇宙不但膨脹，而且是加速膨脹的！現在人們把這種物質叫做暗能量(Dark Energy). 而 $Lambda$ 叫做宇宙學常數，是愛因斯坦在其著名的方程中引入的。

Baker-Hausdorff恆等式的證明。

按照傳統的套路，我以為會把指數函數拆成無窮級數，然後根據對易關係，利用數學歸納法一項接著一項去證明。費時費力還沒證出來。

結果看了答案後才發現：我想多了，把它寫成含參數的形式，利用泰勒級數展開就行了.....

樓上舉了很多經典的巧妙證明，我來說一個小一點的偏數學的推導吧。

費曼貢獻了很多計算的小技巧，比如初量中接觸到的費曼海爾曼定理，這裡我說一個場論中常用到的費曼參數化（Feynman parametrization）。

它的核心內容很簡單 $frac{1}{AB}=int^1_0frac{dx}{(xA+(1-x)B)^2}$

在場論中這是一個計算圈積分的小技巧，他通常出現在一圈或者更高圈的費曼圖中。當積分中出現形如 $frac{1}{AB}$ 的項時，直接處理會非常麻煩，這時候採用費曼參數化然後交換積分會有出其不意的效果。通常量子場論書中介紹這個方式是從電子自能問題開始。

量子電動力學剛發展的時候，人們考慮自相互作用（即具有動量P的電子發射一個具有動量K的虛光子，然後被電子重新吸收）時發現電子質量是改變的，改變數由一個很複雜的積分描述。由於虛光子的動量可以從0到無窮，所以這個積分是發散的。

為了處理這個積分物理學界用了超過二十年的時間，最後解決就是利用費曼的方法，這個過程很複雜，以後有機會再說。最近遇到利用費曼參數化的方法是在pi介子的質量問題中。

以下討論純粹數學不需要任何背景知識，只是展示一下費曼參數化是怎麼用的。

在考慮軸矢量Ward-Takahashi 恆等式時，處理積分 $egin{align} 0 =intfrac{d^4q}{(2pi)^4}left[frac{Pcdot q_+}{q_+^2+M^2}-frac{Pcdot q}{q^2+M^2} ight]\ =intfrac{d^4q}{(2pi)^4}frac{(Pcdot (q+P))(q^2+M^2)-(Pcdot q)((q+P)^2+M^2)}{(q^2+M^2)((q+P)^2+M^2)}\ =intfrac{d^4q}{(2pi)^4}frac{(q^2+M^2)P^2-2(Pcdot q)^2-P^2(qcdot P)}{(q^2+M^2)((q+P)^2+M^2)}\ =intfrac{d^4q}{(2pi)^4}left[q^2+M^2-frac{2(Pcdot q)^2}{P^2}-qcdot P ight]int_0^1frac{1}{((1-x)(q^2+M^2)+x((q+P)^2+M^2))^2}\ =intfrac{d^4q}{(2pi)^4}left[q^2+M^2-frac{2(Pcdot q)^2}{P^2}-qcdot P ight]int_0^1frac{1}{((q+xP)^2+M^2+x(1-x)P^2)^2}\ =intfrac{d^4q}{(2pi)^4}int_0^1frac{(q-xP)^2+M^2-frac{2(Pcdot(q-xP))^2}{P^2}-(q-xP)cdot P}{(q^2+M^2+x(1-x)P^2)^2}\ =intfrac{d^4q}{(2pi)^4}frac{q^2+M^2-frac{2(Pcdot q)^2}{P^2}+x(1-x)P^2}{(q^2+M^2+x(1-x)P^2)^2}\ =intfrac{d^4q}{(2pi)^4}frac{frac{1}{2}q^2+M^2+x(1-x)P^2}{(q^2+M^2+x(1-x)P^2)^2} end{align}$

在手征極限下 $P^2=0$ ,我們有

$0=intfrac{d^4q}{(2pi)^4}frac{frac{1}{2}q^2+M^2}{(q^2+M^2)^2}$

這是一個重要的結論。關於費曼還有很多巧妙的小技巧，下次有空再更

巧妙？

delta函數吧。

凡是用delta函數的都挺巧妙的，它為物理系的同學們省去了大量學數學的時間。23333………

問題：

在一個無限大的平面中，有四個不停行走的小人投影甲乙丙丁。每人速率恆定但不見得相同，四人行跡分別維持在四條兩兩不平行的直線上。

這天，甲走著走著撞上了乙。由於他們只是投影，所以馬上互相穿過，各自的速率與行跡都不改變。而後，甲又撞上了丙。已知在此之前，甲未曾與丁相撞。

又知，乙與丙在跟甲相撞前均與其他兩人撞過（乙丙丁兩兩相撞過），但乙丙丁不是同時相撞的。

請證明：甲會與丁相撞。

————————可以先自己思考下噢————————

這個問題本身也不是很難，但是證法可以很巧妙。

巧證一：

建立三維坐標系Oxyt，點(x,y,t)表示在t時刻處在(x,y)處。則四人行跡在坐標系下是四條兩兩不平行的直線，兩直線在t=t0處相交代表兩人在t0時刻相撞。

由於乙丙、乙丁、丙丁相撞過，故直線乙丙相交，乙丁相交，丙丁相交，且三個交點不同，於是乙丙丁共面。

又因為甲乙、甲丙、丙丁相撞過，同理甲乙丙共面。

於是直線甲乙丙丁共面，而甲丁不平行，必存在交點，也就是說，甲丁必相撞。

【這個解法與一維上的汽車追逐相撞問題圖像解法異曲同工，但是高一個維度，卻難以想到。】

巧證二：

以乙為參考系。另外三人的行跡線是三條直線。

丙、丁與乙相撞過，所以他們的行跡與乙點相交，又因為丙丁在另外的點相撞過，即兩線交於除乙外的另一點，於是丙丁行跡線重合。

甲、丙與乙相撞過，而甲丙在另外的點相撞過，同理，甲丙行跡線重合。

於是甲丙丁行跡線重合。

顯然，除非甲丁速度相同，否則甲丁必定相撞（如果甲丁速度反向而相互遠離，或者速度同向而快者在慢者前方，則逆推可得在過去甲丁相撞過，違反了題設，所以這是不可能的）。

但是他們在乙參考系下不可能速度相同，否則原行跡必定平行（原速度=乙參考系下速度+乙原速度，若乙參考系下速度相同，則原速度相同，也即運動方向相同）。

因此，甲丁必定相撞。

【這個證法用的相對思想很巧妙，雖然敘述上看起來可能不是很簡單，但是理解後會發現是一種極其簡單的證法，其實只有一句話：在乙參考系下，另外三人行跡共線。】

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更新：

根據評論，搜索了一下《200道物理學難題》，本題確實在內。

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看了評論決定再改改這個回答…我覺得已經改得很親民了…巧證巧證，就是在於那個「巧」字嘛，本身沒有這種思路的話肯定不容易理解，那就多思考一會唄。

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感覺有點點跑題……

這個問題我是從巧妙的數學證明過來的，當時想到了這個問題的巧解，然而似乎又不適合在數學裡面答……

順便推一下在巧妙數學證明下的回答（雖然挺老套的）

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特別鳴謝我合作的 @耗子

我想最美的推倒應當是Langevin方程吧，就是研究布朗運動的那個.

把我當時做Presentation的PPT發上來

核心思想就一個，將單粒子長時間無規則運動轉化為大數粒子的統計平均。

這個小彙報同時利用這種方法做了勻強場下（重力場）的無規則運動

結果擬合出來就是按重力勢的玻爾茲曼分布；

以及線性引力下的無規則運動，

結果類似Maxwell速率分布（二次型分布——與離心勢類似）。

得到了統一的結果，勢場下大數粒子的統計平均就是按其能量的玻爾茲曼分布。

後面也利用了Fokker—Plank方程進行了嚴格證明。

毫無疑問是諾特定理了。Where there is a symmetry, there is a conservation. 定理的證明好像是數學的（還沒看懂害羞臉），但是在場論中，如果拉氏量在一個變換下保持不變，則對應一個守恆量。例如，相位變換不變性對應電荷守恆，時空平移不變性對應能動量守恆，空間旋轉不變性對應角動量守恆。廣義相對論中也有。將對稱和守恆量聯繫起來真的很巧妙也很美妙。

諾特是位女數學家哦

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有人評論說「問題問的是『推導』」，那麼我想說的是推導在任何一本量子場論書中都有，我就不貼上來了（主要是懶也沒有必要），我之前看的是周邦融的量子場論，沒看懂，看到樓下的評論後看了一下黃濤的量子場論導論，看明白了。

這個推導的巧妙之處在於並沒有特別指定某一種變換來得到的守恆流和守恆荷。所以一旦證明完後，你只要找到是拉氏量保持不變的變換後就可以找到相應的守恆流和守恆荷了，就好比張無忌練完九陽神功（證明完諾特定理），然後就可以很容易的練其它的武功了，例如乾坤大挪移（得到各種守恆，例如能動量守恆、角動量守恆、重子數守恆、電荷守恆等）

由麥克斯韋方程組推導出平面波的波動方程，有種蜜汁快感，尤其是幾個deata的各種叉乘點乘，有種化繁為簡的大道在裡面。
從經典力學的角度，對哈密頓量從時間上和空間上分別作用，從而推導出薛定諤方程，也是特別過癮。（經典與量子，where is the bound？）
HOM干涉中，同時到達BS的兩個光子竟然會選擇。。。同時從一個口出去！這兩個光子估計是好上了。（雞賊的光子！）

Zeta function regularization

1 + 2 + 3 + ... = - 1/12

算不上最巧妙，但是我覺得有點巧妙，就是通過法拉第電磁感應定律推導出洛倫茲力公式，一般都是用洛倫茲力公式反過來解釋動生電動勢，但是按照歷史順序，法拉第電磁感應定律在前。因為麥克斯韋方程的積分形式包含了積分區域，所以就存在積分區域變化的情況，但微分形式把積分區域給舍掉了，所以微分形式不能推出洛倫茲力（不太會插入公式，在word上寫了一下，還是截圖吧）

講一個簡單的，就是n個帶正電的導體球，靜電平衡後至少有一個球處處不帶負電荷。

就是巧妙的選了一個電勢最高球，一個電勢最低球，用反證法。假設電勢最高球上若有負電荷，則有電場線指向負電荷。電場線不可能來自自身（導體等勢），不可能來自其他球，只能來自無窮遠。而另一方面類似有電勢最低球上正電荷發出電場線只能指向無窮遠，則最低球電勢高於最高球，推出矛盾。感覺這裡的反證法與排序特別機智。

高中物競狗一隻，還望dalao不要覺得我無知。

命題:

地球上必然存在一對剛好在地球對立面的兩點（相對於地球球心對稱），他們擁有相同的溫度和氣壓。

這就是著名的【博蘇克-烏拉姆定理】，具體的證明過程其實很容易理解，但是闡述起來有點抽象，就不細說了。

有興趣的可以去搜索一下具體的證明過程。

沒有興趣其實也可以就了解結論，這個定理本身還是很有趣的有木有?

補充:

以下是涉及原問題討論的一個B站視頻:

http://www.bilibili.com/video/av9885078

都是拓撲學的內容。挺有趣的，即使沒有了解過拓撲也可以比較容易的理解。當然要徹底搞懂就是另一碼事了。

另外視頻原本討論的【分贓問題】也很有趣。結論很簡單，但是容易讓人捉摸不透為什麼。

由開氏表述推出克氏表述，再由克氏表述推出開氏表述，物理學教材中文字推理的巔峰。

麥克斯韋方程組，，，我認為沒有之一。

四種表達一種原理的推導，作為電磁學整個體系的理論基礎，簡直奇蹟。

各種思想實驗和反證法:

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伽利略思想實驗

重物比輕物下降更快

為了反駁亞里士多德的自由落體速度取決於物體的質量的理論，伽利略構造了一個簡單的思想實驗。

根據亞里士多德的說法，如果一個輕的物體和一個重的物體綁在一起然後從塔上丟下來，那麼重的物體下落的速度快，兩個物體之間的繩子會被拉直。

這時輕的物體對重物會產生一個阻力，使得下落速度變慢。但是，從另一方面來看，兩個物體綁在一起以後的質量應該比任意一個單獨的物體都大，那麼整個系統下落的速度應該更快。

矛盾,所以亞里士多德的理論是錯誤的,下落速度與物體重量無關。

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測不準帶來的一系列有趣現象

抵抗黑洞的防線

為什麼當引力大於原子間排斥力的時候還是不變成黑洞?

電子的動量和位置,滿足不確定關係,無法同時被確定.

引力增大電子的活動空間越來越小,但是電子拒絕被測准.

於是電子會因為動量的不確定而以海森堡速度運動，並貢獻出壓力.

這個力就是電子簡併壓,當電子被更加巨大的壓力強行壓進原子核後同樣的事情發生在中子身上.

這時星體被稱為中子星,中子簡併壓是抵抗形成黑洞的第二層防線.黑洞形成還要克服巨大的中子簡併壓.

貝肯斯坦思想實驗

黑洞能抹除物體的幾乎一切信息,黑洞反熵

黑洞如果反熵就成功違反熱力學第二定律 ,要麼熱二錯了要麼黑洞的熵不知道高到哪裡去了.

一個給定波長的光子，按照不確定原理，它的位置是完全不確定的，彌散於整個宇宙空間。

於是頻率(波長)完全確定的光子位置就是完全不確定的。按說這樣的光子沒隱藏任何信息，因為它均勻地充斥於整個空間，其可能的微觀態沒有任何選擇的餘地。

但時空有了邊界就不一樣，黑洞事件視界把空間分成內部和外部兩個部分，於是它隱藏了一個比特信息，從而熵非零。當黑洞吃進這個光子，這個光子就不能選擇存在於黑洞外部，於是黑洞隱藏了這個信息，它的熵增加了。

當然這個光子在黑洞內部也可能有不同的位置，也就是有更多不同的微觀態，從而黑洞隱藏了更多的信息。怎樣才能使這個信息恰好是一個比特呢？那就讓這個光子正好「撐滿」整個黑洞，從而讓它在黑洞內「無可閃避」，只有一個位置選擇，這樣這個光子的波長正好等於黑洞直徑就可以了。

更長波長的光子會被黑洞散射，而不能被吸收。直觀上，黑洞的「肚子」太小吃不下個頭這麼「大」的光子。

所以黑洞的熵全在視界熵,黑洞不違反熱二且熵高到不知道哪裡去了.

真空零點能的存在

這個也可以用不確定性來解釋,雖然粒子溫度越低運動越慢.

如果粒子完全停下來，那它的動量和位置就可以同時精確的測知，而這是違反測不準原理的。當溫度降到絕對零度時粒子必定仍然在振動,這種粒子零點振動所具有的能量就是零點能。

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非物理專業的物理愛好者,如果有問題請指正.

凡偉的「電荷不存在」和推翻牛一的證明

物理相比數學，很多時候的「巧（liu）妙（mang）」之處在於：我是對的我不管，你要不信你來證。或許這就物理直覺的可愛之處╮(╯▽╰)╭

說回正題，談談自己高中搞物理競賽時感受最深的三處推（xuan）導（xue）。

光速不變原理。愛因斯坦於1905年提出，基於此可推出「尺縮效應」和「鐘慢效應」，天知道這給當年的青春少年造成了多大的心理震撼，說世界觀的重塑也不為過。這也很好地解釋了為什麼光速的簡寫是 c （constant）。一束光，穿越了不知多少光年，只為告訴你：我是不朽噠。
波粒二象性。還是1905年，愛因斯坦先用「光量子」解釋了光電效應，然後德布羅意在1924年補刀，用「物質波」一統江湖。僅靠一頁紙作出了史上最短的博士論文，並獲得了諾貝爾獎。那張紙上有著這麼一個公式：λ=h/p。
測不準原理。海森堡於1927年提出，ΔqΔp≥h/4π，位置和動量不能同時測准。p×q≠q×p，先觀測動量再觀測位置，與先觀測位置再觀測動量不同！只是因為在人群中多看了你一眼，你的容貌在我腦海中多了一分不確定性~

憶往昔，崢嶸歲月稠。還記得曾經刷過的《物理學難題集萃》嗎？

約翰伯努利對於最速降線的解答

統計物理僅用熱一熱二，設一個函數湊一個全微分就能證一個結論，尤其是證明玻爾茲曼分布係數為1/kT的那一步操作令人振奮。

熱力學裡好多證明都好神奇。比如從一句「卡諾熱機效率最高」一路推得「1/T是dQ的積分因子」。還有各種反證。

還有就是朗道說明相對論下歐氏幾何不成立時舉的圓盤轉起來後周長與半徑之比不為2π的例子。

電動力學：在一個勻強電場中加熱一個導體球，這個導體球能釋放出多少電子？

接地處理行了。。。。。。。