如何「一維無限深勢阱中，單一粒子體系下，體系的溫度為0」？
這裡你可能有一個概念錯誤。玻爾茲曼分布里的玻爾茲曼係數$e^{-frac{E}{k_BT}}$並不是一個疊加態裡面各個本徵態前面的組合係數。玻爾茲曼係數是當你用密度矩陣來表達一個混合態，將熱力學混合態的密度矩陣分解為每個能量本徵態的投影算符的組合的時候，每個投影算符前面的係數。一個疊加態是純態，而不是混合態。老師的解釋我也不大理解，但我的看法是孤立的單粒子本身無法定義溫度，但是可以考慮單粒子處在一個有限溫度的環境里。有限溫度體系的定義就是
，
是溫度的倒數，
是哈密頓算符，
是密度矩陣。
一切取決於你的
下的態密度矩陣。如果你的
單粒子無法定義溫度
首先要搞清楚系統的宏觀量和微觀狀態量，像體積、溫度、壓強、能量等是宏觀量，粒子的速度、質量、粒子動能是微觀狀態量。
宏觀量是系統的平均值
對於單粒子體系，又處於無限深勢阱，可以認為這個時候這個單粒子就不與任何物質發生相互作用，那麼它的所有微觀狀態量是不變的。對於它的宏觀量的描述是毫無意義的。
剛好兩周前我們課上也有人問了相同的問題。
先說題主原本問老師的問題：
Boltzmann（或類似的） distribution不能用於判斷每個本徵態的線性組合係數。
題主可能想問的是，既然每個能量本徵值和粒子能量期望值是確定的，為什麼不能像Boltzmann分布那樣給出粒子處於每個能級的概率？因為Boltzmann是大量粒子的統計學平均結果，對單個粒子的state當然不適用。（個人理解，如果不嚴謹請指出。）
類比一個經典力學中的例子：
吹笛子的時候，可以控制空氣柱（勢箱）長度和吹的力度（能量期望值）相同，但吹的方式不同。這樣可以得到基音（基態）和各泛音（激發態）所佔比例（線性組合係數）不同的聲音。再說題主所說的老師給出的回復：
我不是很懂前後的邏輯，但是結論是和上面說的相反的，單個粒子顯然可以不處於基態。此外定義溫度一般也是要基於大量粒子的。換個思路來想，單粒子體系只能處於基態的話，氫原子就沒有激發態了╮（╯＿╰）╭1，近獨立子系的玻爾茲曼統計中，全同粒子間沒有相互作用，所有粒子的能量級都是一樣的。我們把N個粒子「撒」在一個粒子的能級上，來分析其統計規律，進而得出最概然分布，導出熱力學函數。玻色分布和費米分布也是這樣，只不過模型中全同粒子具有的性質不同。
2，推導最概然分布時，我們有能量守恆和粒子數守恆兩個約束條件(當然對於光子就沒有粒子數守恆那個約束)。對於溫度，實際上就是由推導最概然分布時的一個拉格朗日乘子(能量守恆那個)。我們可以從系綜理論中更自然的確定它。
3，對於單粒子，無限深方勢阱。能量守恆，粒子數為1。那麼體系就只有一種分布，這個分布對應的微觀狀態數是1，沒有表現出統計的規律。
4，微觀狀態數為1，由布爾茲曼關係，熵S=0。
在近獨立子系統計中，熱力學量是由大量粒子的統計規律給出的，單粒子沒有這種性質。不過，我們考慮無限深方勢阱中的N個粒子，給定總能量E，我們可以導出這些粒子的最概然分布，導出配分函數，最後計算體系相關的熱力學量。
…不是學物理的，但是你確定單粒子可以定義溫度？
溫度在熱力學與統計物理中定義是粒子群體熵的宏觀表現，因此對於題中的粒子定義溫度貌似沒有意義
我覺得這個問題不在於一個粒子能不能定義溫度，而是這個粒子被放在一個無限深的勢井中，我們一般覺得它無法與外面的熱源發生相互作用了。反過來說，一個放在空氣中的諧振子就可以定義溫度了，統計力學裡面的練習題經常做的。
一維無限深勢井研究的是特殊情況下的求解薛定諤方程。而溫度不是薛定諤方程的函數。同理壓力等宏觀觀測量也是無關。拓展一下，對於從頭算來說，體系的總能量都都是近似求解薛定諤方程獲得，溫度/壓力根本沒在過程中體系。還有理解上可看@霍開拓 的回答。也可在這個問題上讓自己進一步理解宏觀觀測量與微觀狀態兩這兩個詞。統計有兩種，一種是同時對多樣本統計，一種是對單一樣本長時間多次統計。看統計結果，一種是分布穩定，一種是不存在穩定分布。
熱力學量都是統計概念。單個粒子沒法定義溫度
單一粒子溫度沒有意義，沒法定義單一粒子的溫度，或者說單一粒子沒有溫度，而且統計的規律是大量粒子表現出來的行為，只考慮一個粒子體系已經不適用了。
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