是不是很多放縮的題的題目都很簡單答案卻很複雜？為什麼？

01-13

我覺得那些放縮的題都是題目很簡單，比如給你個不等關係讓你證明，結果一看答案的時候，答案總是經過好些步複雜的放縮，最後才正好得出結果。
我很納悶，他怎麼知道那樣放縮就可以得出結果？還有好些題，根本就沒有任何理由，直接就生湊，搞得我自己寫的時候根本不知道該往哪方面想，不知道要放成什麼樣。
比如這個證明：
（1-1/3）（1-1/3^2）……（1-1/3^n）＞1/2
答案是這樣的：

先數學歸納

證明（1-1/3）（1-1/3^2）……（1-1/3^n）＞1-（1/3+1/3^2+……1/3^n）
然後在把後面的等比求和
最後算出來正好是1/2

我就納悶了，這是怎麼想的？他是未卜先知嗎？根據題目看，這跟中解法沒什麼聯繫啊？

我覺得我們說一道題是難難，意思是很少人能想到、知道怎麼去做。什麼叫世界難題，就是集數萬人之力數十年都不能找到方法的題目。然後難題也是相對於人來說的，而且也依賴於人生命的階段，不斷的學習原來的難題也會變得顯而易見。在小學的時候，什麼錯位相減，等比數列求和，列項相消法應該算是十分難的題目了，但到了高中，這些題目都是送分題。或者打個比喻，解決數學問題就像在叢林中行進一樣，常去的地方很熟悉方向，又踩出了條方便行走的路，所以很快就能到達。少去的沒去過的地方，荊棘叢生難以通過，又不知道方向，所以無從下手也是正常的。
原來聽老師說過一句話蠻有道理的：「當一個方法多次出現的時候它就變成了一個技巧，當一個技巧多次出現的時候它就變成了一個思想。」

來看下這個例子，看看裡面有什麼技巧和思想：

從這個式子（1）：（1-1/3）（1-1/3^2）……（1-1/3^n）＞1/2

到這個式子（2）：（1-1/3）（1-1/3^2）……（1-1/3^n）＞1-（1/3+1/3^2+……1/3^n）

有兩件事情，第一個是不等式（2）怎麼得到的。第二件事是為什麼看到（1）就應該想到（2）。

第一個事情，我不是很喜歡數學歸納法，因為有些時候這個方法不說明事情的本質。但我這裡也不具體證明，直接說第二個，我希望從直觀上看出結果。

為了我打字方便用下求和號和連乘號。

求和號_百度百科

$sum_{i=1}^{n}{a_i}=a_1+a_2+a_3+...+a_n$

$prod_{i=1}^{n} a_i=a_1a_2a_3...a_n$

下面那個就是把上面那個的加改成乘，其他的都一樣。

按照記號不等式2就是下面這個。

$prod_{i=1}^{n} {(1-frac{1}{3^{i}})}>1-sum_{i=1}^{n} {frac{1}{3^{i}}}$

我再弄的抽象一點，這樣一個連乘的式子 $prod_{i=1}^{n} {(1-{a_{i}})}$ ,這樣一個連乘的東西展開後，很自然可以按照下面這樣歸類，是一堆單個數的求和，加上兩兩相乘的求和，加上三個相乘的求和。。。。。

於是式子（3） $prod_{i=1}^{n} {(1-{a_{i}})}=1-sum_{i=1}^{n}{a_{i}}+sum_{i+j=1}^{n}{a_{i}a_{j}}-sum_{i+j+k=1}^{n}{a_{i}a_{j}a_{k}}+....$

回到原來的式子 $prod_{i=1}^{n} {(1-frac{1}{3^{i}})}$ ，這裡的ai都是大於0小於1的。注意到大於0小於1的數相乘是越乘越小的。可以想像（3）右邊每一堆被求和的元素都是越來越小的。但同時被求和的項目是越來越多的，比如n=4的時候，單個數有4個，兩兩乘的有6個。一個小，一個多最終結果還不好說。但是注意到項數是多項式（組合數），而被求和元素是按指數縮小的。指數是比多項式厲害的，所以最後還是縮小的。

那麼式子（3）右邊一項比一項小，對整個式子的影響程度一個比一個低，也就是說價值一個比一個低，話句話說我忽略它也沒關係。比如n=10的時候，第一項是1，第二項是0.4999，第三項是0.083304。第三項就第二項1/10的樣子，根本不是一個數量級，忽略他的影響合情合理。後面的第四項遠小於第三項，我們把他們加個括弧合在一起，那麼結果是個正數。後面的依次類推。所以，左邊是大於右的第一項加第二項。

現在可以理解式子（2）是怎麼出來的吧。式子（2）右邊兩項是左邊的主要部分，所以抓大放小。

在複雜事物自身包含的多種矛盾中，每種矛盾所處的地位、對事物發展所起的作用是不同的，總有主次、重要非重要之分，其中必有一種矛盾與其它諸種矛盾相比較而言，處於支配地位，對事物發展起決定作用，這種矛盾就叫做主要矛盾。正是由於，矛盾有主次之分，我們在想問題辦事情的方法論上也應當相應地有重點與非重點之分，要善於抓重點、集中力量解決主要矛盾。

到這裡完了嗎？我覺得還沒有，到這裡的話，這還是一個技巧。我們進一步地看。

這些就是泰勒展開公式，確切的說是在z=0處的泰勒展開公式，意思是左邊這些函數等於右邊這些多項式的和（無窮項）。

當z很小的時候，比如z=0.1，那麼右邊第二項比第三項大10倍，所以從第三項開始就可以忽略不計。（6，ln（1+z）右邊第一項是0，所以沒寫出來）

按照剛剛的模式，我們可以建立很多不等式，比如 $cos(x)=1-frac{x^2}{2} +(frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!})+...>1-frac{x^2}{2}$

或者這樣一個公式 $(1+x)^{a}=1+ax+o(x)$ ， $o(x)$ 是比x小很多的數的意思，相比x可以忽略。這個式子里主要部分是 $1+ax$ ，1是本來就有的，x為0的時候整個式子就是1， $ax$ 是增加的量，簡稱增量。這也是為什麼叫這個為在x=0處的泰勒展開公式，因為是從x=0,開始增加的。ax這是一個線性函數（就是一次函數），對於線性函數 $a$ 是一個重要的參數，我們稱其為函數在x=0處的導數。導數是增量線性部分的增長率。就是那個a。

高等數學，或者說微積分，就是研究微分和它的逆運算積分。而微分說白了也就是導數。

微分_百度百科，導數_百度百科

再給一個泰勒展開公式 $sin( heta )= heta-frac{ heta^3}{3!} +...$ ,所以當 $heta$ 小的時候， $sin( heta )= heta+o( heta)$ .

物理上，可以回去翻一下書，單擺的部分，有個假設當 $heta$ 小的時候，近似的有 $sin( heta )= heta$ ，原因在這裡。順便一提這裡導數是1。

總結一下，我們要抓住主要部分，忽略相對小的部分，而主要部分有個最重要東西——增加率（導數）。簡單的說就是線性主部，這個是貫穿現代物理學、數學分析學的重要思想。

再用導數的觀點來看原來那個式子 $prod_{i=1}^{n} {(1-{a_{i}})}$ ，導數是跟函數有關的，要變化，所以加個x進去，讓他變成函數。

$prod_{i=1}^{n} {(1-{a_{i}x})}=1-xsum_{i=1}^{n}{a_{i}}+x^2sum_{i+j=1}^{n}{a_{i}a_{j}}-x^3sum_{i+j+k=1}^{n}{a_{i}a_{j}a_{k}}+....$

這樣就很明顯了，x比較小的時候，主要部分是 $1-xsum_{i=1}^{n}{a_{i}}$ ，導數是 $sum_{i=1}^{n}{a_{i}}$ 。

所以，我看到這個式子（1-1/3）（1-1/3^2）……（1-1/3^n）＞1/2，我先會考慮它的主要部分1-（1/3+1/3^2+……1/3^n），算一下他是不是大於1/2，是的話就完了，不是的話就繼續估計後面被我忽略掉的部分。所以是很自然的。到這裡，我覺得這個1/2是湊好的，因為這個1/2不是最優下界，也就是還可以再大點，但假如再大點就會很困難了。

再順便介紹一下高等數學。一個東西比較複雜難以得到，那麼自然地我們就會用其他的東西去替代它，同時又希望替代品和原來的東西足夠的相似，使得我們在使用過程中不會有問題。比如電腦顯示器上的圖象，那是點陣的近似。遊戲里的3D模型，那是多面體的近似。圓我們可以用多邊形近似。物理實驗為什麼有誤差，為什麼允許一定程度的誤差？就是這個思想。現實世界是複雜的，很多我們需要的東西不可能是完美的存在的，所以我們要使用近似的替代品，這是十分樸素的思想。所以，其實還可以更進一步，「要抓住主要部分，忽略相對小的部分」，這實際上是在做這樣一件事情——逼近。函數複雜，我們就使用簡單的（一次函數是最最簡單的函數了），而且是主要的部分去逼近它，同時兩者很相似（其他部分相對小，可以忽略）。逼近應該是在整個現代科學中都是一個重要的思想。在高等數學中，逼近的對象肯定是數學對象——函數。可以這麼概括，高等數學的主要內容就是在使用無窮這個威力最大的工具來研究如何逼近和估計逼近的程度。

最後某些變態、故意坑人的題目是倒著出題，特地湊出來的。不過假如題目形式是漂亮的，由於數學的和諧美，倒著出的題目，會留下很多線索。這些線索只有直覺敏銳的天才和經驗豐富的人才能發現。天生不是前者，那就成為後者。

最後，關於不等式題目。導數和泰勒公式是個殺器，還有一個就是經典不等式（hodler、排序不等式、柯西、琴生。。。），線性代數的內容有時候也很有效。但是，除非你是搞競賽的或是有高人指導，否則不要自己去研究。研究出題人怎麼想的，完全沒必要，刷題才是王道。上面的算是我瞎扯的，對高等數學的一些科普，希望你能領略到數學的美。但是，重要的要多說幾遍，刷題才是王道，做好分內工作才是正事。
簡單的，可以參考伯努利不等式，也就是這個不等式的名字。

其實做放縮沒有那麼困難，我不想說的太高大上一來就拿許許多多的公式和證明，你提到的解法其實是一種很常規的思路，只是你沒有見過。在高中的放縮你需要結合的是你所學過的知識，例如求和或者連乘，無限項相加減我們好像只學過兩個基本的公式，等比數列與等差數列，所以遇到相關的我們只能往這二者上面靠，這是大致的思路。題中的暗示就是1-1/3^n中那個1/3^n,我相信你看到不會沒有想把他們加起來的衝動，接下來就是往你知道的方向轉化。你以後做題會碰到各種各樣的放縮，例如連乘用ln 化為連加，基本的像ln(1+x)&1/2,(1+x)^n&>1+x^n等等你可以自己積累，大部分遇到的就是往最終的等比或者等差（一般就是列項）轉了，可能有的狡猾一點他不是從第一項就開始轉，而是前面幾項不動後面幾項開始放縮，難一點的我也遇到過用積分放縮，其實不太建議高中就去接觸大學的級數，泰勒展開，高中的更多的訓練思維，用已經學到的去解決未知的，我反而覺得更加有趣，你需要掌握的是如何去想，一千道題有一千種解法，解法是無窮的，但是思想是單純的，接下來你只需要大膽的假設，小心求證。深夜手機碼字有錯誤的話還請見諒。

對大多數人來說，放縮的技巧就是要靠積累，還有一些可能就是有些人在做了學習研究了一些什麼定理公式然後想到這個方法好像也可以用到某某題目中，或者是有的人能把一些常人看起來不直觀不顯然的結論看得理所當然…然後一些比較經典的方法流傳了下來就這個題目而言，你所說的先用數學歸納法證明的結論好像是伯努利不等式推論的推廣的特殊情況，所以這個就是積累，也許課本上沒有，老師可能也沒講，但是你在哪裡看到過，然後記住了

對，要麼是若干年若干人的歷史努力，「經典」題目

要麼是倒著出題。

數學很神奇講究順理成章。所謂答案上的不妨設和易得在不會的人眼裡是異想天開，會的人眼裡卻是一拍即合。很不幸我屬於前者，但一定要有自信。數學，即哲學。

用伯努利不等式，再用等比數列求和公式