怎麼定義數學上的「顯而易見」？

01-13

吐槽什麼的就不說了。
昨天證某個等價命題的時候一直想不通，寫完證明才有種「這簡直是顯而易見的」的感覺。
所以當一個命題的證明滿足什麼性質的時候，我們才說它是顯而易見的？

謝邀：我個人的理解是這樣的：「顯而易見」是「對人」不「對事」。不是命題「真」的顯而易見，而是作者覺得讀者應該能發現「這個命題顯而易見」。

嚴格的說，任何命題都需要證明才行，沒有哪個是「顯而易見的」。但是，實際寫書／寫論文／的過程中，我們不可能有時間，也沒必要把每個命題都從基礎的(ZFC)公理出發得到。我們的目標是什麼？是「讓目標受眾能夠看懂」即可。不管任何寫作，你一定要明確自己寫給什麼水平的人看。實際數學寫作的過程中，一個很重要的關鍵是把握證明／說理的詳略。不寫得啰嗦，又寫得明白才是難點。

所以，當一個負責任的作者寫下「顯而易見」的時候，他假定的是目標觀眾／讀者能夠瞬間理解／證明這個命題。如果你看一本書／論文，發現很多「顯而易見」不那麼顯然，甚至你壓根證明不出來，很可能的原因是：這本書對你來說還太早了，呵呵呵呵，趁早換本書吧。

但是，有一說一，很多數學家寫「顯而易見， it is obvious/it is easy/it is not difficult to see/「這句話的意思是：老子不想花時間寫這些簡單的廢話，你看不懂我也只能呵呵。還有一個比較惡劣的的情況是：其實老子也不清楚，那就這樣吧。

在實際的論文中，跳步驟什麼的是很常見的，而且有時候他們只用一個「所以」帶過。

謝邀。

有時候他連「顯而易見」都不會說，很多情況下他不聲不響就給你過去了。我直接粘貼我正在看的論文里的一個段落吧：

「

Theorem 1.3 (Face Soul Lemma). Suppose M/G = M has nonempty boundary with more than one face, and let ?i ? ?M be a face.

Then

(i) there is a unique point si ∈ ?M, at maximal distance to ?i, and Ssi is homeomorphic to ?i;

(ii) there is a homeomorphism C(?i) → M which is the identity on ?i and takes the cone point to si;

(iii) a stratum of M is either contained in ?i, or in M ? ?i. In the latter case, it is either the interior minus cone point of a cone on strata contained in ?i, or si by itself;

(iv) M is equivariantly diffeomorphic to the union of a tubular neighborhood of the face soul orbit Gsi, and a neighborhood of π?1(?i).

The first version was presented in [11] with a slightly different formulation. Its proof is based on critical point theory for distance functions (cf. [13, 9]), and the fact that the distance function to the boundary is strictly concave (cf. [5]). The proof of the second theorem is basically the same and uses no new ingredients other than the observation due to Wilking that the distance function to a face is strictly concave as well. For this, it is important to note that the angle between any two faces is at most π/2, which is a simple fact about cohomogeneity one actions on spheres (cf. Section 2).」

第一段是陳述了一個定理，但是一路看下去是不是覺得少了點什麼？對的，他只陳述了定理卻沒有給證明。第二段大概講了一些證明思路，大概告訴你用什麼樣的方法／理論去證明，然後給了一些參考文獻，你要自己去看參考文獻，去學相關的理論，才能自己琢磨出這個證明大概是怎麼回事。很多專業數學論文就是這樣，為了節省篇幅，突出主線，不是每個列出來的定理他都會給你證明，只是他自己做的原創的主要定理他才會給證明。像我上面舉的那個例子，他就相當於直接把這個定理當成了一個工具箱，大概給你說一下這個定理怎麼來的，給你列一下參考文獻，或者乾脆簡單粗暴地「顯然／容易證明」，就直接跳過去了。至於你信不信（這個沒給出證明的定理到底對不對）？那就是你自己的事情了。。反正審稿人信了。。

其實我感覺這種處理方式確實會造成一些「詐證」的情況。比如一個命題，圈子裡面的大牛都相信是對的（都覺得顯然成立），但是誰都沒有寫出一個完整的證明，然後大家就默認是對的。然後可能過幾年一個初出茅廬的小夥子看一眼，「誒不對啊，好像有個反例」，於是他就構造了一個反例。然後有兩種情況：1.這個反例是個「不嚴重」的反例，也就是把定理的前提和結論稍微改一下仍然是對的——當然在這種有人質疑的情況下，領域內的專家們一般會認真檢查修改後的命題確實是能被證明的。2.這個反例是個實質性的反例，原來的命題不僅僅是錯了一點點，而是在一般情形下就是錯的。然後這個年輕人就在領域內出名了，那個反例也就自然以他命名了，他大概也能博士順利畢業了。

PS: 說點跟問題無關但是跟我貼的文章有關的。這篇文章是Grove和Kim寫的，題目叫Positively Curved Manifolds with Low Fix Point Cohomogeneity. 我正在讀這篇文章以學習「靈活運用靈魂定理的一些技巧」。我貼的那個沒有證明的定理，我相信大體是對的（因為跟我的直覺是相符的。。），但是表述的細節上可能有些問題。

可以有精確定義, 拿互動定理證明器來說, 如Coq, Agda或Lean等程序, 若某個策略(自動搜索證明的程序, 用來補全空缺的證明步驟)在該領域中使用超過10次以上稱常用策略, 若一個引理可由一系列不超過5個的常用策略組合補全, 稱其為顯而易見

這樣的就叫顯然

補一張

存在眾所周知的機械化計算方法的。

比如大學階段解一元二次方程（三次四次雖然有求根公式但一般沒什麼用）就可以直接寫結果。

再比如一些平面幾何題。

存在眾所周知的機械化驗證方法，有某個唯一性定理保證的。

比如在非微積分為主題的課程上，不定積分可以直接寫結果，反正你可以驗算。

一些特殊的微分方程，可以猜出解，然後檢查一下，嗯，確實是個解。

一般是本命題是已前文已討論過的定理的特殊情況，或者是預備知識中熟知的結論。

其實還有不妨設，就是所討論特殊情況並不影響問題的本質。

哈代曾經做報告，寫下了一個東西，然後說，「這是顯然的...」然後感覺有點不大對勁，因為似乎不那麼顯然。然後他就在想…哈代有個習慣，思考的時候喜歡踱步，走著走著就走出教室了。20多分鐘過去了，正當人們懷疑哈代還進行不進行的時候，哈代回來了，沖著下面的聽眾笑了笑，說「這的確是顯然的。」

「顯而易見」：如果你前面的內容以及該書的前置課程都學得還不錯，那麼你應該可以在很短時間內想到這個命題怎麼證，所以我就不多解釋了。

說一件事吧。2005年上半年，我在PKU讀博士，選修了數學院李東風老師的時間序列分析課。期中考試考了63分（PKU都是70分才及格）。

我拿到試卷之後，發現有一道題目，我明明寫對了答案（答案是0），卻被判了0分。課間我就去找他討說法。

他瞅了一眼，說：「你的答案是對的，確實等於0。但是你只寫了兩步就給出了答案。要把所有步驟都寫出來才行。」

我說：「這要什麼步驟？一眼就能看出來，理所當然等於0嘛！」

他嚴肅地說：「在數學上，沒有理所當然的東西！」

我楞了一下，灰溜溜地走了。迄今十幾年了，記憶猶新。

考試的時候遇到推不下去的地方，就加一句，顯而易見。

有些顯而易見非常友好，而且激發讀者思維，比如特侖蘇的analysis，基本屬於不動筆一想就能感覺到，反之，有些顯而易見彷彿無時無刻告訴你你是個傻逼，參見：Peter Lax，Functional Analysis。

所以，大多數顯而易見是因為作者比較懶，少部分你認為是在裝逼，但是作者的意思很明確，我不是寫給你這種蠢貨看的。。

媽的，好氣哦。

三種情況：

1.這個問題真的很簡單

2.作者自己也不知道，那就糊弄一下

3.你需要對作者眼中是常識的東西多加了解

顯然、注意到和不難發現

簡直就是數學最難的三個分支

看了別人的回答，好好答一下。

個人認為是這樣的，數學邏輯過程應該可以分為三個層次：

1.直接用因為所以

2.顯而易見

3.需要寫出具體過程

所以顯然應該適用於，不存在直接邏輯關係但是在作者認為可以很直接得看出時。

混過程的不談。

說個例子吧，去年暑假，某個全美前50大學的黑人教授(下文稱作T)來我們院訪問，老闆之前通過計算機提了個猜想，還沒有發表，跟T說了。T很感興趣，回美國之後給老闆來了封郵件，說要跟老闆合作。

老闆讓我檢查，文中各種顯而易見。有些我補充了，但有個地方死活過不去。直接回信，希望T可以提供一個更完整的證明。過了倆禮拜，T終於回信了，說這個方法我們不用了，我們換一套新的辦法……

新的辦法仔細查了一遍，T分成兩種情況討論，一種情況證明沒問題，另一種情況直接同理可證。我實驗了一下，完全不是同理，由於T有前科，我回信要求他補充完整，T還很不樂意，最後老闆又給他發信，才不情不願的開始寫

然後又是各種錯誤，連續錯了十幾次之後老闆終於沒有耐心了，跟T說，放棄署名，只要你提一句是我提出的猜想就好。然後T寫了一個啟發式證明掛在arxiv上了

數學中的「顯然」指一些不證自明的結論，分兩種，一種是看了5秒內能想到的顯然，另一種是5分鐘內能想到的顯然。

我當年上抽代時，課堂上經常出現這種現象：

學渣提出一個疑問，學霸馬上會搶答這很顯然，老師則默默看黑板5分鐘後，說「對，這的確很顯然。」全班懵逼臉.JPG

看你的聽眾是誰。如果你能跟聽眾達成一致協議，那就是顯而易見；否則，talk is cheap, show me the proof.

證明的下一步可以直接或者藉由前面的條件間接引申到某條公理的時候，就是顯而易見

同意dhchen 的答案

顯而易見確實是對人，我有一本高數書，翻開。。。。。。。。。。。。。

顯而易見： ${(a^{x})}$

顯而易見： $int_{L} {}ydl=int_{-sqrt{3}}^{2}ysqrt{1+y^{2}}dy$

什麼破書，不看了!

關於評論:我都說了，是對人，我要強調一遍:我是小學生！所以我當然看不懂，第一個求導公式總是有過程的吧（雖然我也看不懂）

答案：略

如果一段證明你可以在別人問起時立刻寫出，那就可以用顯然代替，否則不能。