標籤：

幾何學數學

如何在田字格中作出一個正三角形？

01-13

不可以用圓規。有可能實現嗎？突發奇想的，試了一下午。
————————————更—————————————
摺紙真的厲害！受教了！
雖然我的原始想法是「格子紙」，就是一張布滿田字格的紙……好吧真的沒有表達清楚，不過如果是格子紙的話（也就是不能摺紙噢）是否也有解決方案？
然後不可以用尺子選取等長的線段= =

----修改後--

摺紙。。。最後連接ABC（不算犯規吧？）

---------------

昨天晚上熬夜熬糊塗了弄複雜了很多...

@劉德岩先發現這個簡單方法的。。。

如果只能連結格點、取交點、連結新交點及格點，結論是不行。

因為這樣出來的點坐標是有理數，但正三角形頂點不能都是有理數。算一算就知道，如果有兩個頂點都是有理坐標，第三個的橫縱坐標一定都如1和sqrt(3)的有理線性組合，至少有一個是無理數。

如果可以摺紙的話，像@晚安角先生那樣折固然可以，不過貌似有更快捷的方式。

手中沒啥好的作圖工具，直接上手了。20秒草圖輕噴。

只要折一次即可。

原理在於AB"=AB和垂直平分線。

正三角形的底邊與高的比值是 $sqrt{3}$ 顯然是個無理數，所以作不出來。

================================================================

補充：

確實是太簡陋了，因為容易引起誤解，似乎我們可以很容易的畫出一條 $sqrt{2}$ 個格子長度的線段。

但是注意這裡說的是，底邊與高的比值，底邊與高的關係是什麼呢？是垂直。所以事實上這裡是在說，我們無法找到相互垂直的兩條線段，使得這兩條線段的長度比是個無理數。我們當然可以輕鬆的作出 $sqrt{2}$ 個格子長度的線段，但是與其垂直的線段我們只能找到 $sqrt{2}$ 有理數倍的，事實上這和把 $sqrt{2}$ 作為格子的寬度是一回事兒。

另外，布滿田字格的紙，和一個田字格的紙，在有尺的情況下是一樣的，因為田字格可以無限細分。

你們要的圖，純手繪

==================

在田字格每個格子里畫個叉，然後把叉的中心連起來，可以得到一個4*4的網格。

或者延長斜線也可以向外無限擴展。

總之現在有了一個只有整數坐標點的直角坐標系。

在 $(1,1)$ 和 $(3,1)$ 之間任取一點為 $A_0(x_0,1)$

連 O $(0,0)$ $A_n$ 交直線 x=3 於 B $(3,y_{n})$ ，其中 $(y_n = 3 / x_n)$

OA交直線 x=6 於 C $(6, 2y_n)$

連 $(6,0)$ 與 $A_n$ 交 x軸於 D $(0, 2y_n)$

連 DC 得直線 $y=2y_n$

連 D - $(1,2)$ 交 x軸於P

連 P - $(1,1)$ 交 y軸於E $(0,y_n)$

（圖片使用 $(2,2)$ 和 $(2,1)$ 兩點，反正是取中點不影響）

連 BE 得直線 $y=y_n$

連 UO 得直線 $y=x$

　交直線 $y=x_{n+1}$ 於 F $(y_n,y_n)$

　交直線 $y=2x_{n+1}$ 於 G $(2y_n,2y_n)$

連 G - U $(2,0)$ 交 y軸於 Q

連 Q - V $(1,0)$ 交直線 $y=2y_n$ 於H $(y_n,2y_n)$

（圖中用 $(2,3)$ 和 $(1,3)$ ，同上是取中點，不影響）

連 FH 交直線 $y=1$ 於 N $(y_n,1)$

（之後取AN中點即為下次迭代的A點）

連 AO , NU 交於 R，連 VR 交直線 $y=1$ 於 $A_{n+1}(x_{n+1},1)$

此處 $x_{n+1}=frac{1}{2} (x_n+y_n)=frac{1}{2} (x_n+frac{3}{x_n} )$

故 $x_infty =sqrt{3}$

連 $(0,0)(0,2)A_infty$ 得一正三角形

=========================

當然這不是解，在尺規作圖中操作必須是有限次，這個方法只是用牛頓法對 $sqrt{3}$ 的無限逼近而已

可以摺紙么？

推薦閱讀：

※志向科研，本碩數學專業（應用數學），博士轉計算機，是否會比本碩計算機的更有優勢？
※想出如何尺規作圖正十七邊形究竟有多難？
※TeX 的腳註怎麼設置比較合理？
※「調和級數」到底是該讀作「tiáo和級數」還是「diào和級數」?
※如何筆算出ln2?

TAG:數學 | 幾何學 |