誰能介紹一下Categorification 以及 Khovanov homology?

Khovanov homology是Jones polynomial的categorification。所謂的categorification，最簡單的情形是當你有一個numerical invariant，或者polynomial的時候，構造一個homology或者cohomology theory，使得它的Euler characteristic給出相應的numerical invariant或者polynomial。這時候Khovanov homology的Euler characteristic給出一個多項式是因為上面有bigrading。

Categorification最簡單的例子是對於CW complex的Euler characteristic，它的categorification就是singular homology。另一個我經常用到的例子是對於symplectic manifold裡面兩個Lagrangian submanifold的intersection number的categorification，即所謂的Lagrangian Floer cohomology。

Khovanov這些年的很多工作都和多項式的categorification有關，但是似乎最重要的工作還是Khovanov homology，這是因為它符合string theory的predication。

在幾何拓撲上，categorification的重要性在於給出refined invariant。比如singular homology包含比Euler characteristic更多的信息。Khovanov homology是unknot detector，而人們還不知道Jones polynomial是否是unknot detector。

另外，Khovanov homology和辛幾何，表示論都有關係。在辛幾何上，Khovanov homology可以通過一個over semisimple ring的 algebra，即symplectic arc algebra構造。在表示論上，許多數學家考慮過Khovanov arc algebra的Koszul duality。Abouzaid和Smith證明了symplectic arc algebra是formal algebra，因此quasi-isomorphic to Khovanov arc algebra。Stroppel用category 給出了Khovanov arc algebra的一種新的構造方式，並且推廣了Khovanov homology的定義。因此，表示論，辛幾何和紐結理論的聯繫也是我所感興趣的。

關於categorification，你還應該看Atiyah的TQFT文章：http://www.numdam.org/article/PMIHES_1988__68__175_0.pdf，這是開山之作。

Youtube上關於categorification的課程Masterclass on categorification:

唉，等了這麼久這問題沒人回答，那還是扔一個鏈接吧：Khovanov本人在ICM的talk，題目是：Link Homology and Categorification，貌似很切題。 (Link Homology就是Khovanov Homology，他本人這麼叫）https://arxiv.org/pdf/math/0605339.pdf