熱力學中這個偏導數如何理解？

01-13

由式子dH=TdS+Vdp，不是說明H是關於S和p的函數嗎，為什麼可以固定溫度T不變？從數學角度如何理解這種偏導數？

孿生問題，如下圖
U不是關於T和V的函數嗎，為什麼可以固定P再進行除以dT ?
此圖上一頁內容為：

以二維平面為例。

通常可以選取 (x, y) 或者 (rho, theta) 作為二維平面的一組坐標系。推廣之，如果在 {x, y, rho, theta} 中任選兩個能不能湊成一個完備的坐標系呢？如果排除掉 x 軸和 y 軸，至少 (x, theta) 和 (y, theta) 是可以的。

現在定義一個二維平面上的函數 f，然後將其對 x 求一階偏導數。那麼問題來了，這個 f 究竟是 (x, y) 空間中的函數，還是 (x, theta) 空間中的函數呢？

舉 $f = x^2 + y^2 = x^2 + (x an heta)^2$ 為例，

在 (x, y) 空間中，對 x 的偏導數為 $2x$
在 (x, theta) 空間中，對 x 的偏導數為 $2x(1 + an^2 heta)$

結論：一元函數微分很自然的確定了獨立變數究竟是誰；而在 n 元函數微積分里，有必要說明其他 (n-1) 個獨立變數究竟是誰——這會影響到偏微分的結果。

事實上，題主所涉及的這部分熱力學是一個二元函數微積分，亦即在 (p, V, T, S) 里只有兩個變數是完全獨立的。這樣，「坐標系」的選取方法就至少有 6 種。

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題主如果學過分析力學，應該對「坐標系」這個問題不陌生吧？在那裡，廣義坐標什麼的更加豐富多彩 orz

來我幫你把省略掉的字都加回去

將式（3-2） $mathrm{d} ilde H(S(T,p),p)=Tmathrm{d}S(T,p)+V(T,p)mathrm{d}p$ 對 p 微分可得
${partial H(T,p)overpartial p}={partial ilde H(S(T,p),p)overpartial p}=T{partial S(T,p)overpartial p}+V(T,p)$

（ $ilde H$ 為（S, p）坐標下的 H 函數，它在數學上和（T, p）坐標下的 H 不同，雖然表示同一個物理量）

三維圖形無法進行求導，只能在二維上進行運算，所以要求固定一個參數才行

H的確是T，V，P，S的函數，但這四個變數之間也有關係，所以選其二即可表達出H呀。還有U那個式子的物理意義是在p一定情況下來求U隨T的變化的程度。向題主推薦主一本書：Atkins" physical chemistry

對於第一個問題，可是試著這麼理解吧，等式右端有dS，把S視為關於T，P的二元函數。那麼H最終還是關於TP的二元函數。

令T不變，兩端同時除以dp，則等式左端為一個微商，其分子為H的偏增量，依據二元函數偏導數的定義，左端可以寫成(?H/?p)T的形式，同理右端的也類似。

如果你問的是為什麼能除過去，那我建議你從微積分看起，這個需要微積分的基礎理論。

如果你問的是怎麼會等溫，舉個例子，在恆溫空間內非常非常緩慢的加壓，在熱量傳導後，保證溫度無變化，所得到的結果就會接近那個等式。

。。。。都寫了若選用T,P為變數了

若選用T,p作為變數
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