電子和 X 射線衍射圖像到底是什麼推算的？

01-13

本人學材料科學的，始終搞不得，為什麼電子衍射圖像就是晶格的倒格子？而且倒格子也是三維的，怎麼投影成二維的衍射圖像？
比晶體更複雜的衍射問題，比如分子衍射（記得 DNA 的衍射圖像好像是個十字）、准晶衍射又是怎麼算的呢？
我知道這屬於複變函數問題，但是複變函數真太難太難了，搞固體物理應該只需要其中一部分吧（畢竟求個圓的面積總不至於從勒貝格積分測度論學起不是），具體哪部分求指點。

說個通俗易懂，有觸感的

激光筆，大家都玩過吧，現在激光筆有那種滿天星的頭，就是一個二維光柵。激光經過這個光柵後，就發生了衍射，射向一系列特定的方向，其實就是矢量 $vec{k}$

拿一個屏，接受這些光束，就會得到下面的圖案：

這個圖案就是衍射圖樣，就是你的二維光柵的倒格子。看到倒格子了，屌不屌？

而在實空間里，是你原本二維光柵上的點陣，具體的模樣就像下面這樣，是在玻璃上印的一系列點陣結構。

電子/X射線是波，可以分解為任意一組基的線性組合， $vec{k}$
材料的晶格是周期的，它裡邊的 potential field 必然含有相應的周期 $vec{g}$
計算電子射入材料的過程中，如果選用的電子的波函數的基中包含有材料的周期，並滿足薛定諤方程，那就是 bloch-wave， $vec{k}_i + vec{g}$
上邊三條的要點是，在晶體中衍射的電子，既有有本身的周期又有晶格的周期；將這個電子的波函數扔入薛定諤方程花樣解之，就能計算出衍射圖像。
一個很粗略的求解梗概我很久之前寫在這個答案里了：之月：怎樣理解布洛赫電子？
大家喜歡在 reciprocal space 解薛定諤方程可能是因為這個方程裡邊含有一個 Laplacian operator，在 reciprocal space 洗乾淨容易
繼續深入請讀這本書 Kirkland, E.J., 2010. Advanced computing in electron microscopy. Springer, New York.
從材料出發計算出衍射圖像叫 simulation，從衍射圖像逆推出材料叫 inversion .
我博士階段的課題是 inversion.

我覺得這個問題還是相當有意思的，恰好最近自己又?叒叕在學晶體衍射??因為同時在學光學，所以不知道能不能從這個方面來嘗試理解一下。

將一個光柵和一個成像屏放在一個透鏡兩側的焦距上，以單色平行光垂直入射光柵，屏上出現衍射條紋。衍射條紋的光強分布可由菲涅耳-基爾霍夫積分計算。這種典型的夫琅和費衍射可以利用傍軸近似簡化菲涅耳公式的形式。手機編輯不太方便就不放公式了，結論是在形式上，夫琅和費衍射與傅里葉變換一致。

這就可以理解信息光學中衍射的含義了，衍射圖案就是具有空間周期性的物體的頻譜。

現在把它用於三維情況。理想的晶體具有良好的周期性，我們把它當做三維光柵來看。那麼，倒格子的含義是什麼我覺得也就可以理解了。數學上，倒格子是正格子的傅里葉變換，就是正格子的空間頻譜。

這是綜合材料和光學的一個理解，也沒向老師求證過，如有錯誤請指出。

可參考趙凱華《光學》第四章衍射和第五章變換光學與全息照相

學材料的沒有學過複變函數，但問題其實不難。

實驗上觀察到的衍射強度 I，無論是電子衍射還是其他的光，是結構因子S(k)的平方乘以其他一些的修正項得到的。主體還是計算結構因子，結構因子越大，衍射強度越強。詳細閱讀 wiki 上的 Structure factor 就足夠掌握基礎知識。

靜態S(k)的定義如下 $S(k)=frac{1}{N}<sum_{i=1}^{N}{sum_{j=1}^{N}{e^{-ikcdot(r_{i}-r_{j})}}}>$

說白了S(k)就是計數，每個計數結果就是k 點積 r。注意這裡的k不是光的波矢，而是scattering vector，即ks-ko,出射光減去入射光。r本身已經由原子坐標確定，每一個k 點積所有的 r就能得到相應的S(k)。k本身為三維矢量，所以最後數據為(kx, ky, kz, S(k)). X-ray, 中子，同步輻射等衍射實驗得到的數據是把三維的k矢量壓縮到一維，具體做法是把所有長度相同的k的S(k)取平均。TEM實際的做法是把所有原子投影到某個二維面上，計算上只需要令該二維面法線方向分量等於零，假設為kz=0, 所以最終得到了二維的衍射圖像。這些衍射的原始數據都是三維的，不同的是不同光的波長和光和物質的相互作用，以及實驗的成像方式。物理圖像清楚，數學需要了再學。

最後放兩張對應的計算結果：

S(k) of hex lattice plane (2D)

圖片編輯著實蛋疼，好像放不了橫排，也不支持tiff格式。

這不涉及到複變函數…拿菲涅耳-惠更斯原理，做一個積分就好了= =可以參考光學書

謝謝邀請，怎麼從三維變為二維的衍射圖像，請看我之前的一個回答

知乎用戶：如何理解『倒易』在物理與數學中的意義？

建議最好看一下Ｌａｕｅ方程的推導過程。

祝　好