為何微小角位移是矢量，角位移不是呢？

01-13

大學物理，角位移與角位置

因為角位移不滿足矢量加法。特別地說，不滿足交換律。如下圖所示：

另外一個看這個問題的方法是考慮旋轉矩陣，三維旋轉矩陣乘法是不交換的：

$R_z(phi)=egin{pmatrix}cosphi -sinphi 0\ sinphi cosphi 0 \ 0 0 1end{pmatrix}, R_x(phi)=egin{pmatrix}1 0 0\ 0 cosphi -sinphi \ 0 sinphi cosphi end{pmatrix}$

容易驗證 $R_z(phi)R_x(phi) eq R_x(phi)R_z(phi)$ 。而無窮小角位移是矢量，因為在忽略二階小量的情形下矩陣交換：

$R_z(varepsilon)=egin{pmatrix}1-frac{varepsilon^2}{2} -varepsilon 0\ varepsilon 1-frac{varepsilon^2}{2} 0 \ 0 0 1end{pmatrix}, R_x(varepsilon)=egin{pmatrix}1 0 0\ 0 1-frac{varepsilon^2}{2} -varepsilon \ 0 varepsilon 1-frac{varepsilon^2}{2}end{pmatrix}$

容易驗證 $R_z(varepsilon)R_x(varepsilon)=R_x(varepsilon)R_z(varepsilon)$ 。這也是為什麼角速度是矢量。這個關係在量子力學中還有深遠的影響，是角動量理論的基石。

另外指出一點，無窮小角位移和角速度也不是嚴格的矢量，因為其不符合矢量的變換法則（多一個負號）。事實上，所有由兩個矢量叉乘得到的結果都是如此，稱之為軸矢量。有其他的答案對這一點進行論述，此處就不多說了。

你在地上畫一些箭頭當做向量，沒有問題，他們滿足向量的加法。

你在地球上畫很長的箭頭，它們不滿足向量的加法，因為地球是彎曲的。

短的箭頭可以，是因為它們近似於在地球的切面上，而在切面上我們總可以討論向量（切矢）。

轉動是一樣的道理。所有的轉動構成的空間是彎曲的，所以有限大小的轉動不是矢量，但是無限小的轉動可以看做矢量。

不太懂物理，如果我沒有理解錯的話角位移空間是正交矩陣李群的一個聯通子群，而微小角位移是它的李代數。李代數是一個向量空間，它的元素是向量。

有限小轉動用正交矩陣表示，無窮小轉動是二階反對稱張量，可以用矢量表示。