從行星軌道上直落到太陽所需時間怎麼算？

01-13

為什麼是用行星的恆星周期除以√32

有一個簡便方法來計算這個問題。

從行星軌道從靜止落到太陽上去，這個過程雖然是一個直線運動，但是可以看成一個非常非常橢的橢圓運動，橢到什麼程度呢？橢到軌道的半長軸 $a$ 與半焦距相等，或者說橢圓偏心率為1。如下圖所示：

這樣，這個過程的時間就等於:

$t=frac{T}{2}$ .

而對應行星圓軌道的半徑和周期分別為 $R=2a$ , $T_{0}$ ,由開普勒第三定律可知：

$frac{a^{3}}{T^{2}}=frac{R^{3}}{T_{0}^{2}}$

綜合，可求得：

$t=frac{T}{2}=frac{1}{4sqrt{2}}T_{0}$

從物體從靜止開始落入太陽的時間是可以嚴格計算的，算出的結果和行星公轉周期正好差個因子 $sqrt{32}$ 。步驟如下：

第一步：計算行星公轉周期

設某星球的軌道半徑為R，該星球的質量是 $m_0$ ，太陽質量M。規定遠離太陽的方向為正方向，則該星球受到的太陽的萬有引力為 $F=-frac{GMm_0}{R^2}$ ，萬有引力提供行星公轉的向心力，於是得到方程：

$-frac{GMm_0}{R^2}=-m_0frac{v^2}{R}$

解出行星速度 $v=sqrt{frac{GM}{R}}$ ,則行星公轉周期 $T_1=frac{2pi R}{v}=frac{2pi R^{3/2}}{sqrt{GM}}$

第二步：計算物體從軌道落到太陽的時間

設物體質量為m，物體距到太陽的距離為r，則物體受到的萬有引力為 $F=-frac{GMm}{r^2}$ 。設物體從行星軌道R處開始下落，落到了距離太陽x處，那麼萬有引力做功為

$W=int_{R}^{x}Fdr=int_{R}^{x}frac{-GMm}{r^2}dr=frac{GM(R-x)}{Rx}$

根據動能定理，這些功轉化為物體的動能，所以有 $W=frac{1}{2}mv^2$ 解得 $v=-sqrt{frac{2GM(R-x)}{Rx}}$ (速度解出來有正負兩個值，但是只有負的那個，即向著太陽運動的那個速度值有意義，因為前面已經規定遠離太陽的方向為正方向)

速度v是位置x的導數，即 $v=dx/dt$ ，所以 $dt=frac{dx}{v}$ 。對這個式子兩邊積分即可求出落入太陽需要的總時間 $T_2$ 。方程的左邊從初始時刻0積到結束時刻 $T_2$ ，右邊從初始位置R積到結束位置0，所以有 $int_{0}^{T_2}dt=int_{R}^{0}frac{1}{v}dx$ 。左邊積分直接得到 $T_2$ ，所以：