凱利公式的倉位係數如何計算？

01-13

請問凱利公式f*=（bp-q)/b，賠率b如何確定？例如一項投資，
最好的結果是收益30%，概率60%
最壞的結果是收益5%，概率40%，不可能有虧損，這時候如何計算賠率，如何使用凱利公式？
謝謝！

凱利公式：f=（bp-q）/b，也即=p-q/b，（p為勝率，q為賠率，b為賠率）

關於凱利公式的應用必要條件以及應用場景，我通過問答來逐步論證：

（以下投資的倉位分析中假設不載考慮市場屬性的問題，因為該投資下注已經考慮過了市場屬性的問題）

A.因為凱利公式是有「順序」，這個「順序」的意思是：如果這一次下注本金的20%而且虧了，那麼下一次下注的比例是下一次本金的20%，這樣的話賭徒的本金永遠都虧不完；也就是說只有等這一局的結果出來後，才能進行下一句的下注；

B.因為A的情況下，我們理所當然的會想到凱利公式在短期交易（幾天）和長期投資（1年及其以上）中的應用的不同（因為資金的時間成本是不同的），繼續按照這個邏輯往下：

1.在短線交易上，因為時間周期短，資金的時間成本會變得很低，模式上更加類似於（加紅為後面做鋪墊）凱利公式的應用場景，比如：先下一局，結果兩天就出來了，然後按照下一次的資金規模算出來f，繼續下注，也就是類似於「永遠虧不完的狀態」；

2.對於長期來說，就會發現漏洞百出。

來舉幾個例子：

A.有一個把勝率p=50%，賠率為3的長期投資機會，按照凱利的計算則下注比例為33%，那麼剩下的66%的資金都被閑置了，有違投資基本常識；（這是時間成本方面的疑問，為以下做鋪墊）

B.當有一個勝率p=80%，賠率為1的長期投資機會，那麼按照凱利公式的計算則倉位比例為60%；

當有一個勝率p=80%，賠率為2的長期投資機會，那麼按照凱利公式的計算則倉位比例為70%；

當有一個勝率p=80%，賠率為10的長期投資機會，那麼按照凱利公式的計算則倉位比例為78%；

尤其是B中的第二個和第三個「嚴重」違背投資常識，假如一個賠率=+300%/30%，即贏了的時候是賺取300%，虧損的時候是-30%，那面對這樣的長期投資機會的話，最優的選擇應該是all in。想想一下一個投資機會b=2，虧的時候是30%，賺的時候是60%；投資機會b=10，虧的時候是30%，賺的時候是300%，但倉位僅僅增加了8%，這是不可思議的事情。

為什麼凱利公式失效了，原因在於我「放寬」凱利的假設條件，即賠率的隱含意思是，如果虧的話，必須要虧完。

這個B的例子我們會注意到，雖然是長期投資，但是推翻凱利公式在長期投資的論據不在時間長短上，而是在如果虧的話，必須要虧完這個假設上。

那麼這個邏輯同樣可以應用到短線交易上，邏輯參考B即可。

所以凱利公式成立的條件就們明顯了：

1.如果判斷失敗了，那你下的注必須要虧完；

2.時間成本要低，投資結果要很快出來；

可以得出初步結論：1.對於中長期投資來說，凱利公式沒有參考意義；

2.對於短期投資來說，凱利公式沒有參考意義（為下面做鋪墊）；

3.對於期貨短期交易來說，有一定的參考意義；

4.對於外匯投機來說，非常有意義；

5.對於撲克牌和各種賭博來說，非常有意義。

關於第二條我有一個聯想：假如投資人有100萬，那麼他是明顯不滿足要虧就虧完的情況的，這時候我們可能會聯想到融資加槓桿，但是一般槓桿不夠；但是如果換一種角度，這100萬資金看成90萬的劣後級、以及10萬的優先順序就可以應用凱利公式了，假設一個投資機會賠率是3=30%/10%（也就是300%或者爆倉），在滿足凱利公式的條件下，投資人的勝率如果為p=50%，則下注比例應該為33%，也就是下注33萬；如果賠率為2，那麼下注比例為25%。

注意標紅的文字，一般來說p=50%，賠率為2=20%/10%，一般短線投資人不敢下這麼大的倉位。也即是說隱含的資金成本較大。

二、談論二

那麼短期交易和中長期投資關注的重點到底是什麼呢？

我先關注中長期投資，而後在逐漸過渡到短期交易。

假設一個長期投資機會X（一年期限），勝率50%，賠率為b=2=10%/5%的400萬的一個投資機會。

那麼這個投資的期望值是410，結果為兩種440/380，概率分別為50%、50%。

假設有四個相互獨立的X的投資機會，這個投資組合成為Y，平均投資下注，則投資結果的的分布如下：

資產

440

425

410

395

380

概率

6.25%

25%

37.5%

25%

6.25%

那麼這個投資組合的期望值是也是410，但是方差要比X小很多。

在這個基礎上，我引入一個概念：概率敏度函數，這個例子的概率密度函數是二項分布，X例子是極端情況，Y例子是相對分散的情況，分散成100個就成了這種了：

之所以取正態分布是因為，二項分布的極限是正太分布。

換成人話來解釋就是，每一年投資個X，和每一年投一個Y（也就是相互獨立的4個X），長期來看兩者是基本一致的，X的結果和方差會無線逼近於長期的Y的分布，而Y的分布則無線逼近於正太分布。

有幾個初步的結論：

一個術語的解釋：Q：很看好(高勝率、高賠率)；W:次很看好（高勝率、中賠率）、E:一般看好（高概率、低賠率），注意沒有R:低勝率、高賠率的情況。

1.如果不怕收益率方差大（也就是收益率波動大），而且手裡只有一隻Q的股票的話，那就應該把所有的倉位放進Q股票中。（投資失敗的話即預計事項落空的話，股票不會退市，或者不會跌成基本上等同於退市的情況，比如跌個80%、或者90%）；

2.如果有幾隻Q的話（相互獨立事件，同下），那最優的倉位比例是平均分。因為長期來看類似X和Y之間沒有差別，短期X承受了高波動率但是沒有高期望值，在這種情況下，單單投資X是奇怪的；

3.如果有幾隻Q和幾隻W的股票的話，那具體的倉位比例就要看基金經理在於其收益率和方差（收益波動率）之前的平衡和妥協了。

前面短期交易（在此假設5天可以出結果）在藍色字體看待角度的情況下，我們換一個角度按照談論二來看待短期交易，

還是藍冊字體討論的例子p=50%，賠率為2=20%/10%，如果只有一個滿足這個情況，那應該滿倉一隻，如果有兩個那應該滿倉、並平均持倉；如果有三隻那應該滿倉、並平均持倉，所以如果有N個，就應該滿倉，並平均持倉。

那麼藍色字體和當前的判斷分歧點在哪呢？考慮到5天的交易周期，兩者的看待的差異應該是資金成本和資金利用率帶來的差異，具體的詳細原因我在思考下，現在寫這麼多吧，先發出來。

接著上次的問題繼續往下，我重申下凱利公式成立的兩個條件：

1.虧得話，必須要虧完（或者基本上等同於虧完）；

2.時間周期要非常短。

先看第一個條件，如果有100萬的自有資金，假設分成90的優先順序和10萬的劣後級，

則槓桿率為10倍；相對於自有資金100萬，配置900萬的槓桿的情況下來說，為了滿足凱利公式其「有效規模」僅為後者的1/10。因為不滿足「條件」，這個結果好像步伐進行參考。

優秀的交易員的勝率一般在0.4左右，即意味著賠率不在1.5以上不應該出手。

當然也可以調整成5倍的槓桿，即虧損20%虧完現有倉位，承受20%的短線風險不像是短期交易的風格，不討論了。而且在南京交易所情況下，沒有理由能找到跌20%，後來還能起來30%以上的原因。

既然條件一和條件二怎麼樣都繞不過去，那麼換個角度來試試。

我嘗試用中長期投資邏輯來理順下，如果有一個100萬的投資機會，勝率0.4，賠率為2=20%/10%。承接上次的中長期投資中，關於相互獨立的投資機會X，其投資組合的收益率服從二項分布，極限服從正態分布的情況。中長期（假設為1年）應該投資越多越好的X，只要X的質量是足夠優秀的（這裡假設是的），在這裡我假設一共投資了54個相互獨立的X，而且一年後到期。

短線交易上，如果我們把交易期限分成54周，假設每一周都有一個Y（Y勝率0.4，賠率為2=20%/10%）的短線交易，而且結果能在一周之內就可以出來，這樣的話一個中長期投資的54個X和短期的連續的54個Y產生的結果是一樣的。

54個交易機會，意味著每次大約2%的倉位。如果是4%的倉位，那就意味總預期收益翻倍，而且注意方差並沒有很大的變化，一下進行非數學論證：

每次4%的倉位，也就是說前25次就用一圈本金。我們假設前25次全部都是虧損，則第26次本金還剩餘90萬，在不相互佔用資金的情況下，可以用到第23次。考慮到可以佔用自己資金的情況，4%的倉位是可以接收到。

兩個例子基本可以看到，其本質上也是在「翻倍」預期收益率（翻倍每次的倉位）和方差之間做一個平衡，即出現最惡劣的情況下，不會沒有「翻身」機會。

因為一旦使用2%以上的資金時候，其和中長期的情況就不同了，相互之間沒有參考意義的，下面單獨列出來討論。

預期收益率和方差的平衡（一個周期考慮）

假設了每次4%的倉位，翻倍至8%倉位，用10%更方便。這個時候資金的「利用率」是本金的5倍，預期收益率也是之前的5倍。假如連續虧損10次，屆時本金為90萬，該事件發生概率為0.6%；（折算後：年化收益率為25%）

假設每次用20%倉位，這個時候資金的「利用率」是本金的10倍；連續虧損5次的概率為7.8%；（折算後：年化收益率為50%）

假設每次用33%倉位，這個時候資金的「利用率」是本金的17倍；連續虧損3次的概率為22%；（折算後：年化收益率為85%）

假設每次用50%倉位，這個時候資金的「利用率」是本金的25倍；連續虧損2次的概率為36%；（折算後：年化收益率為125%）

假設每次用100%倉位，這個時候資金的「利用率」是本金的50倍；連續虧損1次的概率為60%；（折算後：年化收益率為250%）

結合方差的情況和折算後年化收益率的情況，我覺得10%-20%的倉位是相對合理的，20% 的倉位相對激進，方差並不是很大，但是折算後的收益率太不靠譜了，很難達到這麼高——85%。

我以倉位為33%為例子，如果一周有一個機會也可用於33%的倉位下注，那麼這個機會可以用三個相同的機會但是只有11%的倉位來代替，這樣如果每一周有一次以上的交易機會的話，那麼這樣「33%」倉位的機會是更加有效的選擇。

綜述：倉位是結合合理的收益率預期（我選擇的是10%-20%），加上交易機會的次數（我假設的是每周的機會，並在倒數第二段討論了一周三次的情況），再結合投資人風險偏好（即對於方差大小的接受程度），最後一個個性化的結果。

轉載自網路

Kelly criterion （凱利準則）是gaming/investment theory當中一個很著名的公式，主要用來在賭博和投資中確定最優的下注/投資額，最初用於21點，輪盤等賭博遊戲，很長時期以來，也被巴菲特等著名投資家在股票投資等領域使用。他的基本公式這樣：

f = （bp-q）/b

其中，f 是應該用自己多大比例的資金去下注/投資，b 是池底比/投資回報比，p是贏錢概率，q是輸錢概率，也就是q=1-p;

一個例子是：如果一個賭徒有60%的機會去贏一個遊戲，也就是P=0.6， q = 0.4，這個遊戲的池底比是1：1，也就是買一贏一，那麼此賭徒每次就應拿 f = (1*0.6-0.4)/1, 也就是自己[size=6][color=Red]20%[/color][/size]的資本去下注，從長期來說，這個就是最佳的贏利點。非常激進的投資法，但是凱利在數學上面已經證明了這裡最優。

但是，如果這個賭徒在這個遊戲當中沒有優勢，也就是所謂沒有edge，即b《= q/p, 那麼f就是零或負數，那麼這個賭徒就不應該在這個遊戲當中投資任何錢。

推廣到撲克，

大多數人會選擇穩定，而不是風險，特別是需要養家糊口的reg。但是凱利規則告訴我們，如果我們對自己的edge有很清楚的認識，那麼在edge大的遊戲當中，我們就可以拿更大比例的bankroll去冒險，在edge小的遊戲當中，我們就應該相對保守。這裡的前提是你可以在下風期不斷降低自己的遊戲層次，使自己始終可以保持在edge和資金之間的平衡。

回到之前那個例子，在自己有edge的時候，b =1，p=0.6，那麼就可以拿自己20%的BR來到高桌來追魚，在現實的情況中，有的時候凱利指數甚至會更高，那些天才少年看上去很激進的資金管理方式，其實在這裡得到了支持。一將功成萬骨枯，除了極個別情況（老爺爺屬於極個別，呵呵），很少有職業選手從來沒有破產或者接近破產來追求更高的回報，這其實就是穩定vs回報的經典課題。

從我的認識來說，想真正順著凱利準則往撲克世界的最高峰進軍，你最少要做到以下幾點：

1. 走技術流的路線，始終致力於提高自己的技術，增加自己的edge，沒有edge，你就應該退出這個遊戲

2. 有隨時降級的心理準備

3. 生活資金和撲克資金應該分開，這樣你才能更坦然的去拿撲克資金去冒險。

4. 盡量分擔風險，比如在流鼻血級別，互相take action其實是非常常見的。

實際交易中由於勝率、盈虧比不是兩兩固定值，所以絕對不要用凱利公式來算倉位。

一定要用可以改一下

本人修改的保守倉位（僅供參考）：單筆風險 = (勝率-敗率/盈虧比)*0.05

勝率和盈虧比都是長期實盤的兩個大概值，0.05是安全係數，防止勝率或盈虧比的長期偏離帶來的硬性風險。

發現沒有一個人了解凱利公式的數學實質，我很驚訝。。凱利公式的實質是最大化對數收益率，證明如下：

普遍所說的「凱利公式」只不過是一個很簡單的應用：

所以針對題主的問題，就是最大化下面這個式子：

你會發現求導之後，導數在[0,1]區間上始終大於0。所以最好的辦法就是全部投入。這是因為你的每種情況都在賺錢的緣故。現實生活中是不可能所有情況都是賺錢的，否則也不用玩了。。

基本上把知乎所有跟凱利公式有關的答案都看了，發現有兩個問題，一是推導，90%的答案沒把具體的數學推導過程講明白，二是應用，賭博和投資雖說有共同之處，可是也有細節上的不同，拿來主義顯然不可取。

投機中存在兩種策略：等價鞅與反等價鞅，等價鞅：輸了將賭注翻倍直到贏為止，贏了將賭注恢復至初始值；反等價鞅：總是按現有資金總額的一定比例下注。等價鞅策略致命的弱點是博弈者在連續若干次失敗後將沒有足夠資金繼續賭注翻倍的有戲，因為賭注會隨著失敗次數呈2次方的速度增長，而反等價鞅策略汲取「日取其半，萬世不竭」的道理，使得你能夠永遠的繼續這個遊戲下去，哪怕成為百萬富翁的概率多麼小，也是會成功的，而一旦遊戲觸及你的「止盈」條件，就可以終止遊戲，但人的本性是遵循等價鞅策略。

在投機中，若失敗則將虧掉所有賭注，而在股市或期市的策略交易中，我們是不會讓本金全部損失才會採取行動的，我們需要提前設置一個止損位，若策略曲線觸及止損位就會出局，這個止損位會影響下注倉位。推導如下：

在一階導數為0處獲得極大值，可見它是關於勝率、風險收益比、止損比例的函數。觀察可知，勝率越高，收益風險比越高，止損越低，則倉位越高，上述關係也符合直觀感受。因此最優倉位=（賠率*（1+勝率）-1）/（賠率*止損幅度）。

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人家問的是凱利公式的賠率怎麼算? 沒有一個回答能夠符合問題的。頂我。讓真正正確的答案上去。

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著作權歸作者所有。

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作者：孤獨的大熊

鏈接：凱利公式具體是怎麼推導出來的，其中為什麼要除賠率b，除b具有什麼樣的含義？ - 孤獨的大熊的回答

來源：知乎

b：賠率

凱利公式出處原文對賠率的定義：b is the number of dollars returned for a one-dollar bet( including that one dollar). 既然是bet，那麼b是指bet後如果贏了拿回的錢，如果輸了為0.

比如，投注1元擲骰子，贏了獲得10元（包含投入的1元），輸了為0，則賠率為10.

凱利公式的精髓是風險控制，而不是收益最大化，從風險控制入手才能有效理解凱利公式的思想精髓，

只可能賺不可能有虧損不就每次都把全部錢投進去不就好了？這時候對應的f為1

現實中沒人用凱利公式的。按凱里公式算出來的結果都太激進了。

這個公式一開始也不是為投資投機設計的，而是通信學。

這個公式的前提是無限可分。沒有最低資金門檻。但是實際當中股票就是有最低限制（100股）。也就是說，公式的理想狀態下，你虧到哪怕0.000001分也可以繼續入場買賣股票，但是現實當中是不可能的。這是其一。其二，凱里公式裡面要求的幾個參數，放在實際交易背景下都不是常數。大盤稍微變一變，個股的參數就劇烈波動，這個時候你是留是走？

因為不可能會有虧損，在無法融資的情況下就是百分百資產全都投入。

如果可以融資加槓桿，融資槓桿部分就以資金利率計算。假設你的資金利率低於5%，則加滿槓桿。如果高於30%，就不加槓桿。

介於兩者之間，那就將收益減去資金利率再計算。假設你的資金利率是10%。對應的槓桿資金部分賠率為（30%-10%）/(10%-5%)=4:1。則槓桿部分資金比例為（4*60%-40%）/4=50%。所以就投入全部自有資金以及可融資的50%。

如題主所言，這裡的P其實是100%（確保贏錢），Q是0，B=（30%*60%+5%*40%）/ 0 = ∞，因此答案是P，考慮到低成本槓桿的存在，理想倉位是P*無窮大，也就是傾家蕩產借錢去干

這個根本不用凱利公式，選期望收益最大的

不廢話，大家自己算,直接上量化交易python公式計算：

#!/usr/bin/python # -*- coding: UTF-8 -*- from __future__ import division import sys


#贏可以贏多少？例如：1

y=input("win:")

#輸會輸多少？例如：1

s=input("lose:")

#勝率例如：0.5

p=input("p:")

#y=15

#s=7
#賠率

b=y/s

#贏的概率

#p=0.5

#輸的概率

q=1-p
f=(b*p-q)/b
mystr="倉位:"

print mystr.decode("utf-8"),f,"%"

mystr="倉位數:" print mystr.decode("utf-8"),f*100

盈利：15%止盈

割肉：7%割肉

概率：50% ，輸贏一樣，有可能漲有可能跌，股票不是漲就是跌

倉位：26% 結論每次交易倉位

變數：持股時間不確定，概率能到50%甚至更高更好。這樣倉位就會更大。

自認小散一個，就不倉位了。看到了就梭哈。

我做過測試。凱利波動很大，完全不會控回撤。但是長期來看確實收益很好。

也看下前面的答案，別虧得一手都買不起，第2是適用於賠率和止盈止損比較固定的環境下。

不過只要有edge，只要你的倉位不超過凱利公式的，長期來看都是賺錢的。