數學證明中，「一般地」、「不失一般性」是什麼意思，什麼時候使用？

01-13

「一般地」意味著後面是一個具有一般性（即普遍性）的命題。如果前文研究的是一個或幾個特例，後文將要敘述的是普遍的情況，中間可用「一般地」連接。或者，後文是對前文結論的推廣，例如前文的結論對於更普遍的情形成立，也可寫「一般地」。

「不失一般性」，常常是在研究某個命題時，挑出一種特例出來研究（即增加一個限制條件），而如果證明了命題對這個特例成立，就可以推出對一般（普遍）的情況成立，那麼在添加限制條件時，就可以標明「不失一般性」，說明添加限制條件是合理的。「不妨設」也是如此使用。

「一般性」一詞的英文「generality」也許更容易理解一些。

就是當作者認為讀者已經理解了證明的思路，在一般的情況下（這個「一般的情況」在作者和讀者心目中的意思可能有所差別）讀者完全可以照搬argument證明一般的命題的時候，就可以用這4個單詞。當然作者用失手了，其實一般的情況比他想像得更複雜，或者一般的命題乾脆就是錯的，的事情，我也是見過的。

舉幾個例子：1.

這個是選修2-1第一章我隨便找的，侵刪。

一般地，當我們遇到「一般地」這個詞，都會有上下文，上文是舉例介紹，下文是將上面的例子進行歸納，所以如果已經熟練掌握這個問題，就不需要看前面的舉例部分，而如果在這個地方是一位新手，那就悶聲把前面的例子看完，嘗試歸納總結，然後對照後面的總結，看自己是否歸納正確。

瀉藥

不失一般性（without loss of generality...）後面肯定是要引入額外假設。如：「不失一般性，假設x&

「不失一般性」就是你為什麼能引入額外假設的原因：這個問題可以拆成若干種情況討論，額外假設代表了其中一種情況，對於其他每種情況的證明都與這種情況的證明結構相同。

「一般地」（generally... ）則經常是用於在介紹了一個特殊結論以後給出一個更強的更一般的結論。這應該屬於敘事邏輯而不是推理邏輯，也就是說，你的課本說「對於x=5，P(x)成立。一般地，對於所有整數x，P(x)都成立。」的時候，第一句到第二句是沒有邏輯上的必然性的，只有語文上的遞進關係。

懶得對所有等價的情況都分類討論的時候用

補充：「不失一般性」有一個更常用的近義詞，「不妨」

【一般地】更像這樣用：

一般地，水的沸點是100°C

大概都知道水的沸點會變化（特殊情況），但一般情況下，大概都默認了這個100°C……

所以【一般地】就是個比較懶的定義前提的東西，當然通常會有上下文……

還有就是例如「默認」直線有斜率（當然有直線沒斜率，但這個並不說明這條直線有多麼特殊，只是個坐標系選擇的問題）的描述一樣，沒有必要特別備註……

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至於【不失一般性】，倒是個非常嚴謹的邏輯，因為這個涉及「從一般到特殊」的過程，不能隨便使用的…

例如三角形ABC，通常情況下，總有一條最長、一條最短的邊，所以增加一個條件「a≥b≥c」並未把這個三角形變得特殊，這時就可以說：

不是一般性，設a≥b≥c

但如果這是一個四邊形ABCD，問題就來了，如果設a≥b≥c≥d就失了一般性（默認了最長邊的鄰邊是最短邊，失了最長邊和最短邊是對邊的情況）

所以【不失一般性】就是「不損失普遍情況有效性」的特殊情況

當他要用特殊的情形來證明結論時……………………

提到「一般的」的時候，上下文中必然有「特殊的」。

而「不失一般性」出現的時候，我們只會討論一個或多個特殊情況，因為其餘情況均可簡單地化為這些特殊情況之一。

就是沒有附加新的條件。

例如任意實數a,b,c具有輪換對稱性，且大小關係不確定時，可以不妨令a≥b≥c，因為對於其它的情形，之後的討論過程完全類似，為了簡便，就只針對這一種情形了。