從第一個人開始，三個人輪流扔一個六面骰子，三個人率先扔出6的概率分別是多少？

01-13

rt，如果一個人扔出6即結束，不再繼續。

假設第一個人率先扔出6的概率是P，那麼第二個人是5/6*P（如果第一個人沒扔出6，那麼第二個人就成了「第一個人」），第三個人是5/6*5/6*P（同理），而且

P+5/6*P+5/6*5/6*P=1

因為肯定得有一個人率先扔出6，所以概率和為1。

1/6 / (1/6+5/6*1/6+5/6*5/6*1/6)

5/6*1/6 / (1/6+5/6*1/6+5/6*5/6*1/6)

5/6*5/6*1/6 / (1/6+5/6*1/6+5/6*5/6*1/6)

第一個扔的人先得到6的概率:

第二個人先得到6的概率:

第三個人先得到6的概率:

先不管人，只看骰子，先扔出六即停止，設這時扔了x次，x就是隨機變數，概率為（1/6）*（5/6）^(x-1）,那麼，第一個人扔出的概率就是所有x除三餘1的數的和，第二個人就是餘2，第三個就是被3整除。後面就是等比數列求極限了，不需要編程模擬，這個很好求。

考慮一個人扔骰子,第 $i$ 次才扔出6的概率為: $frac{1}{6} left(frac{5}{6} ight)^{i-1}$

然後考慮三個人編號①②③扔骰子.

①號:1,4,7...3n-2

$sum _{n=1}^{infty } frac{1}{6} left(frac{5}{6} ight)^{(3 n-2)-1}=frac{36}{91}$

等比數列求和嘛...

②號:2,5,8...3n-1

$sum _{n=1}^{infty } frac{1}{6} left(frac{5}{6} ight)^{(3 n-1)-1}=frac{30}{91}$

③號:3,6,9...3n

$sum _{n=1}^{infty } frac{1}{6} left(frac{5}{6} ight)^{3 n-1}=frac{25}{91}$

==========================================

也就說k個人中第i個人率先拋出指定數字的概率是:

$sum _{n=1}^{infty } frac{1}{6} left(frac{5}{6} ight)^{(k n-k+i)-1}=frac{5^{i-1} 6^{k-i}}{6^k-5^k}$

計算機模擬了10萬次，結果如下

int n1 = 0; int n2 = 0; int n3 = 0;

for(int i = 0; i &< 100000; i++) { //用三個數記錄三個人是否扔到六，0代表沒有，1代表扔到了 int people1 = 0; int people2 = 0; int people3 = 0; while (people1 ==0people2 == 0 people3 == 0) { Random ran1 = new Random(Guid.NewGuid().GetHashCode()); int result1 = ran1.Next(1, 7); if(result1 == 6) { people1 = 1; n1++; } else { Random ran2 = new Random(Guid.NewGuid().GetHashCode()); int result2 = ran2.Next(1, 7); if(result2 == 6) { people2 = 1; n2++; } else { Random ran3 = new Random(Guid.NewGuid().GetHashCode()); int result3 = ran3.Next(1, 7); if(result3 == 6) { people3 = 1; n3++; } } } } } //將次數轉化為概率 double p1 = n1 * 0.00001; double p2 = n2 * 0.00001; double p3 = n3 * 0.00001; Console.WriteLine("第一個人："+Convert.ToSingle(p1)); Console.WriteLine("第二個人："+Convert.ToSingle(p2)); Console.WriteLine("第三個人："+Convert.ToSingle(p3)); Console.ReadKey();

設 $X$ 等於第一次扔出6時，共計扔了多少次，則 $X$ 服從 $p=frac{1}{6}$ 的幾何分布，

即 $Xsim Ge(frac{1}{6})$ 。

那麼第1個人率先扔出6就等價於 $Xequiv1(mod 3)$ ，

也就是 $X=3k+1(k=0,1,2...)$ ，所以第1個人率先扔出6的概率 $P_{1}=sum_{k=0}^{infty}{P(X=3k+1)}=sum_{k=0}^{infty}{p(1-p)^{3k}}=psum_{k=0}^{infty}{(1-p)^{3k}}=plim_{a ightarrow infty}{frac{1-[(1-p)^{3}]^{a}}{1-(1-p)^{3}}}$

代入 $p=frac{1}{6}$ ，求得 $P_{1}=frac{36}{91}$

同理， $P_{2}=sum_{k=0}^{infty}{P(X=3k+2)}=sum_{k=0}^{infty}{p(1-p)^{3k+1}}=frac{30}{91}$

那麼， $P_{3}=1-P_{1}-P_{2}=frac{25}{91}$

啥叫「三個人率先擲出6的概率」？題主的文字涵養讓人捉急。

如若照字面理解，總有人先擲出6，概率是1，有啥好問的呢？

評論區里有人提示、「注意分別」。唉，俺怎麼沒看到，還截了圖。。。

那是我錯了，我理解能力有問題。不玩了