為什麼部分人容易忘記數學證明，如何解決？

01-13

很多證明時間一長就忘了，比如泰勒公式的推導過程，二階常係數線性非齊次方程的公式。雖然這些公式都記得也都會用，但是證明就想不起來，一定要再翻一遍書才行。這是因為知識點掌握不紮實造成的嗎？如果是，有沒有什麼辦法補救？

數學的證明，定理，都不是記住的，而是嵌入到自己的知識體系中的。

基本的消化的方法都跟牛吃草一樣，要反覆咀嚼。一個定理的證明剛開始學的時候很抽象，看完就忘了，這很正常。說明你的知識體系還沒有成型。等你又算了很多例子，想了很多問題，再回過頭去看原來的證明，也許就可以理解多一點了。如此重複，每一次你都會對同一個證明有更新更深刻的理解。比如證明的難點在哪裡，之前的人做到什麼程度，證明最閃光的點在哪裡，就都會慢慢清晰起來。

形成自己的知識體系很重要。每一個定理，證明，例子都要能有脈絡的聯繫起來。他們之間的關係，發展的歷史，都在心裡有一個清楚的結構。這樣要記住證明就很容易了。

這個問題我一定要來回答！

上學期做的一個問題，中間遇到一個地方卡了一兩個月，最後和博後一起用一種很tricky的方法證過去了，這個地方也是我們整個證明裡最閃光的地方了。

證完之後，連著就給老闆做了一周的presentation把整個問題的證明細節都check了一遍，感覺沒什麼問題，開森！然後我就回國休假了，休息休息嘛，打算回來開始敲論文，回去呆了一個月，中間還去夏威夷浪了一圈。（我老闆人很nice，從來不push別人，只push他自己，然後還經常對我說：don"t push yourself too hard...他是那種對學生：你本著對你自己學術發展負責的態度，如果需要他的幫助他會傾力幫助，如果不需要的話，他也不會逼你。）

等到回來之後，就準備開始敲文章了，恰好暑假老闆也不在學校，一個月敲了半頁latex......其實大部分phd敲論文的前一個月也就這個工作量，反正我是這麼安慰我自己的。。。

然後上周，在辦公室水知乎磨洋工的時候，掐指一算，卧槽，老闆還十天就回來了，這不行了，得抓緊敲了！就從那個最tricky的地方開始敲吧。

等我開始敲的時候，忽然發現好像有點不太對，「欸？這個地方我是咋證的來著？」其實，這種事經常發生的，一般稍微寫寫算算，思路差不多就回憶起來了。然後我就這麼寫寫算算了兩天，尼瑪，忘得渣都不剩了啊！！！我只記得這個地方我用了一個腦洞很大的技巧，大地我啥都不記得了。。。

然後，我就去問博後，博後也忘得渣都不剩了啊！！！然後我就和博後又一起回憶了兩天，我們互相回憶起了對方證明的一小部分，由此入手，博後證明的那部分就完全回憶起來了，我的那個腦洞很大的技巧也想起來了，但是我還是沒想起來我是怎麼用的這個技巧！！！（其實回憶起具體技巧了，大不了再推一遍總是能證完的，但是已經推過一遍，就不想再重複那些dirty work再推一遍了。。。）

老闆下周就回來了，反正我是準備厚著臉皮去問老闆：「那個，我當時給你做presentation時你記的notes還能找到么，能讓我看看么。。。」

回到題主的問題，我就是想說數學證明本來就容易忘，習慣就好了。。。

當然了，有一種容易忘是因為你本來就沒弄懂這個證明。

還有一種，我覺著是因為那個證明已經內化成你自己的東西了，你看到之後，已經不會去想：要怎麼證它，要用哪些證明技巧，因為你已經知道它為什麼是對的了。

就像張三丰給張無忌傳授武功：

張三丰：「無忌，我這套太極劍法，你記住了多少？」

「一大半。」

「不錯！」

……

「現在還記得多少？」

「已經忘記一大半了。」

「難為你了。」

……

「還記住多少？」

「已經全忘了。」

」好了，上吧！「

嗯嗯，反正我是這麼安慰我自己的，讀phd嘛，最重要的就是開森啦！

謝邀：首先我同意@Y Fan 的觀點，很多定理會「自然遺忘」，這是人腦的自然規律，看的定理過多了，對你沒用記不住也無關係。但是，如果你是一個正在學習數學的本科學生，你要盡量在理解地情況下記憶課內的證明，這是有好處的。首先大部分課程的主幹定理是不多的，第二了解這些主幹定理對於學習一門課來說是非常重要的，甚至說是第一位的。

一、我收到過不少本科學生私信問我：課內學習的時候，定理的證明需要掌握嗎？還是只要「會用」就好？我得說本科階段那些定理，它們的證明最好都掌握，而且學習一門基礎課程：第一位的是定理，第二位是「像定理一樣的」課後習題（這些課後習題在別的教材裡面就是定理／推論）。我反對在沒搞清楚定理前就去做習題，這是本末倒置，好的習題有幾種，其中一種是課內定理的補充和延展，這類一定要多做。如果你真的掌握了定理，很多習題是自然的，再說了，連證明都不會，談不上什麼「會用」，反而有點像考試機器了。然後，就是「會用」，這點也很重要，但是會用定理，不等於套用定理，而是利用定理的內涵：證明的內在思想，定理揭示的數學對象的性質。掌握這些東西非常重要，我在下面提示這個東西怎麼幫助你理解和記憶。

二、我分享一下自己怎麼學習和理解一門課程的定理的。我常用的方法有好幾個：a, 學習一門課的時候我喜歡準備好幾本書，首先挑選自己比較喜歡，容易上手的為主教材，不要因為大家都推rudin，你一上手就操rudin。如果不幸和你老師要求的不同也沒關係，只要學習的時候掌握好不同教材的差異。b): 一個定理的證明，如果你感覺一本教材說得你不喜歡，那麼看看其他教材，網上的講義怎麼說的，選擇你當下最能接受的。比如，當年我本科學習泛函分析，用的就是王聲望那本（應該是），他證明「共鳴定理」（一致有界定理）的方法簡直不要太詭異，然後我比照了不同版本的證明了，選擇了最自然的那種方法。綜合幾個方法，自己寫一個也是不錯的選擇。這種方法有一個缺陷，就是你最好紀錄下來，否則容易很難成「體系」，這也是我開始作筆記的動因。c) 要理解記憶一個定理，你一定要把它歸納出很少的幾個步驟，每個步驟就是簡單的一句話。寫成小提綱一樣，然後看自己能不能只靠腦內的這些提綱去復現原證明，這時候我們就要回到我說到的之前的定理的證明很多時候用到的是「數學對象的內在性質」，只要你理解了這些，那麼你可以按照「小提綱」來完成證明，比如，很多數學定理第一步就是「簡化」，通過各種等價操作，把原問題退化到最簡單的情況。rudin的很多課後習題是這樣的：一個大題分成幾個小題，每個小題做完就是一個大題。這種做法你也可以用在自己去理解定理的證明上。 d) 一套書學完後，你可以嘗試看另外一套不同體系的書，比如第二次學習的時候看rudin。這時候，你會輕鬆很多，也會有一種：哦，原來你是這樣看的。這種學習方法的一個結果就是你的體系幾乎是獨一無二的，與人差別比較大，交流的時候要注意一下。別人默認的「證明方法」不一定是你默認的方法。

一個栗子：某年丘賽考了一道難題，恰好是某名學生上某課的結課小論文，時間相隔不到一年。但結果很遺憾，該學生在考場上未能做出該題。

對於絕大多數本科生，就本科那些數學定理而言，抄書5遍以上，背也該背下來了吧。這麼簡單，直接，實用的方法，為什麼很多人視而不見呢？

在本科數學範疇內，確實有高手能夠通過簡單三句話（所謂證明核心框架）就能還原數學證明，補上細節。但能做到這一點的本科生恐怕也就有10%左右吧。

網友Y Fan說得很對，定理也得分級，常用的定理要手熟爾。

忘了說明你不需要

你需要就會多次複習

題主跟我正好相反，我是可以推導證明，但公式記不住。(??ˇ?ˇ??)今天剛跟朋友聊到，記名字對我來說最困難，因為毫無規律可言。

感覺主要還是要去理解吧，最好自己推一遍，就能把知識體系連成樹，而不只是分散的點。

高考時還在推公式的在此∑(O_O；)

這大概就是理工科和文科的區別吧。。

到研究生之後的東西大部分都可以開卷了，推理過程也很麻煩，理解之後就記結果知道在哪用就行了。

證明不是忘的，要理解其體系。

每次忘了，就再來手動證明一遍。

忘了就再證明一遍，次數多了，就好了！

方法很苦逼，但是真正能解決問題

有一本書，叫《數學天書中的證明》，看一下，享受人類邏輯理性之美。