怎麼理解「三維准晶可以看做高維晶體在三維的投影」這句話？

01-13

通常思考高維物體的時候可以類比低維的情況，可是我思考了各種三維點陣在一維或二維的投影，似乎並不能獲得不具有平移對稱性但長程有序的結構。
標題這句話是我從多處看到過的，請問是否可以舉出實際的例子來理解這句話？

謝邀......誠惶誠恐，作為知乎小透明我也不知道為什麼會被邀請回答這個問題，那我就用我的一點兒皮毛知識來回答一下，希望對題主理解這句話有一些幫助。

首先，題主不愧是北大的高材生，思考高維物體類比低維情況這個想法非常正確，那麼我就先來舉一下高維空間投影到一維二維的例子。

最簡單的，從二維空間向一維空間的投影【3】，如圖所示

。

在二維空間即二維平面上有一個方格子點陣，它具有嚴格的四次對稱性。但是，若我們不是在這個二維空間里，我們能直接感覺到的只有一個一維空間，稱之為物理空間。現在要把這個二維方格子點陣投影到物理空間中去。定義這條直線對於每個小正方形的一邊的交角為θ，適當的選取平面點陣的一部分來做投影，一般就會投影處長短不一的一串投影點來，這樣做的結果就從本來具有嚴格對稱性的圖形，得到了並非等距離分布的一維「准晶格」格點了。具體的當tanθ=(√5-1)/2，就可以得到一維空間里的Fibonacci序列。對應著實驗上已經觀察到的一種一維准晶體。

除此之外，還有更高維的空間向低維空間投影的例子，1981年de Bruijin從五維空間的超方格點陣向二維空間投影得到了Penrose拼砌圖案。我想，看到這裡，應該可以幫助題主

獲得不具有平移對稱性但長程有序的結構。

下面回答題主第二個問題，是否可以舉實際例子來理解「三維准晶可以看做高維空間在三維的投影」這句話。我的答案是可以，比如我們熟知的二十面體，科學家在20世紀80年代從不同的高維空間超方格點陣投影到三維空間得到了二十面體准晶體，而且許多准晶體都具有二十面體的群對稱性，我們熟悉的C60和大部分病毒也具有二十面體群對稱性。二十面體的一個重要的特徵就是5重轉動軸的存在。我們都知道晶體允許的轉動軸是1、2、3、4、6次軸，沒有5次軸。要證明晶體中轉動對稱軸只能是1、2、3、4和6重軸，可以用幾何知識來證明，下圖我將提供這種方式的證明，簡單好懂。但是高維晶體中允許的轉動對稱軸就需要用到群論的知識了，因為要涉及相關物理和數學知識，還請題主隨著知識的積累自己探索，畢竟理化不分家，學好物理對理解化學的知識幫助很大。這裡我只說說結論，對於n維空間，當n≥4時，5重軸總會出現，還會出現8、10和12重軸；當n≥6時，還會出現7、9、14、18重軸。

寫到這裡，我想將我曾經參加研究生面試時被問到的問題拿出來，可能可以幫助題主更好理解。問題是：在三維空間中的准晶放到六維空間中是什麼？

如果題主對晶體概念清晰，對上述結論也理解的話，那麼答案是顯然的，那就是在三維空間中的准晶放到六維空間中是晶體。

其實關於晶體學的知識是非常非常豐富的，而且真正的晶體學並沒有看上去那麼簡單，是靠許多物理數學知識構建起來的。關於更多准晶的知識，如果題主有興趣，可以多閱讀一些這方面的文獻，來幫助自己理解。

答主的水平有限，也並非此專業，如果上述有缺點甚至錯誤，希望大家批評指正，謝謝。

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關於評論區大家提出的疑問稍微做一些統一的解釋：

1、有些朋友對於答案中從二維空間向一維空間投影的投影區選擇提出了疑問。這個投影區的選擇，是「適當的選取平面點陣的一部分來做投影」，這是由於點陣存在著對稱性和周期性，所以我們只需選取部分就可以研究整體。晶體最引人注意的特徵之一就是它的空間群對稱性。對稱性的研究在物理學各個領域也都起著非常重要的作用。

2、高維晶體的旋轉對稱軸的結論是通過群論的方法得到的，用到的是群論知識中轉動群的相關內容，例如三維轉動群SO(3)群。群論是研究系統對稱性質的數學語言，它的物理意義基本都對應於物理學的相關領域。學習群論需要的數學準備包括集合論、抽象代數和線性代數等，對於非物理和數學專業的同學來說，可能會稍微困難一些。

3、我覺得首先高維這兩個字就不是很好理解的東西，在中國科學院物理研究所的微信公眾號 @中科院物理所上，曾經刊登過一篇介紹不同維度空間的科普文《一支筆幾張紙來展開 0~10 維空間之旅……》，大家可以看看，也許對大家理解高維空間有些作用吧。

後續我也繼續去學習學習相關知識。

參考文獻

【1】黃昆. 固體物理學[M]. 北京：高等教育出版社. 1999；

【2】The Discovery of Quasicrystals. The Nobel Prize in Chemistry 2011 is awarded to Daniel Shechtman for the discovery of quasicrystals；

【3】沈成平, 平加倫. 高維空間晶體可能的對稱性[J]. 南京師大學報. 2003. 26（3）.

這個記得最早是Veit Elser提出來的，課上老師提過

幫最高票補充一下paper鏈接，應該是這幾篇：

Veit Elser - Professor of Physics at Cornell University - Publications

這個我也不理解。超過三維的空間想像不出來。n維空間不是線性代數的概念嗎？

一個空間幾何體的俯視圖，側視圖，正視圖和這個說法可能有點類似。三維幾何體在二維平面的投影。