數字是什麼？

01-13

每天都要面對各種不同的數字，數字也是高科技產品的基礎，甚至可以說萬事萬物都可以化為數字……不過數字到底是什麼呢？

首先，@張熤童鞋所說的是我們關於數的集合的形成、發展、到完備的過程。但是只講了發展過程，卻少了兩個最重要的環節，封閉性和完備性。

封閉性是指在這個數集之中任意取兩個元素，通過合成法則（元素x1與元素x2進行作用得到另一個元素x3，例如加法就是一種合成法則，亦可看做一個二元映射）作用之後，得到的新的元素仍然屬於這個集合，集合只有在封閉的情況下我們討論這樣的代數結構才有意義，否則通過合成法則一作用就跑到集合外了，那就沒有多大意義了。所以之後才會有對抽象的代數結構，即群的研究。

而完備性是在近代微積分和集合論發展起來之後才有的概念，我們知道Cantor因為思考無限的問題晚年精神備受折磨，而近代微積分和集合論引入的最重要的概念便是極限/無限。完備性的引入是因為封閉性已經遠遠不夠用，封閉性只能對有限個元素進行合成法則（由數學歸納法可以知道，對一個封閉的集合中任意有限個元素施以合成法則之後得到的元素仍然屬於這個集合），當遇到無限個元素的時候就會束手無策。而完備性恰恰就是用來描述無限的情況的，在泛函分析中的定義為，在空間中的任意一個Cauchy序列（是收斂的）必有極限，也就是說這個收斂的序列它的極限一定在這個空間中，則稱其為完備，最直觀的就是在實數集合中任取一個Cauchy點列（即是收斂的點列），其必有極限，且極限仍為實數，所以實數集就是完備的。舉例如下：

最初，我們擁有0和1（這與人們發現數的過程不一樣，0反而是在之後發現的），我們在0、1之間定義了一種合成法則，即加法，由這個集合需要對加法封閉（0+1=1在集合中，1+1=2所以2也應該在集合中，以此類推），然後得到了整數集合。在整數集合上再定義除法，要對除法封閉，就得到了有理數集合。但是有理數並不是完備的，它中間仍然有許多「縫隙」，最後我們由極限的完備性得到了實數集，所以實數可以是連續。所以實數的完備性也叫實數連續統。

@嘉嘉童鞋的描述非常精彩，已經牽涉到Abstract Algebra和Number Theory的東西了。

最後回到這個問題上來，問題問的是「數字是什麼」，而問這個問題的動機是我們的生活中會要遇到很多很多的數字。那麼我認為，數字可以什麼都不是，也可以代表一切。因為這要看你給數字賦予了什麼樣的意義，或者用數學語言來說，你在數字和你所要考慮的問題之間建立了怎樣的映射關係。我學了Abstract Algebra和Functional Analysis之後發現，其實他們講的是同一種東西，這種東西在集合之間叫映射，在兩個數集之間叫函數，在向量空間之間叫線性變換，在不同的代數結構之間叫同態，在不同的線性賦范空間之中叫運算元，在度量空間與數域之間叫泛函，但是最後你會發現其實他們的本質是一樣的，我們姑且用最早接觸它的名字來稱呼它：映射。

映射是什麼？映射就是在不同的東西之間建立一種固定的、有規律的聯繫。在數學中，我們會要研究許許多多東西，就拿最簡單的線性代數來說，線性空間可以有很多，但是我們可以根據維數的不同來區別他們。在維數相同的線性空間之中建立起一對一的映射（即同構），這樣，具有相同維數的線性空間我們就可以用同一種觀點來看待它，甚至把它們看做是一樣的，那麼我們只需要對具有不同維數的線性空間進行研究就足矣，所以維數就是研究線性空間的不變數。這就是映射在數學中所起到的至關重要的作用，簡化了研究的問題。

在日常生活中，我們也可以用相同的思想來處理。我們知道數有許多優良的性質，比如可以是無限個，可以是有序的，是有值的，所以我們可以將許多複雜的東西與數建立起映射，甚至是一一映射，就可以用看待數的觀點來看待他們，這也就給數賦予了意義。例如：每個人可以和身份證號碼建立起一一映射，參賽選手可以和選手編號建立起一一映射，內存中存儲的數據可以和數建立起一一映射等等。

所以說數可以什麼都不是，也可以代表一切，這大概就是數學的美。

學識有限，不對之處還望不吝賜教。

必須區別「數」和「數字」：

「數字」(Numeral)，即數的文字，是一種具體符號，阿拉伯數字，羅馬數字，就是指這種符號。

「數」(Number) 是一種抽象概念，不是符號本身，就像你並不是你的名字。

數字是用來表示和記錄數的一種符號。

謝邀……

這個問題真的不該我來回答……

因為我能說的真的不比 @淵岳和 @嘉嘉更多……甚至不比 @Bennie Chen更多……（倒不如說，對於上面幾個答案，我都只是剛能達到勉強能看懂一部分的程度而已）……

不過實際上以題主的這個問題來說的話……說得如此深入可能題主也理解不了就是了……

如同 @祁雨奇的答案中所說，數字是一種語言符號，數是一種語言，因為語言原本就是用來描述萬事萬物的，所以萬事萬物都能「化為數」並不是一個什麼奇怪的事情……

但數又與很多其他的語言是有區別的……是一種十分特殊的語言……至於它特殊在哪裡，請參考@淵岳和 @嘉嘉以及 @Bennie Chen的答案……這些都是數學家對於這種語言的特殊之處所做的描述……

羅素在Principia Mathematica裡面詳細定義過。（這本書似乎沒有官方中譯本因為翻譯不過來。。）

"A number is anything that is the number of some class."

這裡不是circular argument。因為"the number of a class"里的「number」並不是通常意義的number。

"The number of a class is the class of all classes that are similar to it."

注意裡面的similar是根據bijection定義。指兩個classes里的所有元素可以一一對應。

舉例：

0 is the class whose only member is the null-class.

2 is the class of all couples (i.e. classes consisting 2 members).

感興趣的可以看下原著。

吳軍在《數學之美》這本書里闡述了基於資訊理論的文字和數字的產生與分離。

數字從文字中剝離出來後，可以獨立表達、運算，這是其他符號所不能的特性。

由於數字的內容可以與其他形式進行表達且不容易出錯，如次數、頻率、幅度，所以數字也是全球最易理解的文字或符號。

因此數字在信息交換中充當非常重要的角色。

通過對信息的編碼、壓縮、解碼，這就是數字化的最經典的應用。

樓主所說的『萬事萬物可以化爲數字』所指的應該是數吧。

首先說說數字。正如@屈竟通所說的，數字是一種具體符號，數是抽象概念，經常被人問說爲什麼1+1一定要等於2，而不是3不是11不是pi，其實這根本就是一個不成立的問題，因爲我們對於2的定義就是1+1的結果，當然你可以定義其爲3爲11，可以用任何符號來代替，我們的數學不會有任何變化（好吧，出了符號上的變化）。

再說數。我對數集的看法和一樓有所不同，我認爲，自然數集其實就是1生成的free monoid（謝謝@Yiqi Xu 的指正）；整數環是加入了0和加法逆元所構成的環；有理數域Q是整數環的quotient field，也就是說加入了乘法的逆元；實數域R是Q的completion，而C是R的代數閉。這兒需要指出，我們是幸運的，因爲得到的C恰好也是完備的，不然……那我們只能繼續completion-alg.closure的步驟了。（例如函數域的情況就沒有那麼幸運，不過這有些過於專業了）。好像有人說過什麼數論是數學的皇冠什麼的（大力宣傳歌德巴赫的說辭？），我同意，但對於數論，似乎有一種普遍的誤解，認爲數論是研究1+1=2的，怎麼說呢，數論研究的對象是數(甚至有時候可以說是整數)，但這裡對於『數』的定義和我們平時的看法，或者說和一般人對『數』的定義是有差別的。在這裡的整數，更確切地說，整環，指的是一個域（更確切地說是一個domain）中的整元，例如我們平時所說的『整數』就是有理數域中的整元，例如代數數論開始階段便會接觸到的Gaussian integers，這些數的所謂『整』，是有相對性的。所以有的時候數論的paper啊書啊之類的根本不會像某些人想像的那樣全是數字，相反的，我們平時寫的數字甚至少於很多做應用數學，尤其是數值分析的人們。數論之所以美，很大的原因在於從現實生活中的抽象提升，例如從Euler對有無限多個素數的證明到Green-Tao，例如費馬大定理和modular forms，例如BSD, 例如RH和GRH以及衍生出的衆多『定理』，我們在努力用邏輯建立一座完美的塔。至於應用麼，coding cryptography似乎是我僅能想到的應用。雖然我不完全同意Hardy對好數學就是沒有應用的數學的看法，但是，爲什麼要那麼care應用呢？這無關對於我們工作的評價，況且，數學一直都領先時代一百年不是麼？

個人的一點淺見，歡迎指正。

-----我是補充的分割線------

忘了說了，雖然我愛數論，但說實話我沒覺得數論有lz所說的那麼神奇，萬事萬物，真的誇張了，數論的美不需要這麼誇張的來體現，真的，平平淡淡的也很美的

是一個空間到另一個空間的影射

數字本身是一種在定義了單位以後的比例關係，（當確定了1單位，別的數字都是一種比例關係）

數字是抽象的，但是又是具體化的最佳體現。

數字拋棄了事物的細節。

數字是一種元。

數是什麼的問題本身不是數學問題，所以一般數學家也不回答這個問題。為了說明這個問題，讓我們先從什麼是錢說起吧：錢是什麼？錢是貨幣，也是等價物。近代，隨著支付方式的改變，人們更趨向於把錢說式是等價物的符號了。對所謂等價物也即高品的等價物。從這個角度講錢也是商品。不太遠的未來，錢就只剩下符號的作用了。與錢相似，數，最原始的作用是「等量物「（例如用三粒石子表示三隻鹿）。後來為了計算和保存的方便，才發明了等量物的符號，如「三」代表三粒石子。現在的數，不是客觀事物的量的符號，而是任何能夠代表客觀事物的等量物的符號。三元錢指的是三元錢的貨幣，不是指三元錢買來的那盒冰激凌。同樣，數字三，不是指三隻鹿，而是指代表著那三隻鹿的三粒石子。這三粒石子是等量物，數字3是三粒石子這個等量物的符號。我甚至想，如果不考古的話，千年後的經濟學家們恐怕也說不清錢是什麼了。因為到那時，錢只剩下了貨幣的符號，各種貨幣，如金、銀、紙幣都失去了作用，沒有了。而類似現象，在數中出現得更早，大概在幾千年前的美索不達米亞就己經出現了，自那時起，數就只是石子剩下的符號了。那麼，數是到底是什麼呢？我現在可以說：數是表示事物的量的等量物的符號。