海涅定理與弱收斂的定義有關係嗎？

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謝邀，這個「想法」在方向上是對的，不過你的理解還是相當不精確。嚴格的說一般的空間在弱拓撲意義下也不具有「海涅性質」，即使是一個banach空間 ，其中的有界閉球是弱緊的當且僅當這個空間是自反的。換句話說，一個banach空間具有相當的"結構"才能保證"海涅性質"，但是弱星收斂是一個非常自動的東西，它不需要另外的結構了， 中的單位閉球必然是弱星意義下的緊集。

值得一提的，雖然在一般拓撲空間中緊和列緊是兩回事，但是在賦范線性空間中，它們在「弱拓撲」下是一回事, 也就是說一個集合是相對弱緊集當且僅當其中的任意數列都有弱收斂的子列。

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對了，即使表面上的相似性不能代表它們背後的機制是一樣的，其實自反空間上單位閉球的性質的證明方法和海涅定理沒啥相似性，雖然你可以認為它們最後的表達具有某種相似性，然後利用這個去「記憶」。

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海涅定理和是否滿足第一可數公理直接聯繫

與弱收斂沒有關係。

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