什麼叫做 Funding Value Adjustment?

01-12

最近這個回答被朋友們翻出來，突然多了很多贊，好開心。論文答辯過後來補充點內容吧，不然對不起這麼多贊。（然而還是沒別人發張胸腿照的多嘛）

—————————————————————很高興看到一個我感興趣的問題，很想詳細說說自己的理解，拋磚引玉相互指導。先放一本書，可能會reference到。就是Brigo Damiano的 Funding Value Adjustment。如果要說FVA，估計得先從CVA DVA開始說吧？

08年信貸危機後各大金融機構甚至非金融的機構也開始顯現出明顯的信用風險了。也開始不得不考慮他們的違約風險。違什麼約呢？我們假設我們從GS那簽了個vanilla interest rate swap, pay fix quarterly and receive 3M Libor.

這種合約在initiate的時候都是fair的，即對雙方合約價值為0。深入一點的話，你pay的那個fix rate是一個令此合約對雙方fair的rate，使fix coupon 的PV等於float coupon的PV。但是過了一天後，突然Libor大漲，這張合約的價值就不一樣了，而且是對於你有利。因為Libor漲了，所以你作為floating rate的recieve 方，未來cash flow的PV就高於昨天的PV。所以這張合約現在對你來說是個資產，而對於你的對手（counterparty）來說就是一個負債。這時你就不得不擔心對手的違約風險。而如何把這個對手違約的風險量化為一個數字以衡量我需要承擔的信用風險價值幾許呢？這時我們就引入了Credit Value Adjustment（CVA）。它可以被表達為一下這條式子。

$CVA=E_t^Q[ (1-R) imes D(t, au) 1_{ au<T} max{E_{ au}^Q[V( au,T)],0}]$

where,

$E_{ au}^Q[V( au,T)]$ 代表對手違約時合約的價值，

$1_{ au<T}$ 是對手違約的indicator function，

(1-R) 代表出去違約時不能recover的部分。

其實CVA代表的就是直到合約到期前，如果對手違約，損失的期望值。如果作為投資者，你知道了CVA，你就會對GS說「哥們，麻煩把CVA這麼多錢給我吧，由於你可能違約，算上這部分這才公平。」

當然，對方也不是傻子。你怕我逃我就不怕你逃嗎？萬一明天Libor跌了，你跑了，怎麼辦？所以，GS也會根據你的信用情況，計算你的CVA，式子和上面一樣。而這裡所說的CVA，是站在你的對手方而言的。若從你的角度出發，這部分CVA，就叫做Debit Value Adjustment（DVA）。即自己對於自己可能違約而作出的價格調整。

$DVA=E_t^Q[ (1-R) imes D(t, au) 1_{ au<T} min{E_{ au}^Q[V( au,T)],0}]$

（注意是負的）

而此時，一個完整的，經過雙方信用價值調整的價格才是買賣雙方都會同意的價格（如果你們倆都自己和對方違約風險的評估一致，即算出一樣的CVA DVA）。

此時的資產價值=無信用風險時的資產價值-CVA-DVA。

（有些書上寫的是+DVA。其實是一致的，因為我這裡給出的DVA是負數）注意到沒？如果你手頭上有一資產，而突然間你自己的違約風險大增，就會讓這個資產的價格上漲。而在accounting的角度，這部分就會account for a profit了。這就是所謂的DVA gain。是不是感覺有點contradictory？

現在開始引入FVA。假設我們現在關注的是一個歐式齊全。先不考慮CVA，DVA。在BS model 下，他的價格服從PDE：

$frac{partial V }{partial t} + (r-d)S_t frac{partial V}{partial S_t} + frac{1}{2}sigma^2_iS_t^2 frac{partial^2 V }{partial S_t^2}- rV =0,$

這條PDE，是從replicating portfolio （或者是 Delta Hedge）推導出來的。而最基本的假設是，投資者可以以無風險利率借貸，這裡就是關鍵了。銀行現在不可能假設自己可以用無風險利率借貸了，因為違約風險很明顯了。跟覺每個銀行的違約風險不同，其借到錢難度和cost都不一樣。

如果有意個投資者到了投行里說要買一個option，銀行就要考慮自己replicate這個option的成本有多高。例如replicate一個put option需要short stock 和 long cash。而long cash就牽涉到trader得從銀行內部的funding desk融資，可以簡化地看成 $r_f$+ credit spread。 short stock還好，可以假設在repo market進行，所以其成本近似與無風險利率$r_{repo} approx r_f$. 現在應該可以看出為什麼說FVA是一個cost。如果銀行違約風險高，融資成本就高，賣的衍生品價格就會相對貴，越來越沒有競爭優勢了。

相應的，這個option就不服從傳統的BS-PDE了。而是一條夾雜者funding rate和repo market rate的PDE。（原本想把這條PDE寫上來，但是我已經有段時間沒看這塊了，需要時間複習一下才敢方上來。所以這裡乾脆忽略了，只講講intuition。）

（好吧，找到了。這是一條加入了 CVA DVA FVA 的 PDE。推導過程是用Repo Market上tradable的公司A B 的債券和 underlying做對沖）

$frac{partial V }{partial t} + (r-d)S_t frac{partial V}{partial S_t} + frac{1}{2}sigma^2_iS_t^2 frac{partial^2 V }{partial S_t^2}<br />+lambda_A(V^+ + R_AV^-)<br />+lambda_B( R_BV^+ + V^-)<br />-(r_f+lambda_A+lambda_B)V<br />$

$+Delta r^{S}_{repo}S_tfrac{partial V}{partial S_t}-(r-1/h r^{D}_{repo})(1-R_B)V^+ S_B$

where (參數請允許我詳細再看一次我的notes後再解釋)。

簡單的說就是把自己的融資成本算到衍生品的價格上。這就出現問題了，即100個投行有100個價格。那麼到底應該不應該把融資成本算到價格裡面去呢？就這個問題，有過一番爭論。業界已經是習慣把自己的融資成本算在衍生品價格上了，但是John Hull曾經認為不應該把這部分cost算進去，因為不符合一價定律。而有更多的paper指出應該算進去，這裡就不一一給出reference了。有興趣的可以google一下關鍵字「is it funding value afjustment realy a cost?」.

有一點需要指出，FVA有點像DVA，它們都反映了一個公司的credit。但是FVA更多的是表示公司的融資成本或liquidity risk。在某中情況下，當funding disk 的 funding rate=riskfree+credit spread時（通常大於），上面那條包含CVA DVA FVA 的PDE 中，FVA 和 DVA 的兩項會正好cancel了。（翻自己的note時看到了這句話，但是沒細看之前的推導了）

我們現在已經看到FVA的重要影響了。他幾乎顛覆了傳統的資產定價原理。而在某些情況下，衡量FVA會變得異常的複雜，例如存在collateral的協議時，需要考慮用於抵押的資產是否可以用於再投資，抵押品的清算多久進行一次，最少抵押單位是多少之類的問題。Perfect collateral的情況下，FVA就類似與樓上steven li寫的那樣，就不贅述了。

當把抵押，抵押品再投資等情況考慮上的時候，衍生品所服從的PDE將會是一條recursive的PDE, which take a long time to solve.

還有一點點不知到是題外還是題內的話。在計算FVA時，我開頭推薦的那本書里有些formula的expectation是在physical measure而不是neutral下計算的。但是有一次那本書的作者 Brigo Damiano來我們學校參加seminar。我就問這種情況怎麼計算，他居然說:「they dont mind it」

(=。= ) 由此可知，FVA到現在還是一個大概是那樣又很難說得清楚明白的事。

（原本幾天前看到這個問題就想找幾個小時好好坐下來寫回答，結果還是分了幾天寫。可能不連貫，不到位，先發上來，容後修改。）

Funding Value Adjustment(FVA) 是近幾年在counterparty risk modeling領域出現的一個新的概念，某種意義上說是對已有的CVA和DVA概念的補充，主要背景是在08金融危機後，傳統上銀行一直沿用的基於LIBOR的所謂risk free discounting framework收到了挑戰和質疑。銀行和其他金融機構在衍生品定價，融資以及對衝過程中的funding cost成為衍生品估值過程中重要的考慮因素。

一方面，FVA與DVA類似，因為二者的絕對值都隨著反映估價方（比如銀行）信用風險的credit spread的增加而增加，但是另一方面，FVA又與CVA有相似之處，因為二者都是cost, 二者的存在都使得金融衍生品的價值降低。在2013年第四季度的財務報表中，JPMorgan第一次公布了基於FVA而做的對賬面衍生品市值的高達15億美元的一次性調整。今後衍生品的價值調整將基於FVA和調整後的CVA （也叫ECVA - Economic CVA), 代替之前的CVA + DVA.

FVA 的計算，不同的文獻的定義略有差別。但基本思想是考慮一個基於perfect collateralization的調整。所謂perfect collaterlization是指衍生品的抵押值在任何情況下都與衍生品的市值同步，也就是連續調整，提供抵押的一方需要通過internal treasury或是市場融資來提供抵押所產生的資金，而收到抵押的一方需根據抵押值支付相應的利息(稱為抵押率-collateral rate). 某些情況下，獲取抵押的一方可以將抵押品作為其他交易的抵押品押出（稱為rehypothecation)並收取相應的押利息。在衍生品和抵押過程中只涉及單一貨幣的情況下，FVA的表達式如下:

$FVA=int_{0}^{T} E^{P^{*}} [e^{-(r_{b}(t) + lambda_{K} (t)+ lambda_{C} (t))t} (s_{b}(t) V_{b}(t) - (s^{C_{R}}_{t} C_{t}^{+} - s^{C_{P}}_{t} C_{t}^{-}) ] dt$

其中 $r_{b}(t)$ 為抵押利息（可取為OIS rate)， $lambda_{K}$ 和 $lambda_{C}$ 分別為交易雙方的hazard rate， $s_{b}(t)$ , $s^{C_{R}}_{t}$ ， $s^{C_{P}}_{t}$ 分別代表在perfect collateralization, 收取抵押品，以及交出抵押品下的funding spread,也就是funding rate 與抵押品利息的利差。 $T$ 為衍生品的到期日。

如果牽扯到多貨幣，所用的discounting curve 需要參考衍生品CSA的規定。投行的central funding hub會一次性charge 交易台根據上面的方法計算出的FVA。如果

說一下自己的理解。。

跟一個counterpartyA做一個swap，有csa；然後跟一個counterpartyB做hedging swap，沒有csa。

這樣，如果swap的mtm小於零，要給CounterpartyA collateral，hedgung swap的mtm雖然是正，但是沒有csa，所以無法從CounterpartyB收collateral，所以就需要funding，從treasury拿給CounterpartyA。

所以這個csa mismatch要考慮到pricing裡面去

你最好簡單介紹下自己背景，這樣我們回答才能有針對性。比如你知不知道 CSA，Libor and OIS是什麼。我覺得現有的兩個答案都很好，但樓主能看懂那個超長PDE的話估計就不會來問FVA問題了。

什麼是FVA？

簡單地講，financial institutions 在交易 OTC derivatives時都會有CSA，規定了包括抵押品(collateral)在內的各種條款。隨著MTM變動，會產生collateral post or receive。比如你在交易過程中掙了100萬(但交易還沒有到期)，你當然希望對方(counterparty)能先付給你100萬，不然counterparty破產這筆錢你可能就拿不回來了。此時你的counterparty就要湊100萬來給你，這100萬是有一個funding cost的 (每個銀行都有一個treasury department來提供funding)，這個cost應該反映在你所交易的衍生品的MTM裡面(嗎)? 各方爭論比較大。如果是，該怎麼調整MTM，這個調整的數量，就是FVA。此外還有CVA, DVA。我工作的銀行系統里確實對一筆交易都有一個 (FVA bill amount)，我沒有仔細看過，因為我覺得這個概念挺扯淡的。

為什麼以前不提FVA ？

因為07,08 financial crisis以前，funding cost很低，我湊100萬給你，cost可能只有100塊，並且你收到這100萬後，你是要付給我利息的！這個利息跟我的cost很接近，最後差別可能是幾塊錢，所以大家都不在乎。但現在變了, funding cost and interest payment不在互相抵消了。所以這對各個financial institutions來說就不再是一筆小錢了。