十二平均律理論的科學依據是什麼？

01-12

就是為什麼要把兩個頻率正好翻倍的音，中間平分成十二份還有自然大調為什麼要是全全全半全全半，道理在哪呢？

來強答覆習一下西方音樂史...

古希臘器樂始祖一個叫里拉琴的東西

一個龜殼（共鳴）插兩牛角，牛角再掛羊腸子來發音.....音響效果爆難聽

在當時不可能有現在這麼高科技，分音高可能用「三分損益法」，說白了弦的長度定音高，所以不會每一赫茲都分一個音....

然後再聊一個叫做畢姥爺的

古希臘那時候音樂幾乎沒有器樂間的過多協奏，。大多都相對音高的【全半關係】。理論一定都是實踐的總結，那個年頭用弦長為尺度弄這麼多音。恰好這一套體系也符合人耳的審美和需求，所以保存至今，古希臘之後古羅馬，再之後中世紀，人們造樂器也都會基於古希臘愛琴海文明的理論。。。在此基礎發展....

吐槽一句，豬載堉十二平均律在歷史上到底有何卵用？不是很懂

從十二平均律說起

音樂的基本單位是不同音調的音。所以樂理很基本的一項工作就是要定出音調的序列。最好是有一個統一的標準，這樣全世界都能按照這個標準去調試樂器，而且這個序列最好是「均勻」的，也就是說相鄰兩個音的音程是差不多的。通俗點說，你唱音階的時候應該覺得音高是均勻變化的，而不會覺得變化得突兀。均勻的好處是方便轉調，比方說一首歌你唱不上上去的時候，整體降幾個音，歌曲音的相對變化還是一樣的。所以怎樣確定音調的序列呢？

以現代的視角來看

讓我們來回顧一下中學物理的知識：

1. 音調的高低是由頻率決定的

2. 人耳能夠聽到的聲音頻率在 20 - 20000 Hz

頻率是連續分布的，但音調並不是。因為人耳並沒有敏銳到分辨出非常微小的頻率差別。（學過大學物理的也知道音的頻率不是「純」的，如果你對它做傅里葉變換，會發現它在頻域有一個分布，只有兩個音的中心頻率有一定差距的時候才足夠分辨它們）

那麼頻率和音調是怎樣的關係呢？最簡單的猜想——線性。比如說 A, B, C, D, E, F, G 分別對應 440, 540, 640, 740, 840, 840, 940Hz。大家都知道鋼琴被稱為樂器之王，它的音域非常寬廣，完全涵概了音樂中所使用的整個樂音體系。也就是說它 88 個鍵涵蓋了人類音樂所需要的音，而這些鍵又是和音一一對應的，從左到右依次升高，頻率範圍從 27.50 到 4186.01Hz。它最左邊的兩個鍵頻率相差不到 2Hz。也就是說如果音調的頻率是線性遞增的，那麼鋼琴得有 (4186.01 - 27.50) / 2 約 2079 個鍵。Oh, my god。

看來人耳對聲音頻率的感知並不是線性的。那會是什麼呢？是指數。也就是說音調的頻率不是上面的等差數列，而是等比數列。我的天！在這裡真是不得不感嘆造物主（自然）的偉大。不是什麼亂七八糟的函數，只是簡簡單單的一個指數函數。當然它比線性函數要複雜，但是它非常」經濟「啊，設想一下如果有兩千多個音調的話，音樂將會變得多麼複雜。指數給了人類一個比較寬廣的聽覺範圍的同時，讓人類對某些」重要」頻段的音感知得細，「不重要」頻段的音感知得粗。從中感悟出自然界的兩大原則：

1. 簡單

2. 經濟（實用）

扯遠了。有了上面的基礎，要定出音調的序列就很容易了。十二平均律將一個「純八度」分成12份，每份稱為1個半音，兩份為1個全音，以此定出所有中間的單音，所以比值是。

回望歷史

以現代的視角來看，定出這樣均勻的音調並不困難。但是古人並沒有這樣的認知水平。雖然現在基本上都採用十二平均律了，但歷史還是在現在的音樂體系中留下了痕迹，所以還是有必要談點歷史。

音樂起源於史前時代，現在的考古發現在新石器時代就有了樂器（距今超過 8000 年）。樂器的三大類別：弦樂、管樂、打擊樂。其中音調變化最豐富的弦樂對音律系統的貢獻最大。

中學物理又告訴我們對同一根弦來說，振動的頻率和弦的長度成反比。古人就是基於這樣的原理，拿一根弦，按一定的比例對它進行切分，來找音。中國有「三分損益法「，西方有」五度相生律「，原理是一樣的，只是比例不同。《史記》「律書第三」中寫到：「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」這就是中國的五音。西方則用「五度相生律「定義了 {C, D, E, F, G, A, B} 這七個音。

再後來東西方基於原有的理論繼續找音，各自發展出了十二律制，不過這些律制都不是前面提到的「平均」的十二律。西方古典音樂可以說發源於文藝復興時期（1400年到1600年），在文藝復興時期結束時，音樂藝術已經有了長足的發展。但是當時的十二律制並不平均，轉調時相對音程改變的問題還是困擾著整個音樂屆。而在 1584 年中國的一位叫做朱載堉的音樂家意識到了十二律之間的比率應該是，並且用九九八十一位算盤計算出來準確到 25 位數字的比率。多麼驚人的成就啊！十九世紀德國物理學家赫爾曼·馮·亥姆霍茲在所著的論音感一書中寫道：「中國有一位王子名叫載堉，力排眾議，創導七聲音階。而將八度分成十二個半音的方法，也是這個富有天才和智巧的國家發明的」。

後來他的這套理論由傳教士帶到歐洲，被歐洲音樂屆採納，用於修正五度相生律，但是原來音的名稱和相對關係卻被保留下來了。遺憾的是中國的音樂卻沒有發展起來，這和中國科學的發展驚人的相似，早熟，有貢獻，但沒有深入下去，跟燦若星河的西方音樂無法相提並論。也許冥冥之中自有聯繫。

雖然有了十二平均律，但還是需要有一個標準音。1926年，美國樂器廠商首先制定了以 440Hz 作為 A 音的標準，並以此標準生產樂器。要知道那時的美國音樂實力已經強大到足以與歐洲抗衡，而美國的樂器則更是行銷全球。因此到1936年美國標準委員會正式推薦將中央 C 上面的 A 音的頻率定為440Hz。1955年，國際標準委員會 ISO 正式接受這一推薦，A-440 就成為了 ISO 的第16號標準。從那時起，全世界的音樂就都在一個調上了。

最後總結一下吧：

1. 十二平均律解決的是音調序列制定的問題

2. 音樂是感性的，也是理性的。它起源得很早，但是其理論得益於數學、物理的發展才走向成熟

http://weixin.qq.com/r/LUPF3ajE1-Worey_9xY- (二維碼自動識別)

從上面的表格看出，事實上從頻率比來說平均律並不是最好的律制，在鋼琴上不可能把平均律和其它率所有的音都用不同鍵來表示，這樣鋼琴鍵盤起碼有上千個鍵了，所以迫不得已。

所以，平均律只是妥協！

以下部分節選自我的文章：

進入巴洛克時期，復調音樂大量發展，對樂曲的轉調要求也越來越高，五度相生律和純律由於不便於轉調，所以作曲家開始嘗試更優化的律法。

巴赫開始使用的一種新律法，用這種律法調製的鋼琴叫做The Well-Tempered Clavier（德文Das Wohltemperirte Klavier），現在很多書翻譯為「平均律」，其實直譯過來應該叫做「好律」。

巴赫《平均律鋼琴曲級第1首前奏曲》_騰訊視頻

視頻

因為這個律法通過把每一個音都調製得有一些「走音」而消除了各音之間差距，比如在上一課純律中我們發現了「大全音」和「小全音」，「純五度」和「狹五度」這樣的區別。

巴赫的「好律」是一種巧妙的折中之道，雖然每一個音聽起來都有「缺陷」，但是每個音的缺陷聽起來都一樣「壞」，因此在轉調的過程中每個調聽起來不會有太大變化。

西方音樂界逐漸從「好律」又發展到「十二平均律」，這是一種以2的根號12次方為等比的律法，將八度內的音平均分為十二份。

其實早在16世紀（1581年左右）我國明朝的朱載堉就計算出了十二平均律，稱為新法密率，然並卵，沒有中國的音樂家使用它。

十二平均律的計算方法很簡單，以某音為基礎，只需要不斷乘以2的根號12次方即可得到下一個音的頻率，如下表：

而且在十二平均律里黑鍵上的音不管是用升號還是降號表示，他們的頻率是一樣的（要注意到在五度相生律和純律中都是不一樣的）。

在十二平均律中，根據標準音定義為a1=440Hz（第一國際高度），計算c1（中央C）的頻率，精確到小數點後兩位：

這就是十二平均律推導出的中央C的頻率。

十二平均律和其他律法的差異到底有多大呢？

註：最小比值是按照五度相生律和純律的最小數字計算，其中三全音按照特殊最小值計算。

從這個表可以看出，差異是非常小的。從此開始，以十二音為基礎的音樂開始普及，經歷了巴洛克時期、古典時期、浪漫時期、印象時期、現代時期，古典音樂蓬勃發展，這些時代的作曲家給我們留下了寶貴的音樂財富，換句話說，沒有十二平均律，就沒有今天我們聽到的這麼多音樂。

十二平均律算得上是音樂與數學中的一個巧合，世界上還有很多其他的律法，比如我國漢代劃分為60個部分、宋朝劃分18部分、印度劃分22部分、阿拉伯劃分24部分等等，這些律法始終都只在小範圍內傳播，也是因為在數學上受到了限制。

我曾經在這個回答里講過這樣一個巧合：

數學中有哪些巧合讓人眼前一亮？ - 知乎

最後解答一下大家常見的疑問：

1. 十二平均律里的「協和」與「不協和」是怎樣區分的？

答：在十二平均律里，如果以聽覺（頻率比）來判斷，除了八度以外都是不協和的，所以「純五度」、「純四度」聽起來都不協和。但是通常我們在音程里說「協和」與「不協和」並不是來自於平均律，而是來自於純律，並且已經形成一種固定的樂理，所以可以理解為音程上的「協和」與律法無關，只和音程本身有關。

2. 學習彈奏鋼琴一定要學調律嗎？

答：不需要。可以掌握一些基本的調律知識，有小問題時可以自己修整，但是調律這件事最好還是讓專業的調律師來處理，演奏者只需要在一台調好的琴上演奏即可。

3. 既然彈鋼琴不需要懂律法，那我學這些知識有何用？

答：技多不壓身，律法的變化不僅反映了音樂史，而且和作曲家選擇調性也有一定的關係，很多彈鋼琴的朋友覺得升C就是降D，因為它們是一個黑鍵，於是在讀譜或寫譜的過程中就很隨意，這就是不懂律法造成的，實際上為了更深入了學習作曲家的作品，一定要學習律法，這樣能進一步明白作曲家的意圖。

【課程】趣味樂理第三課（平均律） - 知乎專欄

你問 12 的來歷啊，因為 $( frac{3}{2} imes frac{1}{2} imes frac{3}{2})^6approx2$

12平均律是在純律的基礎上發展來的，純律的特點是分數生律，但是1/3和2/3畢竟不等於0.33和0.66，所以純律會有大半音和小半音的問題，對多次轉調來說有先天性的困難，12平均律就針對這樣的問題，去掉了大小半音的區別，把12個半音平均分配，但是12平均律的純五度其實並不是完美的純五度，和弦的融合度不如純律。全全全半全全半是伊奧尼亞調式，在大小調體系還沒有確立絕對位置的時候，從古希臘發展起來的中古調式從7聲音階的任何一個音開始都可以，然後還有各種混合模式。在實際應用當中伊奧尼亞和艾奧里亞兩個模式被認為是一套完美的搭檔，所以後來發展成和聲體系里最重要的核心基礎之一：大小調功能交替

http://www.cnblogs.com/devymex/p/3387054.html