數學學習中的遺忘？

01-12

對於數學學習中學了後面忘前面的情況（大體內容記得，但有些細節遺忘），以及其帶來的不自信，如何行之有效地進行複習，在何時複習才能不與學新內容的時間衝突。

謝邀，首先要明確一點：人類都是會忘記的，但是有些遺忘是因為學習方法不當或者基礎不牢引起的，有些是自然的。舉例，比如你是做抽象代數的博士，你忘記分析的東西是很正常的，反正用不上（這裡不需要較真，有些人確實用不上），我個人抽象代數也忘記得差不多了，距離我上一次看抽象代數快8年了，然後一直用不上（除了運算元代數偶爾用用）。但是，如果你本人是本科生，然後這個學期忘記上個學期的東西，甚至你還在學泛函分析，但是實變函數在你腦海里變得模模糊糊了，這是一個比較危險的信號了。說明你學習方法上還是有點問題的。首先，好學校的課程一般是每年都有分析、代數、幾何這三門課程。所以你一直都會學習這三個大類，而正確的學習必然要前後聯繫的，一種體系化的前顧後畔的學習。如果你是這樣學習的，那麼你應該不會出現大量遺忘的情況，正確的打開姿勢是這樣的：你回頭看以前的書，你非常輕鬆地看明白了以前很難看懂的定理證明，以前不會的習題，現在就能做出來了，這樣說明「你的確在進步」，即使你忘記了一些細節也不妨礙這點。

那麼如何做到呢？下面是我個人的學習方法，希望對你有所幫助。

第一、在學習「高等課程」的時候不斷努力把它和「初等課程」的內容相聯繫：這種聯繫有初級的也有高級的。比如你學習「泛函分析」的時候 $L^p$ 空間是一個重要的對象，你把各類泛函分析知識用到這個空間上必然需要你不斷「使用實變函數」的知識，當你遇到需要用到這些知識的時候，你要不斷調用「實變」函數，你要確信自己在使用這些東西的時候對所用的東西有清晰的了解。如果能保證這一點，那麼每一次使用就是一次「複習」。還有一個前後聯繫的方式叫「殺雞用牛刀」，當你學習了高級工具和概念後，你試圖用這些東西去證明／理解一些「原來的初等定理」，不但會讓你「豁然開朗」，也能讓你對原有的知識有更細緻的理解。比如 $(L^p)$ $(1leq p<infty)$ 這個結論在你學習完reflexive space後可以基於這一點給出一個非常「簡單」的證明。我閑著沒事的，比如坐車的時候就會做這種事情，用高級知識去證明一個初等的東西，自娛自樂，比如 $(L^p)$ $(1leq p<infty)$ 這個結論我會三種不同的證明邏輯。雖然我早忘記我最早看的書上是哪一種了. 比如 Tychonoff』s Theorem, 最早我看的那本書上這個定理的證明比較繁瑣，後面我學完filter和ultrafilter後學會了一種非常簡潔的證明，只有幾行。

第二、做筆記。這個方法我在自己的專利裡面介紹了，

如何做數學筆記

這裡我就不浪費了時間重新寫一遍了，需要提一點，做筆記就要看，不要為了做筆記而做筆記，那是非常傻的事情。我個人的筆記是經常看的，反覆看，每周都會寫新的內容，一般是這首學到的東西，慢慢積累。

第三、知識這個東西需要不斷的複習和訂正，一個比較有趣的方法就是到知乎/MSE這種數學論壇上回答問題，甚至看別人回答問題，既可以殺時間也可以複習知識，不過複習的過程中一定要有一個體系化的知識，盡量在腦海中有一個清晰的前後邏輯聯繫。我在下面的回答中也提到相關的內容。

dhchen：學數學學到什麼程度怎樣才算學好了？

我的很多學生也有題主一樣的困惑，他們是高中生，下面主要面向高中學生談談如何避免出現學著後面忘了前面這一情況。

首先，一定要學會自己推理數學結論的習慣，盡量把數學書上出現的公式、定理給推理或證明一遍。不會證明的，那就需要用筆記本記下來，然後經常複習。

其次，學數學必須要刷題，刷題的意義在於加深對所學知識的理解（當然也就能更好的記憶了）以及提升自己的數學思維能力，隨著思維能力的提升，你會發現，很多數學知識是理所當然的，根不不需要費力去記憶。

最後，通過建立各知識之間的聯繫，建構自己的知識結構。「知識結構」是個比較玄乎的東西，我很難說清楚，好像就是常說的「由厚到薄」的感覺.

反對高票答案！

這種答案只講大道理不講操作細則其實是一味上等的學習雞湯而已。

首先，你要看你是哪個學習階段的，具體問題具體分析。

1.如果你是大學掛科要補考。經過一個多月兩個月的假期，你可能已經忘記某個數學科目的內容了，但為了應付考試，你不得不再複習，這時候，你要做的是根據題目來複習，這樣一來有效率，二來可以根據複習激活你的數學內容儲存。如果這時候你再看數學書和筆記本，複習效率比不上根據題目來複習的方法。

2.如果你你是二戰考研生，上次考研沒考中，迷迷糊糊過了大半年，然而，你不得不面對即將的二戰，要重新開啟你的數學課複習。那麼這時候怎麼做呢？你是再看一遍複習全書和筆記嗎？No！這時候你要做題，可以是去年模擬題也可以是某些真題，通過做題來激活你原來的數學內容儲存，這比再次看書有效很多，因為你是帶著任務去做的，帶著解決題目的任務去看書的，因此他更有效的激勵你記住某些定理和內容。

3.如果你是研究中用數學的某些內容的。比如，你是一名經濟學助理教授，寫論文的時候需要用到一些數學公式和某個定理的內容，這時候最有效的方法是看課本或者筆記本，因為你的目的不是為了考試，而是為了直接利用。

所以，方法很簡單：通過做題目來激活你已經忘記的數學內容儲存，這是最有效的。

不過，話說回來，數學很難學，同時也很難忘，就考研來講，你去年背了政治課的遵義會議的意義，過了半年基本上都忘了，要再記起來你不得不再背，花的時間和去年希望。但數學就不同，如果去年你會用矩估計法，今年忘了，你只要再做一個矩估計法的題目（不會就看書）就馬上讓你的矩估計法這一知識點和去年一樣記得牢固。

比如，我已經幾年不看《數學物理方法》了，但現在再看下面的題目，我依然可以計算出來。

拿著那麼點錢，操著那麼多人的心，果然還是不行阿。

你的問題是體系結構，朋友。去看目錄，所有的數學書的目錄，前言也可以瞧一瞧，其他不多說了，別再吃我吃過的虧了，我可是幫你分析了。你看就我的答案最容易懂，那些長篇大論的，想把論點論據提煉出來都費勁，他們都厲害著呢。