控制系統中的零極點有什麼物理意義么？

01-12

控制系統中的零極點有什麼物理意義么？還想問問怎麼學自控理論這門課，感覺好抽象。

有物理意義呀。當然有了。

想像一下，你從早到晚坐在自習室研究零點和極點，注意力高度集中徜徉在知識的海洋里，十點半保安大哥來關燈關門的時候，你面帶微笑，合上書本，心滿意足地問自己：

我都學了些什麼鬼？！

呃，是。脫離了物理意義去想這些零點和極點，總是感覺有點兒縹渺。搞不清自己學的到底是無臉鬼，無頭鬼還是送紙鬼(啊，多年以後我都不敢在上廁所的時候回憶這個鬼故事)。

所以，讓我們腳踏實地，聯繫一點兒實際的東西來說一說零點和極點。因為我是做電路的，所以讓我們從電路開始，然後推而廣之。

一如既往地，盡量不寫公式。上公式就跟上刑具差不多。諸位沒有參加過革命，一看見那些公式，保准不會繼續朝下看啦。

開始吧。

首先，零點和極點這些概念出現在系統中。

什麼是系統呢？

一個系統以一定的規則來對輸入信息做出反應。

如果這個規則是固定不變的，那麼只要我們能清楚這些規則，那麼我們就能預測一個系統對輸入信號會作出什麼樣的反應，輸出什麼樣的信號。（相比之下，女朋友就是一個不可預測的系統）

很幸運，在這個世界上有很多系統滿足下列兩個特性：

1。對一個確定的輸入正弦信號，只輸出一個同頻率的輸出信號

2。如果輸入的信號可以分解成有限/無限個正弦信號的和，那麼輸出信號就會等於這些輸入信號獨立輸入時得到的輸出之和。（若稍有拗口，請再讀一遍）

我們稱這種系統為線性時不變系統。

接下來，如果我們知道一個這樣的系統，對每種頻率的輸入信號會有什麼樣的響應。（這個響應包括兩部分，一是經過系統以後，這個信號幅度會變大還是變小。二是經過這個系統後，這個信號會不會有相移，有多少相移。）

那麼我們就能推測出對任意的輸入信號，系統會給出一個什麼樣的輸出。

好了，只要能理解上面這些簡單的概念，就能理解極點是怎麼來的。或者說，為什麼一個電阻加電容構成的低通濾波器，他的系統傳輸函數裡面有一個極點。

下面解釋這一點：

我們知道，經過一個電阻去對一個電容充電，總是有延時的。在輸入信號改變的時候（想像輸入電壓瞬間從0變到1V），輸出並不會立刻改變。它改變的速度是跟電阻和電容的大小相關的。越大的電阻，越大的電容，就會有越大的延時，這個延時正比於R*C （很有趣的是，如果分析一下R*C的單位，就會發現它的單位是秒，所以我們稱它為時常數，另一個有趣的事情是，在這個系統上施加完這個1V信號以後，如果你等3倍時常數以上的時間，輸出的值就已經非常接近輸入了）。

也就是說，當你輸入了一個很慢的信號的時候，（想像一個非常慢的正弦信號），電容上的電壓幅度會和輸入幾乎沒有區別。因為它總能跟上輸入的變化。

所以對於比較低的頻率來說，輸出信號的幅度保持不變，在波特圖上表示出來是一根橫線。

而當你輸入了一個更快的信號，它在一個R*C時常數時間內就會變化一個周期甚至幾個周期的信號的時候，想像會發生什麼：

輸入變得很高，但是輸出還來不及跟上呢，輸入就又變低了。

所以輸出信號的幅度無法達到輸入的幅度。

輸出信號的幅度大概由什麼來決定呢？

由每一次輸入信號變高的時長來決定。換句話說，由周期決定。周期越短，輸出能夠得到的充電時間就越短，輸出信號的幅度就會越小。

這就是我們看到的，在波特圖上，在比極點更高的頻率上，信號幅度開始以-20dB/10倍頻率（其實就是頻率每變高十倍幅度就會變低十倍）的趨勢降低。

所以一言以蔽之，極點的物理意義大約就是延時相關的。

因為有延時，所以比延時更慢的信號，能夠幾乎不衰減地通過系統，而比延時更快的信號呢？不好意思，你要是變得越快，通過我以後你就變得越小。

懂得了這個道理，當你看到在傳輸函數中有一個極點的時候，大概就知道，這個極點可能是跟電路當中某一級的延時相關的。

懂得了這個道理，也就可以想像出，溫度在固體物體當中的傳輸應該也有極點。並且熱容可以等效成上面的電容，熱阻剛好也可以建模成上邊的電阻。

上面說完了極點。那零點又是怎麼回事呢？

零點往往暗示在系統當中，有不止一條信號傳輸的線路。

想像一下，如果我們在上面的低通濾波器中，給電阻並聯一個小小的電容（小於十倍輸出電容比較好），我們就能得到另一條信號的通路。

如上文所述，當頻率比較高的時候，在一個信號周期內，由電阻傳過來的信號會隨著周期的變短而越來越小。大約會正比於T/R （T是）

可是從並聯電容過來的信號呢?它可不會變。

所以在比較高的頻域內，輸出信號的幅度就不再下降了，會變成兩個電容的分壓比。

在波特圖上看到零點的樣子，就剛好跟極點相反，由-20dB/10倍頻率變成一條橫線。

先寫到這兒吧~

後續計劃寫一寫左邊平面零點和右半平面零點是怎麼來的。以及

怎樣通過時域信號對階躍信號的響應來做一些簡單的零點極點的判斷。

以及波特圖到底告訴了我們什麼信息。

也不知道有多少人能看到這裡~ 有人氣再繼續。

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自動控制理論這門課是不好學。很重要的一個原因是沒有特別優秀的教材，並且很可能老師在講課的時候也不太注重解釋「我們到底要幹什麼」，所以很容易學得雲里霧裡。

而且，相信我，即使現在感覺學懂了題目都會做了考試也通過了，等到將來學完狀態空間描述，學完線性系統理論，甚至再學一些非線性系統的知識之後，你還是會發現以前的好多理解太膚淺，甚至不正確。

要知道零點和極點的物理意義，首先要知道它們是怎麼來的。

——這個很簡單，從傳遞函數里來的。

那傳遞函數是怎麼來的呢？

——拉普拉斯變換。

為什麼要做拉普拉斯變換？

這個問題就不是那麼好回答了。

（拉普拉斯變化有很多種物理意義的解釋，我這裡只提供其中一種。）要想回答這個問題，我們需要看看所謂的「控制」到底是在幹什麼。翻開任何一本控制工程基礎的教材，引言部分必然會舉一系列物理系統的例子，可能羅哩羅嗦一大堆。其實核心只想說明一句話：這個世界裡很多現象，是可以（也是必須要）用常微分方程來描述的。

輸入u(t)，輸出y(t)，還有它們各自對時間t的導數、二階導數……，一起組成了一個（目前我們只考慮線性的）方程：f(y,dy/dt,....) = g(u, du/dt,...)。線性的意思是，在f()中，y, dy/dt, d2y/dt2（能看懂吧，二階導數）是不會有平方啊，互相乘之類的事情，只會是 k1*y + k2*dy/dt + k3*d2y/dt2.... 這種形式，k1、k2、k3是常數。

我們不妨認為y是未知的，u是已知的，那麼這就是一個關於y(t)的線性常微分方程，而且方程右邊是已知的，於是我們可以把它簡化寫成f(y,dy/dt,....) = g(t)。方程的解y(t)是一個關於時間t的函數。

如果你有一點數學強迫症，那麼看到方程的第一反應應該是想求解它。沒錯。雖然以「自動控制原理」的角度看，求解這個方程似乎沒有什麼價值，甚至可以說整個「自動控制原理」壓根就沒想過要求解它，也（似乎）不關心它的解是什麼樣子的，但是如果學完了線性系統理論（國內很多地方把這門課叫「現代控制理論」，這實在是一個不能再差勁兒的名字了。同理「自動控制原理」聽起來也是略奇怪的，不過至少還能忍。「現代控制理論」這名字要吐槽的地方太多，這裡暫且不表），你就會發現學習研究一下這個常微分方程的解是很有必要的。

只有知道了方程的解y(t)到底長什麼樣，才能理解極點的物理意義。

這裡就需要補補課了。線性常微分方程怎麼解？一個更基礎的問題是，它的解長啥樣？想了解清楚的話我強烈建議找本相關的教材看一看，其實原理很簡單的，不過學習數學的東西還是嚴謹一些的好。我在這隻能試著大概作個介紹。

通常來講，一個形如 f(y,dy/dt,....) = g(t) 的線性常微分方程，它的解可以分為兩個部分：通解加特解。通解就是方程 f(y,dy/dt,....)=0 的解，通解里會有待定的係數，無論係數取多少，通解都滿足 f(y,dy/dt,....)=0 。特解呢，就是 f(y,dy/dt,....) = g(t) 的「一個」解。很明顯，在沒有其它諸如y(0)=a, y"(0)=b的初值條件的情況下，一個特解加上一個「待定係數取任意值」的通解，結果仍然該方程的一個解。

OK，關於線性常微分方程就說到這兒。那它和拉普拉斯變換有什麼關係嗎？

——拉普拉斯變換可以幫助我們求 f(y,dy/dt,....)=0 的解，也就是求線性常微分方程的通解。

How？

書上說，拉普拉斯變換是一種線性變換，它可以把線性常微分方程變成代數方程。什麼意思呢？拉普拉斯變換會把y(t)變成Y(s)（那個公式就不列了，都懂的）。而這個變換是一一對應的，也就是說，一個y(t)對應一個Y(s)，可以變過去，還可以變回來。

好，那現在，比如，我有一個關於y(t)的微分方程，不會解，怎麼辦？

拉普拉斯變換可以變y(t)，也就可以變f(y,dy/dt,....)。 f(y,dy/dt,....)=0 會變成 F[Y(s),...]=0。我們不知道y(t)的表達式，於是也就不知道Y(s)的表達式。注意變換是線性的是一一對應的，也就是說如果我們把 F[Y(s),...]=0 看成一個新方程，解出 Y(s)，再反變換變回去，就能得到我們原本想求解的y(t)。

這折騰來折騰去的什麼好處呢？很簡單：對dy/dt 進行拉普拉斯變換，結果是sY(s)-y(0)，微分不見了！（千萬別忘了-y(0)）F[Y(s),...]=0 不再是一個微分方程，而是一個代數方程。 k1*Y(s) + k2*s*Y(s) + ... = c(s)。方程右邊通常不是零，而是一個關於s的式子，因為y(0)、y"(0)等等都不一定等於零。接下來可能小學生都能蒙出Y(s)怎麼解了吧，用c(s)除以k1+k2*s+k3*s^2+...就行。

最後一步，用拉普拉斯反變換，把求出來的Y(s)變成y(t)，就得到 f(y,dy/dt,....)=0 的解了。很簡單吧。

關於微分方程，還有最後一點需要說明。我們已經知道了怎麼求通解（用拉普拉斯變換），可是，這個通解又究竟長什麼樣子呢？

我們看看剛才求解過程的最後一步，也就是拉普拉斯反變換。要被反變換的對象是一個分子分母均為多項式的分式。如果你已經熟練掌握了反變換的技巧，你應該知道為了方便查表，可以把這個分式 c(s)/[k1+k2*s+k3*s^2+...]，寫成一系列簡單分式的相加，比如1/(s+a)，比如1/[(s+a)^2+w^2]，然後就可以查表變回去了。

1/(s+a)的拉普拉斯反變換是什麼？exp(-at)。那w^2/[(s+a)^2+w^2]呢？exp(-at)sin(wt)。所以呢，通解最終也就是由一些形如exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)之類的項相加起來。這就是我們在輸入u=0情況下，即 f(y,dy/dt,....) =0 時求得的解y(t)！如果輸入u不等於零呢？剛才講過了，通解加一個特解就是全部的解，也就是說這些項還是會存在於任何一個解中。

OK，知道這麼多，夠了！下面講講零點極點的物理意義是什麼。

傳遞函數是怎麼來的？對 f(y,dy/dt,....) = g(u, du/dt,...) 進行拉普拉斯變換，假設初值均為零，然後寫出Y(s)/F(s)就行了。那麼，極點就是對 f(y,dy/dt,....) 進行拉普拉斯變換提取出Y(s)之後剩下的關於s的多項式（即傳遞函數分母）的根。

現在，我們再回頭看一看常微分方程 f(y,dy/dt,....) =0 的解。記得30秒前求出的的解的樣子嗎？那些用拉普拉斯反變換的來的exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)......，a1、a2是什麼？好像，是對某個分子分母都是多項式的分式分解成1/(s+a)之類的時候得到的項。這麼說來，-a1、-a2應該是那個分母多項式的根（或者，複平面上根的實部，因為(s+a)^2+w^2的根就是-a+-wi）吧。可是剛才那個分母多項式是什麼呢？k1+k2*s+k3*s^2+...，是 f(y,dy/dt,....) 的拉普拉斯變換後，提出公因子Y(s)後留下的多項式。它和傳遞函數的分母是一樣的！

也就是說，傳遞函數的極點，和方程 f(y,dy/dt,....) =0 的解，也就是和方程 f(y,dy/dt,....) =g(t) 的解密切相關。

極點有什麼物理意義？我隨便指定一個輸入u(t)，u(t) 可以是零（注意這裡沒有用反饋），那麼最終的輸出y(t)就是方程 f(y,dy/dt,....) = g(u, du/dt,...) 的解。方程的解是通解加上特解，而通解就是一堆形如exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)之類的項相加起來，其中-a1、-a2就是傳遞函數的極點實部！也就是說，在系統的輸出y(t)=blablabla裡頭，極點（或極點的實部）是位於其數學表達式中指數的冪的位置，與時間t相乘（即exp(p*t)里的p）。

如果所有極點都在左半平面，-a1、-a2都是負數，那麼隨著t趨向於無窮，所有exp(-a1*t)、exp(-a2*t)sin(wt)這些項都趨向於零，於是如果u(t)也為零的話y(t)就等於通解，y(t)趨向於零，所以我們就說系統是穩定的。如果有那麼一個極點位於右半平面，即那麼有一個-an是大於零的。結果就是隨著t趨向於無窮，y(t)里會有那麼一個exp(-an*t)趨向無窮大，而其它項都趨向於零，於是y(t)就會趨向於無窮大你的系統就沒法穩定了！這就是極點的物理意義。

極點是系統本身的屬性，（在沒有反饋的情況下），與你怎麼調整輸入無關。即使你改變了物理系統輸入，調整了 g(u, du/dt,...) 這個函數，極點也不會改變。

而零點，則表示輸入如何影響系統。因為零點就是 g(u, du/dt,...) 拉普拉斯變換blablabla之後blablabla多項式的根。要說它們有什麼直接的物理意義，似乎不太好解釋。不過，我們剛才討論的都是開環的情景，如果系統用上了反饋，開環變成閉環之後，零點就會參與影響閉環系統的極點了！關於這時零點是如何發揮作用的，呼，你就慢慢看書慢慢學習吧……

LTI系統，連續的有s傳遞函數，離散的有z傳遞函數。

s=jw，所以連續傳遞函數的零極點都對應頻率值。零點的物理意義是，某個頻率的輸入信號（正弦信號）不會產生任何輸出，被block掉了；極點的物理意義是，某個頻率的輸入信號會產生無窮大的輸出（當然實際物理系統不會達到無窮），就是不穩定，還記得麥克風與音箱的故事么？順便說一句，有時候出現不穩定時，那就可以通過改變物理系統本身，比如擰螺絲，就改變了系統極點。

z=e^{sT},T為採樣周期。所以離散傳遞函數的零極點也都對應頻率值。

我不是學控制的，但是模擬電路是可以拿控制系統的那套理論來分析。之前有個哥們在我的專欄文章下面留言，說是我分析零極點的這套說辭實在是「清新脫俗」，可以跟學控制的同學分享一下。我可以講講一個電路裡面的零極點是怎麼回事。相信也可以讓你有些物理上的理解。

首先是極點。

我們來看張圖：
一個R和一個C，便構成了一個最基本的極點。它的傳輸函數如圖所示，是1/（1+RCS）.因為s等於j $omega$ ，所以這裡的RC造成了一個左半平面的極點： $-frac{1}{RC}$ 。
等等！現實中怎麼會有負數的頻率呢？
所以，如果input signal裡面有這樣一個等於1/RC的頻率（如果是以Hz為單位，應該除以 $2pi$ ）,那麼會發生什麼事情呢？
將 $omega =1/RC$ 帶入上面的傳輸函數，這個傳輸函數的amplitude response就變成了 $frac{1}{sqrt{2} }$ .
哦！原來在bode圖裡，遇到一個極點就會有-3dB（ $20lg(1/sqrt{2}) =-3dB$ ）的下降，跟這個確實可以對應起來呢！
Source: Bode plot (Figure 1(b): The Bode plot for a first-order (one-pole)lowpass filter; the straight-line approximations are labeled "Bode pole"; phase is 90° lower than for Figure 1(a) because the phase contribution of the numerator is 0° at all frequencies.)
好吧！上面我們還是圍繞著傳輸函數的公式打轉，但是！但是為什麼會有恰好等於一半的amplitude response呢？
重新回到上面的圖。一個信號經過一個R，會有一部分能量被R以熱能的方式散發出去。但是對於信號本身的頻率、相位這些參數，R其實是沒什麼影響的。但是！但是還有一個C啊！這麼大一個電容連著output和gnd，你不能忽視人家嘛！
C和R不同的地方，在於它並不消耗能量，但是卻會改變相位。當input變化的時候，C上面的電壓也會跟著變化。這個不甘寂寞的C有個獨門秘技：「吸和放」！也就是說，當加在它上面的電壓忽然變化的時候，它會先吸走一部分，然後過一會再把被它吸走的電子重新放出來。
你見過月圓之夜時，清冷的月光灑在海面，深深的海底，巨蚌一張一合的樣子嗎？
那個，嘿嘿，不好意思啊，作者君也沒見過……不過看小說看過……
好了，不插科打諢了。總之，C就是個這麼神經兮兮的傢伙。它明明不要你的電子，但是就是不情不願的要阻攔一下你的信號，過一會兒再放一部分電子出來。
因為這個討厭的傢伙，你的信號被攔腰劫走了一部分。
$H(S)=frac{1}{1+j} =frac{1}{sqrt{2} } e^{-jfrac{pi }{4} }$
寫成這樣，我們可以看出來，若是輸入信號的頻率恰好等於 $frac{1}{RC}$ ，那麼傳輸函數變成為了上面那個樣子。增益變成了 $frac{1}{sqrt{2} }$ ，相位下降了45°。
為什麼是45°呢？因為C這個傢伙是故意等了90°之後才不情願的放出了你的信號。因為一部分（當 $omega =frac{1}{RC}$ 的時候，恰好是一半）逃出C的魔掌的信號沒有相位的延遲，而另外一部分不那麼幸運的信號就被C戲弄了一番之後放了出來。所以最後在output看到的總的效果就是延時了45°。嗯，不是90°，也不是0°，就是一半，45°呢！
所以，若是想讓我們的信號特別厲害，不受到這個討厭的C的毒害，我們的信號應該變成什麼樣呢？讓我想想……那就是傳輸函數不就是1了嗎！那個時候，我們的信號就別含變化量，直接是個DC的值，那麼只對變化量感興趣的C就懶得理你了！
還有，什麼時候我們的信號被侵蝕得特別厲害，比如完全沒有了？再讓我想想……那就是大部分，或者說是幾乎全部的信號都要先被C吸走再放出來吧？如果現在有個特別特別高頻的信號，C就變得特別興奮了。對於高頻的信號，C的內力變強，傳輸函數包含s的那項遠大於後面那個1，因而傳輸函數就變得無限趨近於零了。
嗯，好像input信號的具體頻率其實起到了這樣一個效果：它決定了是從R直接到output的信號分量多呢？還是被C戲弄的信號分量多。
話說，R和C的具體值也是很有意義的吧？
那當然了。作者君每次都朝著極端的情況想：
比如，若是我沒有這個R，就一個孤零零的C，結果會怎樣？那就是input直接和output短接在一起了吧？那還擔心C幹嘛？
$H(S)=frac{1}{1+RCS} simeq 1$
或者，若是R無限大，又會怎樣呢？額，信號花了九牛二虎之力，才勉勉強強的穿過R的重重包圍到了output這邊。結果前有狼後有虎，剛過來便又遇到一個虎視眈眈的C在output這裡。唉！還是直接投降，任人魚肉算了！C要戲弄就讓它戲弄好了……
$H(S)=frac{1}{1+RCS} simeq frac{1}{RCS}= frac{1}{RCjomega } ightarrow 0$
所以，1/RC的值和信號頻率的相對位置，才是關鍵之處啊！若是RC超級小（比如很小的C只對更高的頻率感興趣。對於一些kHz什麼的小嘍啰，人家根本不care），我們的信號還是很安全的。但若是RC超級大，比如有個巨無霸的C，就是那種巨大的巨蚌啦！人家什麼都喜歡，來者不拒，你的kHz的信號也是它的愛好之一，那麼你就慘慘慘了……

或者還有一種方式理解極點：

之所以會有極點，就是因為當frequency上升之後，電容冒了出來，「一吸一放」。或者可以這樣說，這傢伙是開黑店的。有事沒事，路過的signal都被揪進去打了一頓才被放出來。（如果是DC，它不太敏感，也就放行了……）
其實你也可以把pole理解成為兩個current source（中間是virtual ground，或者說，是真的ground），一個專門打家劫舍，搶signal；一個只做好事，放他哥們搶的signal出去。他們的電流都等於C*dV/dt。
所以在pole的frequency時，專門幹壞事個那傢伙搶了一半的signal進了它的老巢。然後它那個只做好事的哥們過了90°又把人放了出來。
等到frequency很高的時候，打劫的那傢伙就把所有的signal都搶了……然後它哥們還是繼續當老好人，過了90°又把人放了出來……實在是神經病的組合……

至於零點。在電路中，零點就是一條前饋通路。信號不老老實實的按照你給它規定的路線跑，它找到了一條捷徑，抄近路了……比如你跟人一起去跑馬拉松，結果明明應該跑個圈再回來的，另外那哥們直接走了小路，省了幾十公里的路……

首先是零點的基本分析：

說完了極點，我們再來看看它的對立面——零點。沒有對手的絕世高手註定是不存在的，因為世間萬物，必定有其相生相剋的另外一個……哈哈！就此打住，否則作者君要開始描述一副「決戰紫禁之巔」的畫面了……^_^
我們還是拿一個最基本的電路模型來入手。
和前面計算極點的電路相反，這次電容C橫跨在了input和output之間，而output一段則有一個到地的R。非常自然的寫出transfer function：
$H(s)=frac{R }{R+frac{1}{CS}} =frac{RCS}{1+RCS} =frac{RCjomega }{1+RCjomega }$
還是從頻率為無窮小開始看：這個時候分子無限趨於0，而分母無限趨於1,。因此，transfer function的amplitude就約等於0。如果單位換成了20dB的話，則是一個無窮小的數。
然後我們再來看看當頻率很大的時候：分母的那一項「1」可以忽略不計了。因此這個transfer function的amplitude就約等於1。單位換成20dB之後，就差不多是0了。
如果恰好 $omega _{z} =frac{1}{RC}$ ，那麼這個頻率就是我們所關心的零點頻率了。同之前的極點頻率類似，在這個零點頻率處，amplitude變成了 $1/sqrt{2}$ ，phase變成了45°。
等等！為什麼書上都說，極點之後的amplitude以-20dB/dec下降，而零點之後的amplitude以20dB/dec上升呢？
前一篇我們仔細算了算，知道了極點下降的原因。那麼零點上升也就是差不多的道理了啦！
重新寫一下transfer function：
$H(s)=frac{RCjomega}{1+RCjomega}approx RCjomega$
上面這樣等效的成立條件，是頻率比較小的時候。因此，不知道大家發現了沒有，當分子的頻率 $jomega$ 成為了整個transfer function的關鍵所在之時，20dB/dec上升其實也就成了自然而然的結果。
source:http://manual.audacityteam.org/man/high_pass_filter.html
回憶一下推導極點時所用的bode plot：
不知道大家注意到沒有：
開始在頻率小的時候，極點是沒什麼作用的；當頻率超過了極點頻率，則極點的作用就開始顯現出來了；
而零點則是頻率低的時候有影響，等到了高頻，則它的影響就忽略不計了。
是不是感覺有些玄妙？嗯，其實呢，說白了，就是 $jomega$ 這項到底什麼時候冒出來。比如零點是當頻率低的時候， $jomega$ 在分子出現。所以呢，就有了20dB/dec的上升。
而對於極點來說，
$H(s)=frac{1}{1+RCjomega }$ 只能是在頻率大，導致 $jomega$ 那項遠大於1的時候，才能起到決定性作用。而且又由於它在分母的位置，所以才會最後導致高頻時的20dB/dec的下降。
再回去想想……哎呦！最上面那張圖不是電容跨在input和output之間嘛！高頻的時候，電容就相當於一根導線，那它自然也就不起作用了嘛！嗯嗯，好像就是這樣的！

然後是模擬電路裡面的零點：

我們來看看電路中基本的零點長得啥樣。
還是一個簡單的單極點電路。和之前唯一不同的地方，在於gate和drain之間被加上了一個Cc。因為這個Cc的存在，這個電路中出現了一個比較明顯的零點。當然，一般的mosfet的Cgd都是不太大的，除非用在諸如兩級運放之間的miller capacitor那種Cc，這個零點才是我們需要考慮的。
傳輸函數：
$H(s)=frac{g_{m} R_o+RC_cS}{1+R_o(C_c+C_s)s}$
分母有個很明顯的極點，分子有個明顯的零點。極點咱們就先不管了，來看看這個零點：
$omega _z=-frac{g_m}{C_c}$
很顯然，自然界沒有負數的頻率。因此，我們還是來關心 $omega _z=frac{g_m}{C_c}$ 好了。
Cc就相當於前一篇文章中提到的跨在input和output之間的電容，而gm從分子挪到分母去，則是之前的output接地電阻變成了1/gm。
話說，為什麼這個零點只跟這個nmos的gm有關係呢？
原因還是在於零點的特性：當頻率大於零點之後，這個零點才能逐漸被忽略掉。
設想一下，如果現在有個很高頻的input signal，那麼這個電路中唯一的nmos就變成了gate和drain短接在一起的一個diode了。一個diode的等效電阻是1/gm，所以這個零點也就跟gm有關了。
很多書上說，零點的存在，其實是提供了一條所謂的「feed-forward」前饋通路。道理同上，也就是走了「捷徑」。捷徑的存在，導致本來應該被mos放大的signal直接跑到了output那端，自然也就嚴重的影響了mos的放大性能。

詳細內容可以參考我的專欄文章：

極點的物理意義：知乎專欄

單極點電路：知乎專欄

零點的分析：知乎專欄

零點的物理意義：知乎專欄

極點單位為弧度每秒，除以2π後單位為赫茲，在機械系統中正極點就是系統共振頻率。

設計控制器控制頻率時應在共振頻率二十倍以上，此倍數又稱為安全係數。

只說說極點的物理意義，看情況補充零點意義

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1.將一個系統的時域響應描述為一個線性--非齊次--常係數--微分方程：

求這個方程的齊次解，翻翻課本就知道，需要一個中間環節就是導出它的特徵方程：

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2.你把傳遞函數的分母式子單拎出來，這個式子是此系統的特徵方程：

你看這個特徵方程是不是和上面的特徵方程很像？實際上就是一個東西。

結論：——求一個系統微分方程的齊次解，就是求這個系統傳遞函數的特徵方程解。得出的特徵方程解也就是這個系統傳遞函數里的極點。要將這個特徵方程多項式的解求出來，需要做因式分解，得到的解要麼是一堆實數解，可能還有一堆共軛對解(只要將解的形式推廣到複數域，任何特徵方程都可以因式分解出極點解)。

翻翻高數課本，微分方程的齊次解是一個多項式，微分方程/傳遞函數的特徵方程里的實數/共軛對解對應這個多項式里不同的項。如下所示：

注意到沒，不管怎樣，所有項都包含指數成分，這是衡量系統響應屬性的關鍵(其他的反而是次要的)。

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我們知道，一個系統對特定激勵的響應由兩部分組成的，對應的就是它的微分方程的齊次解和非齊次解。其中齊次解是和系統本身特性有關的，非齊次解是和輸入激勵有關的。

齊次解在物理上就對應系統的零狀態響應，裡面包含的每一項都對應一個特徵方程的根，並且在形式上包含指數的成分。當極點解是負數或者是實部為負數的共軛對時，這個解對應的指數項是隨時間衰減的(實數解是線性衰減，共軛對解是振蕩衰減)，最終回歸於零。反之，這個指數項是發散的(實數解是線性發散，共軛對解是震蕩發散)，齊次解將會覆蓋掉系統的非齊次解，這種情況下的系統給點陽光(激勵)就燦爛(發散)，是不穩定的。說白了，系統穩定的本質就是要求系統輸出里的齊次響應(和輸入無關)最後要衰減歸零，最終只留下非齊次解(和輸入有關)，這也就解釋了為什麼說系統極點在虛軸右側會引發系統不穩定。

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理解極點的意義，關鍵就是翻開高數下冊的課本，把線性-非齊次-常係數-微分方程的結算演算法搗鼓清楚。這個懂了，理解系統傳遞函數特徵方程和極點的意義就方便了。

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古典控制理論就是基於微分方程和拉氏變換建立起來的(歸根結底還是微分方程)，非常抽象。不過放心，現代控制理論是基於時域和矩陣計算建立的，我當年照樣看不懂囧。

據我觀察，國內自動化專業俗稱萬金油，但是這個專業的畢業生普遍心態挺好。我自己也是這樣，不知是不是因為經過了工程數學全體位調教後大家都看開了囧也不知道當年錢學森設立這個專業是不是就是為了教我們這群小學渣做人的，不過我是真服。

控制系統模型本來就是抽象出來的微分方程描述模型在經過變換之後的基於數學傳遞函數模型。

它對應到實際的物理世界，有各種各樣的物理模型，所以如果直接還原物理世界肯定不會有個確定的模型。

說極點的話，直觀感受一下，一輛公路上行駛的汽車，它的慣性(直接一點應該是質量)從無窮大慢慢漸漸變成0是一個什麼樣的過程，會發生什麼現象，這個也就是極點從負無窮大漸變到0的過程。

是不是很抽象，

不知題主是指開環零極點還是閉環零極點。個人認為從根軌跡的角度來理解零極點的物理意義更為容易些。可以通過閉環極點的位置來判斷系統的工作頻率和阻尼這兩個物理意義（應該算是物理意義吧）

根軌跡的起始與終止是開環零極點，隨著增益k從零到正無窮增大，閉環極點就在根軌跡上移動。

可以通過matlab實驗觀察到，當閉環極點離虛軸越近系統震蕩越劇烈，離負實軸越近系統越穩定。

以原點為圓心做圓，圓的半徑就是頻率wn，設閉環極點在圓上，則閉環極點離原點越遠則系統頻率越大。

以原點為始點，向第二象限做射線，射線與負實軸的夾角與系統的阻尼有關。設閉環極點在射線上，則夾角越小，越靠近負實軸時，系統阻尼越大。

基礎：拉普拉斯變換，典型幾個變換的時域意義（一定要熟悉，不然最好像我一樣開個網頁在旁邊...）

目的：在純粹推導中儘可能引入直覺，增進理解

範疇：經典控制理論

參考資料：現代控制工程（Katsuhiko Ogata）

問題：

1. 零點極點在什麼問題中出現？

非周期信號（基礎的幾個）和周期信號（就是正弦信號疊加），經過一個系統後的輸出

2. 系統這個這麼抽象，具體點怎麼說？

C(s)=R(s)G(s)，完了，反正不管什麼結構都可以說合起來是G(s)。但是，學過的都聽說過什麼開環閉環，為什麼要分開環閉環呢，閉環不是也可以等效成一個開環的樣子嗎？這是因為，負反饋用的比較多，而控制器只能加在反饋結構裡面，所以要把負反饋結構打開，區分出開環閉環。

3. 非周期信號中的零極點是什麼？

非周期信號，一般說的是R(s)=1， $frac{1}{s}$ ， $frac{1}{s^2}$ 。現在要知道輸出C(s)，自然要知道系統G(s)。由於我們只知道最基本幾個拉普拉斯變換的意義，隨便給個G(s)跟說不知道其實沒什麼區別。

這個時候就假設，不管怎樣我都能把G(s)寫成多項式， $G(s)=frac{K(s+z_i)(s+z_2)(s+z_m)}{(s+p_1)(s+p_2)(s+p_n)}$ 。這樣一來瞬間感覺靠譜多了，首先假設不算多強，可以近似很多系統，而且多項式可以分解，如此一來都是熟悉的基本拉普拉斯了。這裡就引入了我們所說的零極點：z跟p。

好了，現在來分解，多項式的根有三種情況，實數根，共軛根，多重根。多重根不用討論了，無非是時域上多了個冪函數。所以我們分解成了這個樣子：

$C(s)=frac{a_0}{s}+sumfrac{a_j}{s+p_j}+sumfrac{bs+d}{s^2+es+f}$

為什麼沒有0次方以上的項呢？因為0次方以上都是 $delta(t)$ ，一般是沒有的。所以這裡極點的意義就出來了：決定瞬態響應的基本方式。極點負實部絕對值越大，那一項衰減越快。

零點有什麼用呢？顯然，零點無法摻和進分母了，那麼肯定對分子有影響，分子決定了瞬態響應的幅度。從極端情況上理解，當零點等於極點，這一個極點就被抵消了，那分子就是0了。所以，零點離極點越近，這個極點的響應就越小（"數學點"的衡量方法叫留數）。這個方法常用來消去不希望的極點。當然，零點的影響不像極點一樣明確，具體的還是要看錶達式。

4. 周期信號的零極點是什麼？

周期信號跟非周期信號的最大區別，在於周期信號關注的不是瞬態響應，而是平穩後的情況。經過一番推倒，很容易發現平穩後關心的不是G(s)，而是G(jw)。這個理解起來比瞬態來說簡單多了，求G(jw)的幅值跟相位就好了，幅值代表增益，相位代表延遲。再次考慮G(jw)的多項式，每一項求下幅值，零點的所有幅值之積除以極點的所有幅值之積就是G(jw)的幅值，零點的所有相位之和減去極點的所有相位之和就是G(jw)的相位。由於周期信號在電路中用的比較多，所以電路上也可以看到很多零極點，bode圖之類。

經典控制理論主要在弄三個圖：根軌跡圖，bode圖，nyquist圖，可以說都是基於零極點的，在這之上的超前滯後矯正，更是跟零極點息息相關。當然，寫的這些都只是一個小小的總結而已，深入學習還是要看書。

有。

從波特圖上看，零點和極點都是轉折點；所謂轉折點，通常意味著發生了質的變化，那究竟發生了什麼變化呢？

首先要知道，大多儲能器件，其戰鬥力都是隨頻率變化而變化的。比如大家所熟知的電感通直流阻交流，電容阻直流通交流，就形象地說明了這種現象。

儲能器件的這種「戰鬥力」，電路中謂之阻抗。

但俗語有云，瘦死的駱駝比馬大，變化趨勢不能說明全部問題。即便頻率很低，只要電感足夠大或者電容足夠小，電感的阻抗依然可能大於電容。這時候就需要一個參照物，用以比對各阻抗的大小。

那這個「參照物」從哪裡找呢？

為了更好說明問題，先看一個普通的運放電路

11腳應接-VCC，不是接地，圖畫錯了…

很容易得出它的傳遞函數

$G(s)=-frac{R_2+frac{1}{sC_1}}{R_1} (1)$

寫成常見的尾1型

$G(s)=-frac{1}{R_1C_1}frac{frac{s}{1/C_1R_2}+1}{s} (2)$

易得，極點在原點處，零點在 $1/R_2C_1$ 處。

等等，這個零點怎麼有點眼熟？若式1中的 $R_2=1/sC_1$ ，那 $s=1/R_2C_1$ 不就是零點的頻率嗎？而 $R_2=1/sC_1$ ，則意味著電容C1的阻抗（幅值）等於電阻R2的阻抗，二者勢均力敵。若頻率加大，則電容阻抗繼續減小，電阻阻抗不變，電阻主導了該通路的阻抗；反之，頻率較低時，電容主導了該通路的阻抗。這也是波特圖簡化問題的方法：保留主導分量，捨去次要分量。零點/極點就是主導分量和次要分量的頻率分界點。

所以，上述所說的「參照物」，就是儲能器件同一信號通路上的其他器件。

（上圖的R1與C1由於被虛地隔開，不算同一信號通路。）

這也能解釋為什麼在零/極點處，波特圖與幅頻響應真實值有3dB的誤差，二分量阻抗相等，相位差九十度，其矢量合成結果，就是每一分量的 $sqrt{2}$ 倍，而 $sqrt{2}$ ，就是3dB。波特圖的45度相位差同理。

若將R1與R2、C1串聯的通路互易，則零極點也互易。在這類有源電路中，零點和極點沒有物理意義上的明顯界限——不過取決於信號的取樣位置而已。

其實，每一個獨立儲能器件對應了一對零極點——如果沒有標出來，說明那個零/極點可能在無窮遠處。依舊以上圖為例，如果R2減小，那麼C2的阻抗要在更高的頻率處才與R2相等，零點右移。若R2趨於零，則零點就在無窮遠處，此時電路就變成了只有一個極點，沒有零點的積分電路。零點和極點的中間部分，則是該儲能器件在其通路起主導作用的頻率段，否則幅值響應不會隨頻率變化。

至於極點表徵能量傳輸到儲能器件的延時（便於形象理解阻抗），零點表徵信號傳輸有捷徑（取決輸出信號的取樣位置），其他回答已有提及，就不贅述了。

零點主要影響瞬態響應曲線的形狀，不影響系統的穩定性；極點決定系統瞬態響應的收斂性，即影響系統的穩定性。

這取決於物理意義的物理意義是什麼。事情的發展過程是這樣的，開始我們有一些物理過程，比如r和c的串並聯，我們發現對正弦信號有隨頻率變化的衰減與時延。我們開始用一套數學去描述它，發現這種做法很有效，我們只關心極零點就基本萬事大吉了。所以在學習時我們直接學這套數學。但很多人不長於抽象而長於具體，因此會問，它的物理意義是什麼，其實就是想找具體實例加深理解。不過我們抽象的目的是更普世化，也就是說，物理現實與數學之間不是一一對應的，不同物理過程可能有同樣的極零點表述。

所以，遇到這種問題，只要記得一兩個實例幫助記憶，再記得從抽象到具體是一對多就行了。每個人都有自己的物理實例，其他人已經給了很多。

給我這個答案也給一個物理意義，那就是1+1的物理意義是什麼，有人說一個蘋果和另一個蘋果，有人說一個梨和另一個梨，都可以。

將傳函轉換到時域解析式，零、極點的意義就容易理解了

你可以很快的寫出一個信號的傅里葉變換---一個實變函數，畫出頻譜圖，也就是一條曲線。

但是你曾經在求完拉普拉斯變換後畫過圖嗎？

因為這個東西是一個複變函數，定義域在一個平面，它的圖像應該是

那麼你求出了零點極點是不是可以畫出一上面的圖了？

我並不清楚這個背後的物理意義是什麼，但我知道這是對傳遞函數方程的一種描述，具體的應用套公式做即可

挖個坑，拉氏變換核函數是線性系統的特徵函數，零極點和偏微分方程的簡正模態很像又不像，以後有空再回來寫。

據說拉普拉斯是從傅立葉論文中得到啟發，發明了廣義的拉普拉斯變換。

建議你先弄清什麼是傳函。