標籤：

光學地球物理學物理學通信

群速度推導？

01-12

一般的教材對群速度公式是由兩個波相加然後再推廣的，群速度究竟是怎麼推來的呢，考慮一般的情況

這個證明來自費米

考慮一般情況，波包是一系列簡諧波的疊加，因此可以簡單的表述為 $sum_ u a_ u cos2pi u(t-frac{x}{v( u)})$ ，其中 $u$ 是所有頻率。波包的中心位置即疊加振幅極大地坐標。

既有 $frac{d}{d u}[ u(t-frac{x}{v( u)})]=0$ 。

這個式子成立按照@白如冰的理解

下一個波包波峰的位置，即下一個主極大應該是（x，t）=（0，0）的再現，那個這個位置各個頻率組分的相位應該是相同的，或者相差2pi的整數倍，所相位因子對頻率求導等於0。

上式化簡得到 $t=xfrac{d}{d u}(frac{ u}{v})$

即 $V_g=frac{x}{t}=frac{d u}{d(frac{1}{lambda})}=frac{domega}{dk}$

我還是用笨辦法寫出來吧，假設一列波沿 $x$ 軸傳播的波的中心角頻率為 $omega_0$ ，帶寬 $Delta omega$ 。

相應的波數的分布區間是 $[k_0-Delta k, k_0+Delta k]$ ，那麼對這個區間內來說有

$omega = omega_0 + (frac{domega}{dk})_0(k-k_0)$

波包可以傅里葉分解為

$u(x,t)=int_{k_0-Delta k}^{k_0+Delta k} C(k)exp(i(omega t-kx))dk=exp(i(omega_0t-k_0x))int_{k_0-Delta k}^{k_0+Delta k}C(k)exp(i((frac{domega}{dk})_0t-x)(k-k_0))dk$

若 $C(k)$ 隨 $k$ 變化緩慢，則有

$u(x,t)=C(k_0)exp(i(omega_0t-k_0x))int_{k_0-Delta k}^{k_0+Delta k}exp(i((frac{domega}{dk})_0t-x)(k-k_0))dk=2C(k_0)exp(i(omega_0t-k_0x))frac{sin((frac{domega}{dk})_0t-x)Delta k}{((frac{domega}{dk})_0t-x)}$

令 $((frac{domega}{dk})_0t-x)Delta k=phi$ ，那麼

$u(x,t)=2C(k_0)frac{sin(phi)}{phi}exp(i(omega_0t-k_0x))Delta k$

看成一個波幅為 $2C(k_0)frac{sin(phi)}{phi}Delta k$ ，頻率為 $omega_0$ ，波數為 $k_0$ 的單色波，波峰處滿足 $phi=0$

即 $v_g=frac{x}{t}=(frac{domega}{dk})_0$

考慮兩個波疊加

結果得到，兩個頻率和振幅不大的波所產生的波列由平均頻率w的信號組成，其振幅由頻率為delta w的較長周期的波來調製。

推薦閱讀：

※如何能夠以光線為介質實現數據交換？其工作原理是怎樣的？
※當人以接近光速運動時由此產生的一個問題？

TAG:物理學 | 通信 | 光學 | 地球物理學 |