n維空間任意兩向量垂直的概率？

01-12

這篇帖子源於對一條微博的思考：

這種證明要用什麼數學語言呢？我分享了《上帝擲骰子嗎——量子物理史話》的一段話：

這些文字帶給我的第一感覺糟糕透了（稍後再吐槽），我們先看看如何將作者的論點翻譯為數學語言，然後證明它。

論點是什麼

我猜測作者想傳達給我們的論點是這樣的：從一個高維空間內任意兩條選兩條直線或平面（選比畫容易），它們互相垂直的概率非常大。
OK，怎麼才算高呢，這個問題簡單，作者認為1000億就可以了；那怎麼才算大呢，是0.7，0.8，0.9，還是0.99？我實在猜不出「幾乎必定是基本垂直」是個什麼概念，姑且算作0.6吧。。。

如何表徵直線

兩點即可確定一條直線，向量也只需兩點便可確定，所以我們可以用向量來表示直線。
如果兩直線垂直，則它們對應的向量也垂直，且向量的內積為0，反之亦然。
需要注意的兩點：

向量的長度並不影響是否垂直

向量的正反也不影響是否垂直

例如：在2維空間中，直線x-y=0，可以表示為(1,1), (2,2), (-1, -1)等向量；
直線x+y=0，可以表示為(3,-3), (-5, 5)等。

這兩條直線是垂直的，所以它們對應向量的內積都為0.

如何表徵平面

一個平面可以用過一個垂直於它的向量來確定，我們稱這個向量為這個平面的法向量。類似於直線，如果兩平面垂直，那它們的法向量內積為0，反之亦然。
傳統平面的概念僅存在於2維和3維空間，維數大於3的空間中的平面一般被稱為超平面。我猜文中的平面是指超平面這個玩意？

這篇文章對直線和平面的定義有規範的數學介紹：談談超平面（hyperplane）

等價論點

從一個高維的空間內任選兩個向量，它們互相垂直的概率非常大。
（終於把直線和平面表徵為同一個東西了。。其實我還想對空間做個定義，因為感覺會有很大差別啊，可是我也了解的不深入。。）

如何證明

非常感謝您有耐心看到這裡，其實俺也不會證明。。。只是希望拋出這塊磚，引來一塊玉，過個好年。

非常歡迎您分享一些好的想法和觀點，能給出詳細證明，那必是極好的。

證明方法

添加於(2014年1月20日13:49:13)，求指正。

-----------先用2維空間舉例說明----------
坐標系採用2維的直角坐標系Oxy.
選取x軸正向，即向量(1, 0)作為基準向量，其他向量則用從x軸正向順時針旋轉至其位置所需的度數θ來表示。比如：向量(1, 1)可表示為45°，向量(-1, 0)可表示為270°.

如果我們想沒有重複，也沒有遺漏地遍歷一次所有方向，θ的值域長度只需要為360即可。比如：[0°, 360°)，[1°, 361°)，或是[90°, 450°)。

從空間中任取兩個向量，分別記為a, b (請腦補上面的箭頭....），度數分別為θa, θb.
由於遍歷所有方向和θ的起始值無關，不妨設 θa∈[0°, 360°)，θb∈[90°, 450°).
那麼(θa, θb）的所有取值就構成了整個樣本空間，一個面積為360*360的正方形。
接下來，我們從樣本空間中找出那些互相垂直的向量。
根據之前的設定，如果θb=θa+90°，那麼a, b 互相垂直。
OK，問題已經被轉化為一個幾何概率問題了，其概率p=下圖中紅色點的面積 / 正方形的面積。
由於直線的面積(即二維測度)為0，所以，二維空間中任意兩向量垂直的概率為0.

-----------3維及以上待續----------

吐槽

這是那段原文（第9章，477頁）

但是，假如不是2維，而是在很多維的空間中，我們隨便畫兩條直線，其互相垂直的程度就很可能要比2維中的來得大。因為它比2維有著多得多的維數，亦即自由度，直線可以尋求在多個方向上的發展而互不干擾。如果有一個非常高維的空間，比如說1000億維空間，那麼我們隨便畫兩條直線或者平面，它們就幾乎必定是基本垂直了。如果各位不相信，不妨自己動手證明一下。

槽點：

垂直的程度。

這個詞語的意思是告訴我們兩直線之間除了有「不垂直」，「垂直」兩種可能之外，還有不太垂直，比較垂直，很垂直，非常垂直之類的關係嗎？比如：兩直線的夾角是89°，那就是非常非常垂直？80°算是比較垂直？

1000億維空間中隨便畫兩條直線或者平面。
我的想像力有限，想像出4維空間的線或平面都讓我的大腦沸騰了，更別說畫出來了。1000億維的，還是給我把刀吧。。。

幾乎必定是基本。
我被這3個華麗的程度副詞給閃瞎了氪金狗眼，大腦由於瞬間溫度過高而宕機，不知道寫點啥了。。

如果各位不相信。
唯物主義走開，哥的論點都建立在相不相信哥的基礎上。信哥，則得道升天；不信，一邊完蛋去，哥都證不出來，你還想證出來？

很多，隨便，多得多，非常高。。。

搜一搜作者的名字，結果很有趣哦。

神一般的貼吧

在搜索資料時看到這麼一個帖子：

高維空間里的任意兩條直線互相垂直的可能性比低維空間的大嗎？

看完了整篇帖子後，感覺這些人還是在認真討論的，雖然我看不懂。。。
就想膜拜一下是哪個貼吧，以後常來逛逛，也能漲漲姿勢，和人吹牛時也多點談資。
等我滾回頁首時，我的心情是複雜的。。。
（尼瑪，我這是瀏覽到了某個高等文明位面的帖子的投影嗎，還是我讀取貼吧名字的方式不對，應該是「中二寧南」？誰可以告訴我答案。。。）
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推薦閱讀方式

我沒看完全本，只看了幾段就感覺收穫不少，推薦大家有空讀讀，不必深入。
呵呵，這本書的豆瓣評分有9.3哦。