如何求得傅里葉變換的平方根？

01-12

Joseph Polchinski在他的回憶錄 https://arxiv.org/pdf/1708.09093.pdf 中提到，費曼曾在加州理工和學生們討論過如何求傅里葉變換的平方根
One example of this was, how do you take the square root of the Fourier transformation, so that acting on a function twice with the operation would be the same as the Fourier transform. For those interested, the answer is in the footnote, but try it first.
他所給出的提示是

In phase space, the Fourier transformation x → p → ?x is a 90? rotation. So rotate by 45? (or 225?, it』s nonunique).
請問各位有何具體的想法？

拋磚引玉，希望各位有更好的答案

考慮傅里葉變換為函數空間中的一個幺正變換，要求其平方根可考慮將其對角化，然後直接對本徵值開根號即可。鑒於傅里葉變換是復對稱的，其對角化應當是可行的。

考慮諧振子哈密頓量 $H=(x^2+p^2)/2$ 的本徵態 $|n angle$ ，由於哈密頓量關於 $x,p$ 對稱，易知其在動量表象和坐標表象下函數形式相同，或者可以通過如下生成公式更直接的看出

$|n angle = frac{(a^dagger)^n}{sqrt{n!}}|0 angle = frac{(x-mathrm i p)^n}{2^n sqrt{n!}}|0 angle$

在傅里葉變換下相當於交換 $x,p$ ，只改變常係數，故也同為傅里葉變換的本徵矢。每個態在交換時所多出來的係數為 $(-mathrm i)^n$ ，為相應的本徵值，那麼傅里葉變換可以寫作

$G = sum_{n=0}^infty |n angle (-mathrm i)^nlangle n| = expleft[-(H-1/2)pimathrm i/2 ight]$

，進而可以求得該幺正變換的平方根為

$sqrt{G} = sum_{n=0}^infty |n angle exp(-npimathrm i/4)langle n|=expleft[-(H-1/2)pimathrm i/4 ight]$

或者

$sqrt{G} = sum_{n=0}^infty |n angle exp(3npimathrm i/4)langle n|=expleft[3(H-1/2)pimathrm i/4 ight]$

談一下圖像上的理解。

傅里葉變換（或者其實數冪次）在上面寫成一個諧振子含時演化的算符形式（差一個全局相位），這似乎挺讓人驚訝的：諧振子的含時演化可以生成傅里葉變換？

仔細想想，這實際上是非常顯然的一個事情。考慮一個經典的諧振子，其相空間中的運動完全就是在一個圓上按本徵頻率繞圈子。它可以經過1/4個周期從x軸轉動到p軸。

擴展一點，考慮量子諧振子中的相干態，我們知道在坐標/動量表象下都是一個中心作簡諧運動高斯波包。如果你做過一些壓縮相干態、旋轉相干態之類的驗算的話，你就知道相干態完全就是在相空間中轉動——精確的說，是Wigner表象中一個高斯波包繞著相空間中原點按本徵頻率旋轉。

考慮到相干態的超完備性，則任意波函數在諧振子勢的演化下，都是以同一角速度繞著中心旋轉，或者說x-p軸在反向旋轉（諧振子問題的確是經典量子對應最明確的例子）。那麼只要轉動1/4個周期，自然就是傅里葉變換——x軸都變成p軸都互換了還不是傅里葉變換？從這裡出發，自然也容易定義分數階傅里葉變換。

PS: 我大概也搞懂為什麼那篇自傳里說之後話題轉向負概率了...Wigner分布里自然有負概率嘛。

把 time frequency plane 旋轉45度有一個更簡潔的形式稱為 symplectic fourier transform

事實上從傅立葉變換的特徵值是正負1和正負i就可以看出它的"平方根"和它本身應該具有類似的形式

本科時發現的一個簡單的做法。考慮傅里葉變換F，可以發現連續作用兩次等價於反演，記作F^2=pi,接著還會有F^3=F^(-1),F^4=1.任意函數可以拆分成反對稱和對稱部分，可以看到對稱函數上傅里葉變換滿足F^2=1，F^3=F,而反對稱函數上有F^2=-1，F^3=-F,可以發現在對稱函數和非對稱函數上傅里葉變換的代數性質分別與1,i完全相同，因此你可以把複數上的各種等式直接搬運過來，也包括F的分數次冪。任意函數上傅里葉變換的分數化需要預設它是線性的，從而將其化為反對稱和對稱分量上的分數階傅里葉。算出來的結果其實挺沒勁的。手機上打的，有錯請見諒。

上面的答案數學細節很好。我嘗試一些直觀解釋，以及在傅里葉光學上的應用。

考慮一個一維信號 $x(t)$ , 其傅里葉變換為 $X(f) = mathcal{F}{x(t)}$ 。兩者都是同一信號的不同表述，一個是在時域 $t$ ，另一個是頻域 $f$ 。分數傅里葉變換，也是此信號的一種表述。其所在域為分數階，介於時域與頻域之間。將時間 $t$ 和頻率 $f$ 分別為橫軸和豎軸，則分數階 $alpha_0$ 的域如下圖斜線所示：

這個二維空間代表著時頻域。分數階域就是在時域和頻域之間的域。熟悉小波變換、魏格納分布等等時頻域分析工具的人應該很熟悉。

時頻域有最小解析度，也就是一般提到的不確定性原理。另外，對一個信號做兩次傅里葉變換，得到的是 $mathcal{F}^2{x(t)} = x(-t)$ ，即 $t$ 軸方向顛倒，也就是旋轉了 180 度。這體現了時間和頻率的正交。

題目中提到的開根號，是分數階為 $1/2$ 的特殊情況。看圖就一目了然了。

在傅里葉光學裡，分數階傅里葉變換是有其物理意義的。考慮下圖兩個平行平面之間的波傳播過程，已知 $z = 0$ 處的波，如何求 $z$ 處的波：

熟悉波動光學的人知道，當 $z$ 很大的時候，這就是遠場夫琅禾費衍射，數學上是 $z = 0$ 處波的（坐標放縮後的）傅里葉變換。那麼，如果把 $z = 0$ 處的波當成是「時域」、那麼遠場 $z = infty$ 處的波就是「頻域」。對於其他有限大小 $z$ 處的波，是什麼呢？就是分數階域。對於不是很小也不算很大的 $z$ ，我們用菲涅爾衍射。這其實就是分數傅里葉變換。

Wiki上有一個例子

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_canonical_transformation?wprov=sfla1